【正文】 o s 3 0 ) c o t 3 0 0 . 5 3 ( 0 . 5 3 )o o oCv l l l l l l? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?第十一章 能量法 卡氏第一定理 桿件的伸長(zhǎng)量用節(jié)點(diǎn)位移可以表示為 1 Clu?? 2 0 . 5 ( 3 )CCl v u? ? ??系統(tǒng)的應(yīng)變能用桿件伸長(zhǎng)量可以表示為 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2121 2 1 20 . 5 ( 3 )2 2 2 2C C CE A E A E A E AU l l u v ul l l l? ? ? ? ? ? ???應(yīng)用卡氏第一定理 1 1 2 2122 3 ( 3 ) 08C C CCE A E AU u v uu l l? ? ? ? ? ? ??2222 ( 3 )8 CCCEAU v u Fvl? ? ? ? ? ??第十一章 能量法 卡氏第一定理 1 1 111 1 1 13 1 . 8 3 3 m mNCF l F lulE A E A? ? ? ??292224 4 3 0 0 0 0 4 0 0 03 3 1 .8 3 3 mm + mm = 4 .3 7 5 mm1 0 1 0 0 .2CCFlvuEA??? ? ? ???可以解出 第十一章 能量法 卡氏第二定理 卡氏第二定理 結(jié)構(gòu)的余能可以表示為載荷的函數(shù) Uc=Uc(F1, F2, ?, Fn)。這也就是 位移互等定理 （ reciprocal theorem of displacement）。 第十一章 能量法 彈性 應(yīng)變能 2 2221( x ) ( x ) ( x )( x )1 d d d d2nz x S SNli li li lii zpM M k FFU x x x xE A E I G I G A???? ? ? ?????? ? ? ? ?同時(shí)有彎矩、軸力、扭矩和剪力作用的桿件系，彈性應(yīng)變能的 一般公式是 2ni112N i iiiFlUEA?? ?在全部由鉸接軸力桿件構(gòu)成的桁架結(jié)構(gòu)中，如果每根桿的軸力都 為常數(shù)，則總應(yīng)變能為 167。 梁的彎曲剛度為 EI。 能量法與超靜定系統(tǒng) /變形能的普遍表達(dá)式 2022/3/13 材料力學(xué) 10 ?特別注意點(diǎn) ： iP —— 廣義力 ，力或力偶，或一對(duì)力，或一對(duì)力偶 。 121 外力功與應(yīng)變能的一般表達(dá)式 線彈性體：載荷與相應(yīng)位移成正比的彈性體，簡(jiǎn)稱線彈性體 2022/3/13 材料力學(xué) 5 一、外力功基本公式 載荷 f和相應(yīng)位移 之間關(guān)系 能量法與超靜定系統(tǒng) /桿件產(chǎn)生基本變形時(shí)的變形能 ??kf ?所以當(dāng)載荷 f與位移 分別由 0增加至最大值 F與 , 載荷所做之功為： ? ?22200?????? ?? ?? FkdkdfW ???當(dāng)載荷 f與相應(yīng)位移保持正比關(guān)系，并由 0逐漸增加時(shí) , 載荷所做之功等于載荷與相應(yīng)位移的乘積一半。材 料 力 學(xué) （ Ⅰ ） 主講教師 ： 張恒文 Email： 第十一章 能量法 Energy Methods 介紹卡氏第一定理和余能定理；進(jìn)而推得卡氏第二定理； 建立一般情況下桿件外力功、應(yīng)變能、克拉比隆定理、互等定理 建立力法解一般超靜定問(wèn)題的正則方程。 牛頓力學(xué) (矢量力學(xué)） 拉格郎日力學(xué) （能量原理） 力學(xué)的三個(gè)基本原理 1，力的平衡關(guān)系 2，變形幾何協(xié)調(diào)關(guān)系 3，力與變形的關(guān)系 能量原理 能量極值原理 直接法 微分方程 代數(shù)方程 167。 能量法與超靜定系統(tǒng) /變形能的普遍表達(dá)式 2022/3/13 材料力學(xué) 9 如果 ?增加 d ?，則位移的相應(yīng)增量為： , 21 ?????? ddd n?則外力 ),(,),(),( 21 ?????? dPdpdP n ??? ?在以上位移增量上所作的功為（略去高階微量）： ??????? dPdPddW iniiinii ???????11)(積分得 UPPPdPW nnniii ?????? ? ??)(21 221110 1?????? ?此式稱為 克拉 比 隆原理 。 外力作功 圖示線彈性懸臂梁 AB， 在 B端作用有集中力 F和力偶矩 M。 121 外力功與應(yīng)變能的一般表達(dá)式 第十一章 能量法 克拉比隆原理 克拉比隆原理 （ Clapeyron Principle） ： 不論用何種方式加載 ， 作用在線彈性體上的所有的廣義載荷 Fi 在力的作用方向的廣義 位移 ?i上作的總功為 112niiiWF????彈性體的應(yīng)變能 U在數(shù)值上等于外力所做的功，所以有 112niiiU W F?? ? ??第十一章 能量法 彈性 應(yīng)變能 dx d? FN FN 拉（壓）桿的應(yīng)變能 21 1 12 2 2NNNNF d x Fd U F d F d xE A E A?? ? ? ?2012l NFU dxEA? ?如果 FN和 A為常數(shù)，那么 2201122lNNF F lU d xE A E A???第十一章 能量法 彈性 應(yīng)變能 扭轉(zhuǎn)圓軸的應(yīng)變能 21 1 12 2 2xxxxppM d x Md U M d M d xG I G I?? ? ? ?2012l xpMU dxGI? ?如果 Mx和 Ip為常數(shù)，那么 2201122lxxppM M lU d xG I G I???dx d? Mx Mx 第十一章 能量法 彈性 應(yīng)變能 梁彎曲的應(yīng)變能 21 1 12 2 2zzzzzzM d x Md U M d M d xE I E I?? ? ? ?2012l zzMU dxEI? ?如果 Mz和 Iz為常數(shù)，那么 2201122lzzM M lU d xE I E I???dx d? Mz Mz 第十一章 能量法 彈性 應(yīng)變能 梁的彎曲剪切應(yīng)變能（剪切變形不存在平面截面關(guān)系） dx FS FS ()() SzF S yybI? ?()() yyG?? ?2 222222 222()11d d d d d d221 ( ) 1 d d d d22xy SVVzS S SAlzLF S yU x y z x y zG G b IF k FA S yy z x xG A G AIb??????? ??????? ???? ?? ?222 ddS AzASk y zIb? ??其中 稱為 剪切形狀系數(shù) ，對(duì)于矩形截面梁， kS=6/5； 圓截面梁的 kS=10/9； 圓形薄 壁截面梁的 kS=2； 工字形梁的 kS?2－ 5。（ reciprocal theorem of work） F1δ12＝ F2δ21 如果進(jìn)一步假設(shè) F1＝ F2， 那么得到 12 21???上式可以敘述為，一個(gè)力作用于點(diǎn)（ 2）時(shí)在點(diǎn)（ 1）引起的位移， 等于同一個(gè)力作用于點(diǎn)（ 1）時(shí)在點(diǎn)（ 2）引起的位移。 用 Δl1和 Δl2表示桿 1的伸長(zhǎng)和桿 2的縮短。 根據(jù)卡氏第二定理， / 2 / 2C 003/20d 2 d 2 d2 d2 2 4 8llLlU M M M M M Mv x x xF E I F E I F E I FF x x F lxE I E I? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ??第十一章 能量法 卡氏第二定理 x y A L q 試用卡氏第二定理求圖示懸臂梁 端點(diǎn) A的撓度和轉(zhuǎn)角。 是在力系平衡位置上附加的位移。 所以 We＝ Wi 第十一章 能量法 虛功原理 We＝ Wi 上式稱為 變形體的虛功原理 。 試用虛功原理求解節(jié) 點(diǎn) A的位移和各桿內(nèi) 力。 在 B點(diǎn)受向下的力 F 作用。 支撐桿 BD的抗拉壓剛度為 EA。 F l B C A (a) F l FCy B C A (a) 第十一章 能量法 單位載荷法 (靜不定 ) x3 x2 x1 F B C A M ( b) l l 1 B C A Mo ( d) FCy l FCy l B C A M (c) FCy 22 2 3 31 1 2 3 30 0 0dd41 ( d 1 d ) d 038lo o oC C y FllC y C yv F M M x M M xF x x x F x l x F l F l? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ?332CyFF?第十一章 能量法 單位載荷法 (靜不定 ) 1 B C A Mo (f) 1 B C A Mo (e) 1 B C A Mo ( d) 1 l F l FCy B C A (a) x3 x2 x1 F B C A M ( b) FCy l FCy l B C A M (c) FCy 2 32 2 3 3 3001 1 1[ ( ) ]2 1 9 2llB C ylu F l x d x F x x d x F lE I E I? ? ? ? ? ???2 22 3 30011( 1 d 1 d )32llB C yF l x F x x F lE I E I? ? ? ? ? ? ? ? ???0Bv ?第十一章 能量法 單位載荷法 (靜不定 ) FS FS FN FN m (a) m (c) (b) (d) m m 反對(duì)稱載荷 M M 對(duì)稱載荷 n n 第十一章 能量法 單位載荷法 (靜不定 ) ???? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ??? ? ? ?????? ? ?/22 2 3 20 0 01dd1 1 7d ( ) d d 02 2 2 4 2o o oC C Sa a aSSv F M M x M M xEIa a mF x x x m x F a aE I E I?形剛架在兩個(gè)角點(diǎn)受反對(duì)稱載荷 m作用。只考慮其機(jī)械能，不計(jì)變形能。 dPdP ：沖擊物速度為 0時(shí)，作用于桿之力。 stdHk?? 21102 ??stHdk 不僅與沖擊物的動(dòng)能有關(guān)，與載荷、構(gòu)件截面尺寸有關(guān)， 更與 有關(guān)。 由于某種原因在 B端突然剎車。 2022/3/13 材料力學(xué) 90 動(dòng)載荷 /構(gòu)件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形計(jì)算 所以 QkgvQP dstd ???2即水平?jīng)_擊時(shí)的動(dòng)荷系數(shù)為 std gvk??2桿內(nèi)最大動(dòng)應(yīng)力為 zdstdd WQLkk ??m a xm a x )()( ??(表示水平?jīng)_擊時(shí)假設(shè)以沖擊物重量大小 的力沿水平方向以靜載荷作用于沖擊點(diǎn) 時(shí)，該點(diǎn)沿水平方向的位移。 d?計(jì)算動(dòng)應(yīng)力 、動(dòng)位移 。當(dāng)表面被削 弱至不能承受所加載荷而斷裂，即為脆斷粗糙區(qū)。 max?r?2022/3/13 材料力學(xué) 106 1??? 值是工程材料最常見(jiàn)、最基本的材料性能指標(biāo)之一。 710?N710)105( ???N2022/3/13 材料力學(xué) 110 從圖中可以看出：對(duì)于鋼材， 時(shí)， ?N曲線會(huì)出現(xiàn)一 條水平漸近線， 。在計(jì)算 中，根據(jù)具體情況取其中主要因素，一般不將各 ?值相乘。圖中 y、 z兩軸為截面 形