【正文】 義 若試驗(yàn) E具有下列特點(diǎn)： 1。 試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同； 則稱這種試驗(yàn)為等可能概型（也稱古典概型）。 按乘法原理 ﹐ 此 種 排列共有 ﹕ Prn=n(n1)…(n r+1) 例、 6個(gè)隊(duì)參加爬山比賽，每個(gè)隊(duì)都有可能獲一、二、三名，問(wèn)有多少種不同的方法去獲 一、二、三名？ 重要 計(jì)數(shù) 原理 (4)組 合 例、有 10個(gè)球，編號(hào)為 1到 10 ，隨機(jī)抽取 4個(gè)球，共有多少種結(jié)果？ (nr)= Prn r! 從 n個(gè)不同元素中任取 r(r≤n)個(gè)元素組成一組組 (不考慮其間的順序 )稱為一個(gè)組合。從袋中取球兩次，每次隨機(jī)地取一只 ,考慮兩種取球方式： (a) 第一次取一只球觀察其顏色后放回袋中，攪勻后再取一球。 (b) 第一次取一球不放回袋中，第二次從袋中再取一球。試分別就上面兩種情況求 : (i) 取到的兩只球都是白球的概率， (ii) 取到的兩只球顏色相同的概率， (iii)取到的兩只球中至少有一只是白球的概率 .. 解 (a) 放回抽樣的情況 : 設(shè) A,B,C 分別表示事件“兩只球都是白球”， “兩只球都是紅球”，“取到的兩只球中至少有一 只是白球”。且由對(duì)稱性知每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同，因而可利用古典概型來(lái)計(jì)算事件的概率。 例 2 將 n只球隨機(jī)地放入 N(N?n)個(gè)盒子中去 ,試求每個(gè)盒子至多有一只球的概率（設(shè)盒子的容量不限）。因每一只球都可以放入N個(gè)盒子中的任一盒子，故共有 N?N ? … ? N=Nn種不同的放法，而每只盒子至多放一只球共有 N(N1)…[N (n1)]種不同的放法，故有 NANnNNNpnnNn???????? )1()1( 例 3 設(shè)有 N件產(chǎn)品，其中有 D件次品，今從中任取 n件，問(wèn)其中恰有 k(k?D) 件次品的概率是多少？ )/())((nNknDNkDP???件。解 )( nNnN隨機(jī)變量及其概率分布 一 隨機(jī)變量的概念 例 1 記錄某電話交換臺(tái)在一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，則樣本空間 S={0,1,2,…} 。 這樣，我們可在樣本空間 S上定義一個(gè)函數(shù) ,即 X=X(e)=n. e= n?S 例 2 考慮“測(cè)試燈泡壽命”這一試驗(yàn)。以 X表示壽 命， 則 X可看作定義在樣本空間 S上的函數(shù)，即 X=X(e)= t, e= t?S, R =[0,+?) 例 3 考察“拋硬幣”這一試驗(yàn)。定義函數(shù) 定義 設(shè) E是隨機(jī)試驗(yàn)。 要知道一個(gè)離散型隨機(jī)變量 X的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，必須且只需知道 X的所有可能的取值以及取每一個(gè)可能值的概率。 (1) 由概率的定義， pk滿足如下兩個(gè)條件 00k11 0 , 1 , 2 。 (01)分布的分布率也可寫(xiě)成 X 0 1 p 1 p p 所謂 (01),是非此即彼 ﹐ 如合格與不合格 ﹐ 正面與反面 (二 ) 貝努里試驗(yàn)，二項(xiàng)分布 相互獨(dú)立的試驗(yàn) 將試驗(yàn) E重復(fù)進(jìn)行 n次，若各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，即每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗(yàn)的結(jié)果，則稱這 n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。 以 X表示 n重貝努里試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù)，則 X是一個(gè)隨機(jī)變量。 n0( ) (p q ) 1 nk n kknpqk??? ? ?? 我們稱隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 n,p的二項(xiàng)分布，記為 X~ B(n, p) 特別，當(dāng) n=1 時(shí)二項(xiàng)分布化為 P{X=k}= pkq1 k , k=0,1 這就是（ 01）分布。已知某一大批產(chǎn)品的一級(jí)品率為 ，現(xiàn)在從中隨機(jī)地抽查 20只。 解 將每次射擊看成一次試驗(yàn)。因此，上述定理表明當(dāng) 很大 很小有以下近似式k ( ( 1 ) k ! .k n kn eppk?? ???? ?????? 例 3 現(xiàn)在我們利用上面的近似式來(lái)計(jì)算例 2中的概率 P{X?2}.因?yàn)? k { } ( 1 ) , n p 8k! k n kn eP X k p pk???????? ? ? ? ? ?????88 { 0 } , { 1 } 8P X e P X e??? ? ? ?于是因此 P{X≥ 2}≈ 19e8= (三 ) 泊松分布 (Poisson) 設(shè) 隨機(jī)變量 X所有可能取的值為 0,1,2,…, 而取各個(gè)值的概率為 k { } , k 0 , 1 , 2 , . . . ,k! eP X k?? ?? ? ?其中 ?0是常數(shù)，則稱 X服從參數(shù)為 ?的 泊松分布， 記為X~?(?). 易知， P{X=k} ?0,k=0,1,2,…, 且有 0 0 0 { } 1 !! kkk k keP X k e e ekk?? ? ????? ? ???? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 例 1 某車(chē)間有 300臺(tái)設(shè)備，故障率 為 ，通常狀況下一臺(tái)設(shè)備的故障可由一個(gè)人來(lái)處理，問(wèn)至少配備多少工人，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于 . 解 設(shè)需配備 N人。 例 2 設(shè)有 80臺(tái)同類(lèi)型設(shè)備 ,各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的 ,故障率 為 ，且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人來(lái)處理。 ????NKkke03!3 1 即 !313??????Nkkke 解 法 1) 以 X記第 1人維護(hù)的 20臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，以 Ai 表示事件“第 i人維護(hù)的 20臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障不能及時(shí)維修”，則得 P(A1? A2? A3? A4)? P(A1)=P{X?2}. 而 X~b(20,),這里 ?= np =，故有 即有 P(A1? A2? A3? A4)? 法 2）以 Y記“ 80臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)”，此時(shí) Y~b(80,),這里 ?= np =，故有 ?????23! kkkk?? )2( XP?????4009 ! kkke?? )4( YP 三 、 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 （一） 概率密度 定義 如果對(duì)于隨機(jī)變量的分布函數(shù) F(x)，存在非負(fù)的函數(shù) f(x)，使對(duì)于任意的實(shí)數(shù)有 (1) )()( ???? x dttfxF則稱 X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中函數(shù) f(x)稱為 X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。 例 1 設(shè)隨機(jī)變量 X具有概率密度 ???????.0 , 0 ,0 ,)(3xxkexfx試確定常數(shù) k，并求 P{X}. ? ?? ? 1dx f( x) ，　　解　由于???