凸函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)畢業(yè)設(shè)計(jì)畢業(yè)論文-在線瀏覽
2025-03-05 08:45本頁面
【正文】 結(jié)束語 ………………………………………………………（19） 致謝 …………………………………………………………（19） 參考文獻(xiàn)……………………………………………………（20） 緒論 凸函數(shù)是一類非常重要的函數(shù)，廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)規(guī)劃，控制論等領(lǐng)域,函數(shù)凸性是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要概念,它在判定函數(shù)的極值、是在50年代以后隨著數(shù)學(xué)規(guī)劃，最優(yōu)控制理論、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科的興起而發(fā)展起來的。運(yùn)籌學(xué)的創(chuàng)始人定義運(yùn)籌學(xué)是：“管理系統(tǒng)的人為了獲得關(guān)于系統(tǒng)運(yùn)行的最優(yōu)解而必須使用的一種科學(xué)方法。隨著科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)的發(fā)展，運(yùn)籌學(xué)已滲入很多領(lǐng)域里，發(fā)揮了越來越重要的作用?，F(xiàn)行高等數(shù)學(xué)教材中,也都對函數(shù)的凸性作了介紹,由于各版本根據(jù)自己的需要,對凸函數(shù)這一概念作了不同形式的定義,本文就以凸函數(shù)幾種定義的等價(jià)性給以證明,并給出簡單的應(yīng)用，應(yīng)用凸函數(shù)的概念與性質(zhì)來證明幾個(gè)重要且常用的不等式和凸函數(shù)在證明一般不等式中的應(yīng)用；研究凸函數(shù)在最優(yōu)化中的應(yīng)用，研究比凸函數(shù)更一般的各類凸函數(shù)，給出它們的定義及以及其之間的關(guān)系；以及廣義凸函數(shù)求極小的問題（即廣義凸規(guī)劃）和廣義凸函數(shù)求最大的問題。這種從幾何直觀給出的關(guān)于曲線凸（凹）的概念反映在數(shù)學(xué)上就是表達(dá)該曲線的凸（凹）性概念。定義2 若在定義上成立不等式（≠） 則稱是上嚴(yán)格的凸函數(shù)。不難驗(yàn)證，恒正的函數(shù)(0,≠1)滿足關(guān)系式 由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng) 時(shí)，必有 ，再由不相等正數(shù)的幾何平均值小于它們的算術(shù)平均值，則有 綜上所述可得： 因此，(0,≠1)是（∞，∞）上的嚴(yán)格凸函數(shù)。若“≤”改為“”，則稱 為上的嚴(yán)格凸函數(shù)。 2 凸函數(shù)的簡單性質(zhì)在本節(jié)中，來敘述關(guān)于凸函數(shù)的一些常用的簡單的性質(zhì)。推論：設(shè)，是間I上的凸函數(shù)，則線性組合的函數(shù)為I上的凸函數(shù)為I上的凹函數(shù) 若設(shè)，是間I上的凸函數(shù)，則為I上的凸函數(shù) 設(shè)是單調(diào)遞增的凸函數(shù)，u = f (x)是凸函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)也是凸函數(shù) 設(shè)為區(qū)間I上的凹函數(shù)，則為區(qū)間I上的凸函數(shù)，反之不真。故有所以：只需證明：由于，故 成立，結(jié)論得證。 若在區(qū)間I上為凸函數(shù)，對任意，則為I的內(nèi)點(diǎn)。推論：若為I上的凸函數(shù)，則在I上的內(nèi)點(diǎn)連續(xù)。故對當(dāng)時(shí)有同理，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)有因?yàn)?故對，對，總有（充分性）對，由題設(shè)，對，存在使得在上式中分別令得證畢。因此需要建立一系列的便于應(yīng)用的判別法。證明：設(shè)，則由于是遞增的，故從而得這樣，由定義1可知，是凸函數(shù)。但這函數(shù)當(dāng)時(shí)等于。 證畢 函數(shù)在內(nèi)是凸函數(shù)，因?yàn)椤? 關(guān)于凸函數(shù)的幾個(gè)重要不等式 不等式（凸函數(shù)的基本不等式）設(shè)是間上的凸函數(shù)，則對中任意個(gè)數(shù)成立不等式當(dāng)僅當(dāng)時(shí)等號。證明：（1）特別地，設(shè)都是非負(fù)有理數(shù)，為自然數(shù)；為非負(fù)數(shù)，這樣分子，分母同乘以，上面分式就成了凸函數(shù)的基本不等式的樣子，此時(shí)因而得證。由總和不等式有兩邊同乘以立得證畢。證明不等
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