【正文】 (b) D B C A ( c) D C B A (d) M M FS FS FN FN D C B A ( e) 第十一章 能量法 單位載荷法 (靜不定 ) ? A D C B A MD MD F/2 F/2 F F F MD F/2 圖示的細(xì)園環(huán) 半徑為 R， 抗彎剛度為 EI， 受一對(duì)拉力 F作用 。 511 2 ( 1 2 )oB N i N u i iiFau F F lEA EA?????511 ( 3 4 2 )oB N i N v i iiFav F F lE A E A?????第十一章 能量法 單位載荷法 2F?2aoNi Nui iF F l2oNi Nvi iF F l2?2F2aoNuiF22FaoNviF22Fa桿號(hào) 1 2 3 4 5 FNi － F － F F 0 － 1 1 0 － 1 － 1 1 a a a 0 Fa Fa 0 Fa Fa Fa il222Fa第十一章 能量法 單位載荷法 x MB a A B q 1 C a 1 FB x y y ?B MB FB 圖示 ?形剛架，在 C端固支。 3 c o sNEAFvl ?? 12 c o sNNEAF F vl ???在此基礎(chǔ)上假設(shè) A’經(jīng)歷虛位移 δv， 至 A’’。 第十一章 能量法 虛功原理 dx2 dx1 dx2 dx1 ?1 F ?2 F F1 F2 左圖為受軸向力 F 作用的桿，圖 中已處于平衡狀態(tài)（已包括桿的 實(shí)際伸長(zhǎng)）。 對(duì)于變形體，虛位移是指滿足約束條件和變形連續(xù)條件的任何 可能位移。 最后令虛擬力為零。 現(xiàn)在 假設(shè)第 k個(gè)外力有一微小增量 dFk， 其他外力不變 。 第十一章 能量法 互等定理 ?A C F A vC m A B B C 梁中點(diǎn) C作用集中力 F 時(shí)，端點(diǎn)轉(zhuǎn)角 216AFlEI? ?當(dāng)梁端點(diǎn) A受力矩 m作用時(shí)，中點(diǎn)撓度 216CmlvEI?根據(jù)功的互等定理，應(yīng)該有 將 和 代入，互等定理得到驗(yàn)證。 121 外力功與應(yīng)變能的一般表達(dá)式 167。試計(jì)算外力作的總功。 i? —— 在所有力共同作用下與廣義力 相對(duì)應(yīng)的沿著力的方向的廣義位移。 2022/3/13 材料力學(xué) 6 二、變形能的普遍表達(dá)式 (克拉貝依隆原理 ) P o B ? A 基本變形下變形能的一般表達(dá)式： 式中 P—— 廣義力 (力或力偶 )； ?—— 廣義位移 (線位移或角位移 ) 且 P=C?。 理解功互等和位移互等定理； 理解動(dòng)荷系數(shù)的概念；熟練掌握自由落體沖擊時(shí)動(dòng)荷系數(shù)計(jì)算。 外力的功 轉(zhuǎn)化成為積蓄在彈性體內(nèi)的變形能 （或稱為 應(yīng)變能 , Strain energy）。 nPPP , 21 ?因此可假設(shè) nPPP , 21 ? 按同一比例 ?從零逐漸增加到終值， 即外力增加的過(guò)程為 ： ),2,1(10 niP i ???? ? 若材料是線彈性的，則對(duì)應(yīng)的位移也以 ?的比例增加，相應(yīng) 的位移為： ),2,1(10 nii ???? ??式中 ?： 0?1。 能量法與超靜定系統(tǒng) /變形能的普遍表達(dá)式 4 變形能是恒為正的標(biāo)量，與坐標(biāo)軸的選擇無(wú)關(guān)，在桿系結(jié)構(gòu)中，各桿可獨(dú)立選取坐標(biāo)系 。 這一步作功為 2 3 2 212 6 2 2F l F M l M lW W WE I E I E I? ? ? ? ?總功為 167。這就是 功的互等定理 。 第十一章 能量法 卡氏第一定理 C2 C1 ?l1 ?l2 C2 C C’ 30? C’ C1 1 2 B C A 2m F 30? 解 ： 外力 F 對(duì)應(yīng)的是節(jié)點(diǎn) C的 垂直位移 vC， 與節(jié)點(diǎn) C上的水平外力（數(shù)值為零）對(duì)應(yīng)的是 C點(diǎn)的 水平位移 uC。 () 2FM x x?解：由于對(duì)于中點(diǎn)的對(duì)稱性，只需 考慮 AC段的應(yīng)變能。 虛位移 是約束條件所容許的任何微小位移，與系統(tǒng)受力無(wú)關(guān)。經(jīng)積分并將所有單元的 虛功相加，得到內(nèi)力的虛功 Wi。 第十一章 能量法 虛功原理 FN1 FN3 ? ? F A A’ ? ? l 3 2 1 F A C D B 如圖結(jié)構(gòu)，三根桿的 截面相同，材料相同。 解： / 2 / 200/2220( / 2 ) ( 1 )3 ( )2 2 8ollBlM M F x ldx dxEI EIFx Fl x FlEI EI EI?? ? ? ???? ? ???/ 2 / 200/23 2 30( / 2 ) ( )5 ( )3 4 48ollBlMM F x l xv dx dxEI EIFx Fl x FlEI EI EI? ? ? ???? ? ???F l/2 l/2 A B C ( ) ( / 2 )M x F x l? ? ?( ) 1oMx ??x()oM x x??第十一章 能量法 單位載荷法 a 45? 45? 1 2 3 5 4 F A B C D 1 1 如圖所示，簡(jiǎn)支的桁架各桿的拉壓剛度均為 EA。梁的抗彎剛度為 EI。 解 : 設(shè) Fcy為未知約束力，根據(jù) C點(diǎn)垂直位移為零建立幾何條件。 假定沖擊物為剛體。就 以此時(shí)來(lái)計(jì)算： ?釋放出的動(dòng)能 （以勢(shì)能的降低來(lái)表示） )( dHQT ????增加的變形能，在彈性極限內(nèi) ddPU ?? 21Q Q 2022/3/13 材料力學(xué) 73 動(dòng)載荷 /構(gòu)件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形計(jì)算 P ? st? d?dPQ 被沖擊構(gòu)件增加的變形能 U，是等于沖擊載荷 在沖擊過(guò)程中所作的功。 102 ??stHstdHk??? 21當(dāng) 時(shí)，可近似取 ，誤差 10%。 dk maxd?2022/3/13 材料力學(xué) 85 動(dòng)載荷 /幾個(gè)沖擊實(shí)例的計(jì)算 實(shí)例 3 等截面圓軸受沖擊扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力 等圓截面圓軸上有飛輪 D，以等角 速度 ?轉(zhuǎn)動(dòng)，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 。 zW2022/3/13 材料力學(xué) 89 動(dòng)載荷 /構(gòu)件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形計(jì)算 將 (b)代入 (a)式： EILPvgQ d32121 322 ?解得： 323gLE IQ vPd ?EIQLgvQ332?式中 EIQLst 33??表示水平?jīng)_擊時(shí)假設(shè)以沖擊物重量大小的力沿水平方向以靜載荷作用于沖擊點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)沿水平方向的位移。 計(jì)算步驟： 將沖擊物的重量作為靜載荷作用在受沖擊處，計(jì)算靜應(yīng)力 、靜位移 ； st?st?dk計(jì)算動(dòng)荷系數(shù) 。擴(kuò)展中裂紋表 面摩擦，形成光滑區(qū)；隨著裂紋的擴(kuò)展，形成弧形。 )( NrNr ??無(wú)限壽命疲勞極限或持久極限 ： 當(dāng) 不超過(guò)某一極限值，材料可以經(jīng)受“無(wú)數(shù)次”應(yīng)力 循環(huán)而不發(fā)生破壞，此極限值稱為無(wú)限壽命疲勞極限或持久極限。 循環(huán)基數(shù) ： 鋼 ： （出現(xiàn)水平漸近線） 有色金屬 ：規(guī)定 （名義疲 勞極限），疲勞曲線不出現(xiàn)水平漸近線。 q1?? 1??2022/3/13 材料力學(xué) 114 以上 、 、 總稱為表面狀態(tài)系數(shù)，以 ?表示。 F 2022/3/13 材料力學(xué) 118 z 1117 試確定圖示 T 字形截面的核心邊界。 122 沖擊應(yīng)力分析 本 章 結(jié) 束 。 1 1 A B 1 2 2 y 2 3 3 3 4 4 5 4 6 2022/3/13 材料力學(xué) 119 105 外伸梁受力及尺寸如圖示，設(shè) [?]＝ 140 MPa，試選定 該梁的工字鋼型號(hào)，并作主應(yīng)力校核。即 3?1? 2?? = 不同表面質(zhì)量構(gòu)件的持久極限 表面磨光試樣的持久極限 五、對(duì)稱循環(huán)下構(gòu)件的疲勞強(qiáng)度計(jì)算 在考慮應(yīng)力集中、尺寸大小和表面狀態(tài)的綜合影響后，構(gòu)件 在循環(huán)特征 r=1 下的疲勞極限為： 構(gòu) )( 1??1?? ?????k2022/3/13 材料力學(xué) 115 規(guī)定安全系數(shù)為 n，則構(gòu)件的 許用應(yīng)力 為 ][ 1m a x ?? ??因此， 強(qiáng)度條件 為 1?? ?????nk構(gòu) )( 1?? n ?? ][ 1??提高構(gòu)件疲勞強(qiáng)度的關(guān)鍵： 消除或改善各類情況下的應(yīng)力集中 以及提高構(gòu)件表層的強(qiáng)度。這意味著當(dāng) 時(shí)，試件經(jīng)歷 有限次應(yīng)力循環(huán)后會(huì)發(fā)生疲勞破壞，即疲勞壽命是有限的；當(dāng) 時(shí)，試件經(jīng)歷無(wú)限次應(yīng)力循環(huán)而不發(fā)生疲勞破壞，即 疲勞壽命是無(wú)限的。測(cè)定該值 的方法為： 試件 ： d=710mm，表面磨光的小試件 610 根。 ?疲勞破壞產(chǎn)生的過(guò)程可概括為： 裂紋形成 ? 裂紋擴(kuò)展 ? 斷裂 2022/3/13 材料力學(xué) 101 動(dòng)載荷 /交變應(yīng)力 二、 交變應(yīng)力的循環(huán)特征及分類 應(yīng)力循環(huán) :一點(diǎn)的應(yīng)力由某一數(shù)值開始，經(jīng)過(guò)一次完整的變 化又回到這一數(shù)值的一個(gè)過(guò)程。 d?2022/3/13 材料力學(xué) 97 交變應(yīng)力 動(dòng)載荷 /交變應(yīng)力 2022/3/13 材料力學(xué) 98 動(dòng)載荷 /交變應(yīng)力 一、疲勞破壞的特點(diǎn) 交變應(yīng)力：隨時(shí)間 t作周期性循環(huán)變化的應(yīng)力。 ) 2022/3/13 材料力學(xué) 91 動(dòng)載荷 /幾個(gè)沖擊實(shí)例的計(jì)算 例 3 起重機(jī)吊索下端與重物之間有一緩沖彈簧，每單位力引起的 伸長(zhǎng)為 ，吊索橫截面面積 ，彈性 模量 ，所吊重物質(zhì)量為 Q=50KN 。求 此時(shí)軸內(nèi)的沖擊應(yīng)力。這也是與靜應(yīng)力的根本不同點(diǎn)。 stddQP???于是變形能為 22121dstddQPU ?????根據(jù)能量守恒： 根據(jù)力和變形之間的關(guān)系： dd kP ??且 UT ?2022/3/13 材料力學(xué) 74 動(dòng)載荷 /構(gòu)件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形計(jì)算 可以得到： 221)(dstdQHQ ?????即 0222 ??????? stdstd H解得： stststd H ??????? 22式中“ +”對(duì)應(yīng)的是最大變形，“ ”代表的是回跳到的最 高位置。 假定被沖擊物為彈性體。已知?jiǎng)偧艿目箯潉偠葹?EI。 不考慮 BC桿的失穩(wěn)，試計(jì)算 C點(diǎn)的撓度和 轉(zhuǎn)角。求 B點(diǎn)的水平位移 uB和垂直位移 vB。 解：由于對(duì)稱性，結(jié)構(gòu) 只有一個(gè)自由度，即節(jié) 點(diǎn) A的垂直位移 v。可以敘述為，如果給外力作用下處于 平衡狀態(tài)的結(jié)構(gòu)一個(gè)微小的虛位移，那么外力做的虛功等于內(nèi)力做 的虛功。作用力沿虛位移所作的功稱為 虛功 。 FA A q MA A q 解：為了求 A點(diǎn)撓度和轉(zhuǎn)角，設(shè) 有虛擬力 FA和力偶矩 MA作用。從幾何關(guān)系分析可知 1Cul??2 1 2 2 1 2s i n 3 0 ( c