【正文】 返回 概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)都是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科。 概率論研究的基本內(nèi)容是： 在已知隨機(jī)變量分布的情況下，討論隨機(jī)變量的性質(zhì)、特點(diǎn)和規(guī)律性。 問 題： 這些都是數(shù)理統(tǒng)計(jì)要研究的問題。怎樣才能知道一個(gè)隨機(jī)變量的分布或參數(shù)呢？ 但它們的側(cè)重點(diǎn)不同。 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的分類： （ 1）試驗(yàn)的設(shè)計(jì)與研究： 如何收集、整理數(shù)據(jù)資料。 數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究的基本內(nèi)容是： 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回第六章 樣本及抽樣分布 167。 2 抽樣分布 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回167。 這 n個(gè)個(gè)體稱為 樣本值（樣本觀測值） 從總體 X中隨機(jī)抽取的樣本 是 n個(gè)隨機(jī)變量。 X的分布函數(shù)和數(shù)字特征稱為 總體的分布函數(shù) 和 數(shù)字特征 。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回兩種常用抽取方法 （ 1）不重復(fù)抽樣（不放回抽樣） 每次抽取一個(gè)不放回去，再抽取第二個(gè)，連續(xù)抽取 n次。 對于無限總體或總體中個(gè)體數(shù)目較大的有限總體，一個(gè)個(gè)體是否放回，對下一次抽取影響甚微，這時(shí)不重復(fù)抽取與重復(fù)抽取沒什么區(qū)別。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回樣本的兩個(gè)特征 （ 1）代表性：樣本中每個(gè)分量與總體有相同的分布。 具有上述兩個(gè)特征的樣本稱為 簡單隨機(jī)樣本 ，簡稱為 樣本 。 nXXXxF ,),( 21 ?則樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為 )()()()(),( 21121 nniin xFxFxFxFxxxF ?? ?? ??樣本的聯(lián)合分布函數(shù) 離散型 )(}{ xpxXP ??設(shè)總體 X的分布律為 則樣本 的聯(lián)合分布律為 nXXX , 21 ?)()()(},{ 212211 nnn xpxpxpxXxXxXP ?? ????廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回設(shè)總體 X的分布函數(shù)為 為樣本。 )(~ ?PX nXXX , 21 ?廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 1 設(shè)總體 ，求樣本 的聯(lián)合分布律。 ),(~ 2??NX nXXX , 21 ?廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 2 設(shè)總體 ,求樣本 的聯(lián)合密度函數(shù)。 2 抽樣分布 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回 利用樣本推斷總體時(shí)，往往不能直接利用樣本，而需要對它進(jìn)行一定的加工，這樣才能有效地利用其中的信息，否則 ,樣本只是呈現(xiàn)為一堆 “ 雜亂無章 ” 的數(shù)據(jù)。 統(tǒng)計(jì)推斷： 利用樣本的信息對總體的分布或性質(zhì)作出判斷。 ),( 21 nXXXg ?設(shè) 為來自總體 X的一個(gè)樣本， nXXX , 21 ?為一連續(xù)函數(shù)，若 g中不含有未知參數(shù) ,則稱 ),( 21 nXXXg ?一點(diǎn)說明 統(tǒng)計(jì)量 為隨機(jī)變量 . ),( 21 nXXXg ? nXXX , 21 ?當(dāng)樣本 為一 常量 或 觀察值 . ),( 21 nxxxg ?nxxx , 21 ?取定觀測值 后， 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 1 設(shè) 為來自正態(tài)總體 的樣本 ,其中 未知 , ),( 2??N ?2? 已知，問下列哪幾個(gè)是統(tǒng)計(jì)量。 經(jīng)驗(yàn)分布 的觀察值仍以 表示。 nxxx , 21 ?將 按從小到大的次序排列，并重新編號(hào)，設(shè)為 nxxx , 21 ?)()2()1( nxxx ??? ?則經(jīng)驗(yàn)分布 的觀察值為 )(xFn???????????? ?)()1()()1(,1,0)(nkknxxxxxnkxxxF)(1)( xSnxF n ? ?????? x廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回格里汶科定理 對于任一實(shí)數(shù) x，當(dāng) 時(shí)，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 以 ??n )(xFn概率 1一致收斂于總體的分布函數(shù) ， )(xF 即 1}0|)()(|s u plim{ ??????????? xFxFP nxn說明的問題： 對于任一實(shí)數(shù) x，當(dāng) n充分大時(shí)，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的任一個(gè) 觀察值 與總體分布函數(shù) 只有微小的差別。 )(xF)(xFn廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回? 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回 167。 下面介紹幾個(gè)與正態(tài)分布有關(guān)的統(tǒng)計(jì)量的分布。 從理論上而言 ,只要知道了總體 X的分布 ,統(tǒng)計(jì)量的分布即可求出 ,但實(shí)際操作起來并不容易 . 四、抽樣分布 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回),(~ 2??NX若四、抽樣分布 首先復(fù)習(xí)一下今天要用到的幾個(gè)公式 : 則相互獨(dú)立與且若 ,),(~),(~ 222211 YXNYNX ????),( 22221221 ???? babaN ??~bYaX ?則 ).1,0(~ N???X廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回定義 222212 nXXX ???? ??nXXX , 21 ?設(shè) 相互獨(dú)立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ,則隨機(jī)變量 )(2 n?的分布稱為自由度為 n的 分布 .記為 。 則 0?iEX 1?iDX 22 )( iii EXDXEX ?? 1?4iEX dxexx24221 ??????? ? )(21 23 2xedx ????? ?? ? ???????? ]2[23 2xex ? dxexx222213 ??????? ?230 iEX?? 3?廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回 分布的性質(zhì) 2?（ 1）數(shù)學(xué)期望與方差 證 由 分布的定義，有 2?22221 nXXXX ???? ?nXXX , 21 ?其中 相互獨(dú)立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 22 122221 mnnn XXXXXYX ?? ???????? ??)(~ 2 mn ??廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 1 設(shè)總體 621 ,),1,0(~ XXXNX ?為取自總體 X的樣本 , 26542321 )()( XXXXXXY ??????令 求常數(shù) C，使 2~ ?CY廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 1 設(shè)總體 621 ,),1,0(~ XXXNX ?為取自總體 X的樣本 , 26542321 )()( XXXXXXY ??????令 求常數(shù) C，使 2~ ?CY解 : 由已知有 321 XXX ?? )3,0(~ N ? 3 321 XXX ?? ),1,0(~ N同理有 3 654 XXX ?? ).1,0(~ N且 3 321 XXX ?? 與 3 654 XXX ?? 相互獨(dú)立 . 于是，由 分布的定義有 2?26542321 )3()3(XXXXXX ????? ),2(~ 2? .31?C?廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回4321 , XXXX )4,0(N243221 )43()2( XXbXXaX ???? ?a?b 2~ ?X例 2 設(shè) 為來自正態(tài)總體 的簡單隨機(jī)樣本， ，則當(dāng) ， 時(shí)， ，其自由度為 。 記 解： ),20,0(~2 21 NXX ? ).100,0(~43 43 NXX ?),1,0(~202 21 NXX ? ).1,0(~1 0 043 43 NXX ?221 )202( XX ? )2(~)1 0 043( 2243 ?XX ?? ,201?a .1001?b由已知有 標(biāo)準(zhǔn)化得 易知 202 21 XX ? 1 0 043 43 XX ?與 相互獨(dú)立， 于是，由 分布的定義有 2?廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回定義 設(shè) 且 X,Y相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量 )(~),1,0(~ 2 nYNX ?nYXT ?所服從的分布稱為自由度為 n的 t 分布 (或稱學(xué)生氏分布 ),記為 )(~ ntT密度函數(shù) 212)1()2()21()(???????nnxnnnxf?)(~ ntxyO（二） t 分布 ?????? x廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回 t 分布的性質(zhì) （ 1） )(21)。 )(xfxyO212)1()2()21()(???????nnxnnnxf??????? x廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回521 , XXX ??c ?n,?d ?n,例 1 設(shè) 相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布， )( 2221 XXc ? )(2 n?服從 ，則 （ 1）若 25242321XXXXXd??? )(nt服從 分布，則 （ 2）若 。 廣東工業(yè)大學(xué)