【正文】 δ2， 內(nèi)力在微段虛變形上做的功為 1 1 2 2 1 2()ieW F F F W? ? ? ?? ? ? ? ?從而驗(yàn)證了虛功原理。 第十一章 能量法 虛功原理 dx2 dx1 dx2 dx1 ?1 F ?2 F F1 F2 左圖為受軸向力 F 作用的桿，圖 中已處于平衡狀態(tài)（已包括桿的 實(shí)際伸長）。 ddedWW??? 上式右邊積分時(shí)，僅有單元 的內(nèi)力在各自單元的虛變形上 做功。 對于變形體，虛位移是指滿足約束條件和變形連續(xù)條件的任何 可能位移。 Principle of virtual work 理論力學(xué)中論述了質(zhì)點(diǎn)系的虛功原理：質(zhì)點(diǎn)系平衡的充要條件是 作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有的力在任何虛位移上做功之和為零。 最后令虛擬力為零。 ckkUF????kkUF????第十一章 能量法 卡氏第二定理 軸力桿系結(jié)構(gòu)的位移： 2k i 1 1( x ) ( ) ( )1 d2 iinnN N Nk llkk iF F x F xU x d xF F E A E A F???? ????? ??? ? ???????＝?有彎矩，扭矩的桿系結(jié)構(gòu)的位移： 2 2k i11( x ) ( x )11dd22( ) ( ) ( ) ( ) iiiinz xkllkpnzz xxllk p kiM MUxxF F E I GIM x M x M x M xdx dxE I F GI F???????? ???? ????? ?????????? ??? ??＝?第十一章 能量法 卡氏第二定理 C F A B l/2 l/2 試用卡氏第二定理求簡支梁中點(diǎn)撓度。 現(xiàn)在 假設(shè)第 k個(gè)外力有一微小增量 dFk， 其他外力不變 。已知作用在節(jié)點(diǎn) C的力 F＝ 30kN， 鋼的彈性模量 E1＝ 200GPa， 木材的彈性模量 E2=10GPa， 試用位移法求節(jié)點(diǎn) C的水平位移和垂直 位移。 第十一章 能量法 互等定理 ?A C F A vC m A B B C 梁中點(diǎn) C作用集中力 F 時(shí)，端點(diǎn)轉(zhuǎn)角 216AFlEI? ?當(dāng)梁端點(diǎn) A受力矩 m作用時(shí)，中點(diǎn)撓度 216CmlvEI?根據(jù)功的互等定理，應(yīng)該有 將 和 代入，互等定理得到驗(yàn)證。 對于線性彈性體，兩者的數(shù)值相等： CUU?0 dCu? ??? ?dCCVU u V? ?第十一章 能量法 互等定理 位移的第一個(gè)下標(biāo)表示點(diǎn)的位置，第二個(gè)下標(biāo)表示產(chǎn)生此位移的力 （ 1） （ 2） ?11 ?21 F1 （ 2） （ 1） ?12 ?22 F2 （ 1） （ 2） ?11 ?22 F1 F2 ?12 （ 1） （ 2） ?11 ?22 F1 ?21 F2 1，在梁上先作用 F1， 再作用 F2， 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 21122U W F F F? ? ?? ? ? ?2，在梁上先作用 F2， 再作用 F1， 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 11122U W F F F? ? ?? ? ? ?由于 U1＝ U2 所以 F1δ12＝ F2δ21 第十一章 能量法 互等定理 上式表示， F1（ 或第一組廣義力）在由 F2（ 或第二組廣義力）所引起的位移上做的功，等于 F2（ 或第二組廣義力）在由 F1（ 或第一組廣義力）所引起的位移上做的功。 121 外力功與應(yīng)變能的一般表達(dá)式 167。例如 231,126BFFlW F vEI? ? ?1， 先單獨(dú)作用力 F， 作功為 222 , ,12 2 2B M B MF M l M lW F v ME I E I?? ? ? ? ? ?2，然后保持力 F不變，加載力偶矩 M。試計(jì)算外力作的總功。只有當(dāng)桿件上任一載荷在 其他載荷引起的位移上不做功時(shí)，才可應(yīng)用。 i? —— 在所有力共同作用下與廣義力 相對應(yīng)的沿著力的方向的廣義位移。且彈性體在變形過程中貯存的應(yīng)變能只 取決于外力和位移的終值與加力順序無關(guān)。 2022/3/13 材料力學(xué) 6 二、變形能的普遍表達(dá)式 (克拉貝依隆原理 ) P o B ? A 基本變形下變形能的一般表達(dá)式： 式中 P—— 廣義力 (力或力偶 )； ?—— 廣義位移 (線位移或角位移 ) 且 P=C?。外力在 相應(yīng)的位移上作了功。 理解功互等和位移互等定理； 理解動(dòng)荷系數(shù)的概念；熟練掌握自由落體沖擊時(shí)動(dòng)荷系數(shù)計(jì)算。 本章目的 基本要求 理解廣義力、廣義位移、虛位移、虛功概念 。 外力的功 轉(zhuǎn)化成為積蓄在彈性體內(nèi)的變形能 （或稱為 應(yīng)變能 , Strain energy）。 ? 彈性體的變形能決定于外力和位移的最終值，與加載 的過程無關(guān) 。 nPPP , 21 ?因此可假設(shè) nPPP , 21 ? 按同一比例 ?從零逐漸增加到終值， 即外力增加的過程為 ： ),2,1(10 niP i ???? ? 若材料是線彈性的，則對應(yīng)的位移也以 ?的比例增加，相應(yīng) 的位移為： ),2,1(10 nii ???? ??式中 ?： 0?1。 iP能量法與超靜定系統(tǒng) /變形能的普遍表達(dá)式 ?關(guān)于變形能計(jì)算的討論： 1 以上計(jì)算公式僅適用于線彈性材料在小變形下的變形 能的計(jì)算。 能量法與超靜定系統(tǒng) /變形能的普遍表達(dá)式 4 變形能是恒為正的標(biāo)量，與坐標(biāo)軸的選擇無關(guān)，在桿系結(jié)構(gòu)中，各桿可獨(dú)立選取坐標(biāo)系 。 解：外力作用點(diǎn)的位移可以用疊加法求出。 這一步作功為 2 3 2 212 6 2 2F l F M l M lW W WE I E I E I? ? ? ? ?總功為 167。 121 外力功與應(yīng)變能的一般表達(dá)式 第十一章 能量法 例題 x2 x1 C A B y, v l b a F M1 M2 簡支梁 AB受集中力 F 作用。這就是 功的互等定理 。 CAF v m ?? ? ?A? Cv第十一章 能量法 卡氏第一定理 卡氏第一定理 應(yīng)變能 U 可以表示為最終位移 ?i的函數(shù) 。 第十一章 能量法 卡氏第一定理 C2 C1 ?l1 ?l2 C2 C C’ 30? C’ C1 1 2 B C A 2m F 30? 解 ： 外力 F 對應(yīng)的是節(jié)點(diǎn) C的 垂直位移 vC， 與節(jié)點(diǎn) C上的水平外力（數(shù)值為零）對應(yīng)的是 C點(diǎn)的 水平位移 uC。 那么彈性體 的應(yīng)變余能的增量為 1n ccc i ki ikUUdU dF dFFF??????因?yàn)橹挥械?k個(gè)外力有變化，其他外力沒有變化，所以余功的增量 ddc k kWF? ?由于余功在數(shù)值上等于應(yīng)變余能，那么兩者的變化量也應(yīng)相等， 所以 ckkUF????第十一章 能量法 卡氏第二定理 上式表明，應(yīng)變余能對于某一外力變化率等于該外力所對應(yīng)的位移 的數(shù)值，這一結(jié)果稱為余能定理。 () 2FM x x?解：由于對于中點(diǎn)的對稱性，只需 考慮 AC段的應(yīng)變能。 2()2 AAqxM x F x M? ? ? ?AM xF? ?? 1AMM? ??2400/28llAAM M q x q lv d x x d xE I F E I E I??? ? ? ????2300/26llAAM M q x q ld x d xE I M E I E I???? ? ? ????答案的負(fù)號表示位移與 虛擬力方向相反。 虛位移 是約束條件所容許的任何微小位移，與系統(tǒng)受力無關(guān)。虛位移會(huì)產(chǎn)生虛變形，這樣，外力的虛功不為零。經(jīng)積分并將所有單元的 虛功相加，得到內(nèi)力的虛功 Wi。 假設(shè)產(chǎn)生了軸向虛位移，使中間截面向右移了距離 ，端面向右 移了 。 第十一章 能量法 虛功原理 FN1 FN3 ? ? F A A’ ? ? l 3 2 1 F A C D B 如圖結(jié)構(gòu)，三根桿的 截面相同，材料相同。 內(nèi)力虛功為 FN2 ?l1 ? l3=v ?l2 A’ ? ? A A’’ 1l?3lv???21 1 3 3 12 2 c o s c o s ( 2 c o s )c o s c o sNN E A E A E AF l F l v v v v v vl l l? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?第十一章 能量法 虛功原理 2 1( 2 c o s )c o s EAF v v vl? ? ??? ? ?外力虛功等于內(nèi)力虛功： 所以 3c o s()1 2 c o sFlvEA??? ?212 3c o s()1 2 c o sNNF F F???? ?3 31()1 2 c o sNFF?? ?第十一章 能量法 莫爾積分－ 單位載荷法 兩組力： 外力及由載荷產(chǎn)生的實(shí)際 內(nèi)力 FN， MZ， Mx， Fs。 解： / 2 / 200/2220( / 2 ) ( 1 )3 ( )2 2 8ollBlM M F x ldx dxEI EIFx Fl x FlEI EI EI?? ? ? ???? ? ???/ 2 / 200/23 2 30( / 2 ) ( )5 ( )3 4 48ollBlMM F x l xv dx dxEI EIFx Fl x FlEI EI EI? ? ? ???? ? ???F l/2 l/2 A B C ( ) ( / 2 )M x F x l? ? ?( ) 1oMx ??x()oM x x??第十一章 能量法 單位載荷法 a 45? 45? 1 2 3 5 4 F A B C D 1 1 如圖所示，簡支的桁架各桿的拉壓剛度均為 EA。其垂直部分 AB受均布力 q作用。梁的抗彎剛度為 EI。求 （ 1） 圓環(huán)的彎矩 （ 2） 力的作用點(diǎn)的相對位移 。 解 : 設(shè) Fcy為未知約束力，根據(jù) C點(diǎn)垂直位移為零建立幾何條件。 解： C點(diǎn)兩側(cè)截面垂直方向的相對位移 a/2 a/2 m m a a FS x2 x1 FS 1 a/2 m Mo M C 第十一章 能量法 單位載荷法 (靜不定 ) ?? 127S mF am/7 m/7 m m C 67m67mm M 127ma67m167。 假定沖擊物為剛體。 2022/3/13 材料力學(xué) 71 動(dòng)載荷 /構(gòu)件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形計(jì)算 ? 根據(jù)假設(shè)，工程實(shí)際上的梁、桿均可簡化為彈簧來 分析。就 以此時(shí)來計(jì)算： ?釋放出的動(dòng)能 （以勢能的降低來表示） )( dHQT ????增加的變形能，在彈性極限內(nèi) ddPU ?? 21Q Q 2022/3/13 材料力學(xué) 73 動(dòng)載荷 /構(gòu)件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形計(jì)算 P ? st? d?dPQ 被沖擊構(gòu)件增加的變形能 U，是等于沖擊載荷 在沖擊過程中所作的功。 即 stststd H ??????? 222022/3/13 材料力學(xué) 76 動(dòng)載荷 /構(gòu)件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形計(jì)算 )211(22stststststdHH????????????stdk ??式中 為沖擊時(shí)的 動(dòng)荷系數(shù) ， dkstdHk???? 211其中 是結(jié)構(gòu)中沖擊受力點(diǎn)在靜載荷（大小為沖擊物重量） 作用下的垂直位移。 102 ??stHstdHk??? 21當(dāng) 時(shí)，可近似取 ，誤差 10%。 st?20