【正文】 材料力學（三） 劉鴻文 ? 彎曲變形 ? 應力和應變分析 強度理論 Deformation of bending State of stress and strain, theories of strength 初參數(shù)法 102030404322314322132121)4(22 , , , ,021!31!4121!31)(21)(. , ,CQCMCEJCE JyxCxCxCxCqxE JyCxCxCqxyEJxMCxCqxyEJxQCqxyEJqE JyMyEJqdxMd????????????????????????????????????x q y p m 0?Initial parameter method factorial 4302000 !41!3121 qxxQxMxEJE J yE J y ????? ?(a) Y=0 A B p L 寫出梁的撓曲線方程 3200006121,0,0pxpl xE J ypQplMy???????? ?? =0 P188(2) 見 A B p X=0 y=0 X=L y=0 X=0 例 64 Deflection equation of beam 若遇到中間有集中力，集中力偶，變化的分布力時，在 后面加一個相應的項，稱 ［ ］馬可利項． 423][!4 ][2 ][!3 iiiaxqqaxMMaxpp???例 65 A p p B a a C 求梁 B點的撓度， 轉角 . Concentrated force, concentrated moment, distributed force 3333330202222222000027 61386][!31!3121252146 ]2[21)2()2(3][21212 ,3papapapaaxpxQxME J ypapapapaaapapapaaxpxQxMEJpQpaMbb?????????????????????????????見 p198 63(b) A p p B a a C 例 66 寫出梁的撓曲線方程 此題在表上查不到 的。用初參數(shù)法 就很方便。 a a a p 32322332332)2(6)(12124.12062)3(12)3(4.3)2(6)(261221axpaxpaxpxpaE JypaEJapaEJapapaE JyaxaxpaxEJxpxpaE Jy??????????????????????????2pa2p例 67 求靜不定梁的撓曲線方程 m L q 38 416248124242241224120241222426124444243222442432qlqlqlqlE J ylxqxql xxqlE J yqlmqlqlmlE J ylxxqxqlxmE J ylx??????????????????????????比靜定梁變形小 5倍 Deformation is less than 5 times in parison with determinate beam. 二、積分法求解變截面梁的撓曲線方程 A B a 2a 3p EJ 2EJ c 21131121132CxCEJpxCEJpxEJpxAC???段：4233222322221224222CxCEJpxEJp axCEJpxEJp axEJpxEJpaBC??????段：p 2p m y ?x1 x2 在 C截面上 X1=a， x2=0。 分別代入連續(xù)條件 42133123.CCaCEJpayyCCEJpacccc???????????Use integral method to solve flexure equation of beam with varying cross section EJpaEJpaEJpayaxEJpaEJxpaEJpxEJpaxyEJxpaEJpxyEJpaCEJpaCEJpaCyaxCyxcbcac9149113.9149201229113914 920 9110 .2.00 .0333323223342321221???????????????????習題： 610（ a）（ d） 611（ b）（ c） 167。 64 用疊加法求彎曲變形 一、載荷疊加：原理是小變形和滿足虎克定理。 由前面可知載荷疊加。一個復雜的受力情況可分成幾個簡單 的受力之和。 ?? imm每個簡單的受力情況可寫成 ??? ???? iii yEJE J ymmE J y例 68 A B a 3a p c 求中點的撓度 A B a 3a c A B a 3a c pa pa Use superposition method to solve flexure deformation Superposition of load is based on small deformation and Hooke’s law. B a 3a c A 查 p190（ 9） EJpaEJpaEJpafEJpaEJapafEJpaaaEJpaflll12121116)4(1211]4)4(3[4833323223222??????????????查 p189（ 5） A B 4a pa p 例 69 求中點 C的撓度。 B c A q L 分析：本題有二種解法 Ask for flexure of midpoint C B c A L B c A L q qdx dx x 一、將 qdx看成集中力作用在距原點為 x 處。用 p190（ 9）式。 EJqlEJqlxxlEJqEJdxxlqxflll7685)1614123(48)23(4848)43(442042220222?????????????二、利用對稱性： B c A L B c A L B c A L q q q + = Utilize symmetric condition EJqlEJqlfl 7 6 853 8 4521 442?????B c L q + 若求中點 C的撓度。它用對稱性原理 可知為 EJqlEJqlfl 7 6 853 8 4521 442?????A B c L A q q p 求中點的撓度。 二邊為反對稱的。中點的撓度為零 本題就容易了。 二、 變形疊加 用于變截面梁的計算 原理： axaaxaaxxaaxaxaaxxaaxaxaxxaaxxaxayaxyydxEJmaxyydxEJmdxEJmdxEJmdxEJmdxyEJmy?????????????????????????????? ??????)()(0 0)56( 2??????????????X面上轉角為 A面轉角和 AX相對轉角 之和。若 A面的轉角為已知。若求得 AX相對轉角，則 x面轉角也 可求出。為了求出 AX相對轉角，可令 為 A點固定端。 AX相對轉角要注意原梁上 EJ和彎矩都要相等。在計算中一般用等效力系代替。 Superposition of deformation, for the calculation of beam with varying cross section principle Rotation angle Point A is a fixed end, it is required that EJ and moment should keep the same value on the beam, if relative rotation angle of AX is calculated. Equivalent force system 例 610 B c + A D 2EJ EJ p 4l4l 4l4l求中點的撓度 4pl8pl2pC D B p l l EJmlEJmlyEJplEJply??????223223m EJplEJmlEJplEJplEJlpfflffcdcdbdbdddb1283203843)4(24222233???????????????EJpl EJpllEJplEJplffEJpl EJlpEJlpl EJplEJmllflffcbcdccd2 5 633 8 441 2 831 5 3 651 5 3 6564244832400433233322322???????????????????)()(?P202 613 例 611 等強度梁受力 p的作用，變形讀數(shù) f，梁長 L，厚為 t 證明：梁頂上任一點的應變 和撓度 f滿足： ?2lft??p L t 證明： 2222121 0 ,0 ,0 221 22lfttltElfffxCxCtExfCtExftEEJMfJMtJtMElx????????????????????????????????習題： 627 640 642 167。 65 簡單靜不定梁 A q B C L L1 AB梁 EJ為常數(shù)， BC桿 EA為常數(shù)。求B點的反力。 解：去 BC桿得 AB靜定梁稱為靜定基。 q Rb B 113131443113431183388338LEAk lE