【正文】 材 料 力 學 （ Ⅰ ） 主講教師 ： 張恒文 Email： 第十一章 能量法 Energy Methods 介紹卡氏第一定理和余能定理；進而推得卡氏第二定理； 建立一般情況下桿件外力功、應變能、克拉比隆定理、互等定理 建立力法解一般超靜定問題的正則方程。 理解功互等和位移互等定理； 理解動荷系數(shù)的概念；熟練掌握自由落體沖擊時動荷系數(shù)計算。 本章目的 基本要求 理解廣義力、廣義位移、虛位移、虛功概念 。2個定理 理解力法正則方程的意義，掌握超靜定次數(shù)判斷及問題求解； 介紹虛功原理；進而推得單位荷載法－莫爾積分法 建立用能量法解動荷載（主要考慮沖擊）問題的方法。 熟練應用卡氏第二定理、單位荷載法計算結(jié)構(gòu)的位移； 第十一章 能量法 Energy Methods 彈性體在外力作用下發(fā)生變形時，載荷作用點也產(chǎn)生位移。外力在 相應的位移上作了功。 外力的功 轉(zhuǎn)化成為積蓄在彈性體內(nèi)的變形能 （或稱為 應變能 , Strain energy）。 牛頓力學 (矢量力學） 拉格郎日力學 （能量原理） 力學的三個基本原理 1，力的平衡關(guān)系 2，變形幾何協(xié)調(diào)關(guān)系 3，力與變形的關(guān)系 能量原理 能量極值原理 直接法 微分方程 代數(shù)方程 167。 121 外力功與應變能的一般表達式 線彈性體：載荷與相應位移成正比的彈性體，簡稱線彈性體 2022/3/13 材料力學 5 一、外力功基本公式 載荷 f和相應位移 之間關(guān)系 能量法與超靜定系統(tǒng) /桿件產(chǎn)生基本變形時的變形能 ??kf ?所以當載荷 f與位移 分別由 0增加至最大值 F與 , 載荷所做之功為： ? ?22200?????? ?? ?? FkdkdfW ???當載荷 f與相應位移保持正比關(guān)系，并由 0逐漸增加時 , 載荷所做之功等于載荷與相應位移的乘積一半。 2022/3/13 材料力學 6 二、變形能的普遍表達式 (克拉貝依隆原理 ) P o B ? A 基本變形下變形能的一般表達式： 式中 P—— 廣義力 (力或力偶 )； ?—— 廣義位移 (線位移或角位移 ) 且 P=C?。 ? 彈性體的變形能決定于外力和位移的最終值，與加載 的過程無關(guān) 。 22212121 ?? CCPPWU ????能量法與超靜定系統(tǒng) /變形能的普遍表達式 2022/3/13 材料力學 7 ?變形能的普遍表達式 (克拉貝依隆原理 )的導出 P1P2Pi PnP1P2Pi Pn?1?2 ?i?n 設(shè)在某彈性體上作用有外力 P P Pn1 2, , ,?，在支承約束 下，在相應的力 方向產(chǎn)生的位移為 Pi i?， (i=1,2,… ,n)。 則物體的變形能為： ????niiiPWU1 21 ?能量法與超靜定系統(tǒng) /變形能的普遍表達式 2022/3/13 材料力學 8 ?證明： 彈性體在 載荷作用下同時發(fā)生幾種基本變形 (即組合變形）。且彈性體在變形過程中貯存的應變能只 取決于外力和位移的終值與加力順序無關(guān)。 nPPP , 21 ?因此可假設(shè) nPPP , 21 ? 按同一比例 ?從零逐漸增加到終值， 即外力增加的過程為 ： ),2,1(10 niP i ???? ? 若材料是線彈性的，則對應的位移也以 ?的比例增加，相應 的位移為： ),2,1(10 nii ???? ??式中 ?： 0?1。 能量法與超靜定系統(tǒng) /變形能的普遍表達式 2022/3/13 材料力學 9 如果 ?增加 d ?，則位移的相應增量為： , 21 ?????? ddd n?則外力 ),(,),(),( 21 ?????? dPdpdP n ??? ?在以上位移增量上所作的功為（略去高階微量）： ??????? dPdPddW iniiinii ???????11)(積分得 UPPPdPW nnniii ?????? ? ??)(21 221110 1?????? ?此式稱為 克拉 比 隆原理 。 能量法與超靜定系統(tǒng) /變形能的普遍表達式 2022/3/13 材料力學 10 ?特別注意點 ： iP —— 廣義力 ，力或力偶，或一對力，或一對力偶 。 i? —— 在所有力共同作用下與廣義力 相對應的沿著力的方向的廣義位移。 iP能量法與超靜定系統(tǒng) /變形能的普遍表達式 ?關(guān)于變形能計算的討論： 1 以上計算公式僅適用于線彈性材料在小變形下的變形 能的計算。 2 變形能可以通過 外力功 計算，也可以通過桿件微段上 的 內(nèi)力功 等于微段的變形能，然后積分求得整個桿件上 的變形能。 2022/3/13 材料力學 11 3 變形能為內(nèi)力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加原理 在變形能計算中不能使用 。只有當桿件上任一載荷在 其他載荷引起的位移上不做功時，才可應用。 能量法與超靜定系統(tǒng) /變形能的普遍表達式 4 變形能是恒為正的標量，與坐標軸的選擇無關(guān)，在桿系結(jié)構(gòu)中，各桿可獨立選取坐標系 。 外力作功 圖示線彈性懸臂梁 AB， 在 B端作用有集中力 F和力偶矩 M。 梁的彎曲剛度為 EI。試計算外力作的總功。 解：外力作用點的位移可以用疊加法求出。在力 F作用下 B點的撓度和轉(zhuǎn)角為 l B F A M 3, 3BFFlvEI?2, 2BFFlEI? ?在力偶矩 M作用下 B點的撓度和轉(zhuǎn)角為 2, 2BMMlvEI? ,BMMlEI? ?第十一章 能量法 外力作功 B點的總的撓度是 32, 32B B F B MF l M lv v vE I E I? ? ? ?B點的總的 轉(zhuǎn)角 是 2, 2B B F B MF l M lE I E I? ? ?? ? ? ?外力作的總功是 2 3 2 2112 2 6 2 2BBF l F M l M lW F v ME I E I E I?? ? ? ? ? ? ?注意外力作功并不等于力 F單獨作用的功與力偶矩 M單獨作用的 功之和，即 2 3 2,112 2 6 2B F B MF l M lW F v ME I E I?? ? ? ? ? ?第十一章 能量法 外力作功 以上可以看作是力 F 和力偶矩 M 同時按比例加載而得到的總功。 事實上，外力作功與加載次序無關(guān)。例如 231,126BFFlW F vEI? ? ?1， 先單獨作用力 F， 作功為 222 , ,12 2 2B M B MF M l M lW F v ME I E I?? ? ? ? ? ?2，然后保持力 F不變，加載力偶矩 M。 這一步作功為 2 3 2 212 6 2 2F l F M l M lW W WE I E I E I? ? ? ? ?總功為 167。 121 外力功與應變能的一般表達式 第十一章 能量法 克拉比隆原理 克拉比隆原理 （ Clapeyron Principle） ： 不論用何種方式加載 ， 作用在線彈性體上的所有的廣義載荷 Fi 在力的作用方向的廣義 位移 ?i上作的總功為 112niiiWF????彈性體的應變能 U在數(shù)值上等于外力所做的功，所以有 112niiiU W F?? ? ??第十一章 能量法 彈性 應變能 dx d? FN FN 拉（壓）桿的應變能 21 1 12 2 2NNNNF d x Fd U F d F d xE A E A?? ? ? ?2012l NFU dxEA? ?如果 FN和 A為常數(shù)，那么 2201122lNNF F lU d xE A E A???第十一章 能量法 彈性 應變能 扭轉(zhuǎn)圓軸的應變能 21 1 12 2 2xxxxppM d x Md U M d M d xG I G I?? ? ? ?2012l xpMU dxGI? ?如果 Mx和 Ip為常數(shù)，那么 2201122lxxppM M lU d xG I G I???dx d? Mx Mx 第十一章 能量法 彈性 應變能 梁彎曲的應變能 21 1 12 2 2zzzzzzM d x Md U M d M d xE I E I?? ? ? ?2012l zzMU dxEI? ?如果 Mz和 Iz為常數(shù)，那么 2201122lzzM M lU d xE I E I???dx d? Mz Mz 第十一章 能量法 彈性 應變能 梁的彎曲剪切應變能（剪切變形不存在平面截面關(guān)系） dx FS FS ()() SzF S yybI? ?()() yyG?? ?2 222222 222()11d d d d d d221 ( ) 1 d d d d22xy SVVzS S SAlzLF S yU x y z x y zG G b IF k FA S yy z x xG A G AIb??????? ??????? ???? ?? ?222 ddS AzASk y zIb? ??其中 稱為 剪切形狀系數(shù) ，對于矩形截面梁， kS=6/5； 圓截面梁的 kS=10/9； 圓形薄 壁截面梁的 kS=2； 工字形梁的 kS?2－ 5。 第十一章 能量法 彈性 應變能 2 2221( x ) ( x ) ( x )( x )1 d d d d2nz x S SNli li li lii zpM M k FFU x x x xE A E I G I G A???? ? ? ?????? ? ? ? ?同時有彎矩、軸力、扭矩和剪力作用的桿件系，彈性應變能的 一般公式是 2ni112N i iiiFlUEA?? ?在全部由鉸接軸力桿件構(gòu)成的桁架結(jié)構(gòu)中，如果每根桿的軸力都 為常數(shù)，則總應變能為 167。 121 外力功與應變能的一般表達式 167。 121 外力功與應變能的一般表達式 第十一章 能量法 例題 x2 x1 C A B y, v l b a F M1 M2 簡支梁 AB受集中力 F 作用。用能量 原理計算集中力作用點 C的垂直位移。 解： 11()FbM x xl?22()FaM x xl?2 2 3 2 2 3 2 22 2 21 1 2 2 220011[ ( ) d ( ) d ] [ ]2 2 3 3 6ab F b a F a b a bU M x x M x x FE I E I E I lll? ? ? ? ???12 CW F v U??223CabvFEI l?第十一章 能量法 余功和余能 余功和余能 f（ ?） 曲線上方圖形的面積 表示了另一形式的功 0( )dFCW f f?? ?稱為 余功 f(?) Wc ,Uc ? f W , U F ? f ? 余功沒有明確的物理意義， 其名稱是因為有下列關(guān)系式而得： cW W F? ? ?因為彈性體的應變能等于外力作的功，所以彈性體的余能在 數(shù)值上等于余功： 0 ()FCCU W f d f??? ?第十一章 能量法 余功和余能 與應變能密度的定義類似，單向 拉伸應力狀態(tài)的余能密度定義為 彈性體的余能為余能密度的體積分： f(?) Wc ,Uc ? f W , U F ? f ? 余能與應變能是完全不同的兩個 物理量。 對于線性彈性體，兩者的數(shù)值相等： CUU?0 dCu? ??? ?dCC