【正文】 的變量 ?取值是隨機(jī)的，事先不能確定取哪一個(gè)值 ?一個(gè)取值對(duì)應(yīng)隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)可能結(jié)果 ?用大寫字母如 X、 Y、 Z...來表示，具體取值則用相應(yīng)的小寫字母如 x、 y、 z… 來表示 ?根據(jù)取值特點(diǎn)的不同，可分為： ?離散型 隨機(jī)變量 —— 取值可以一一列舉 ?連續(xù)型 隨機(jī)變量 —— 取值不能一一列舉 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 36 8. 離散型隨機(jī)變量的概率分布 ?X的 概率分布 —— X的有限個(gè)可能取值為 xi與其概率 pi（ i=1， 2， 3， … ， n）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 ?概率分布具有如下兩個(gè)基本性質(zhì) ： ① pi≥0， i=1,2,…, n； ② 1iip =229。 ?用“成功”代表所關(guān)心的結(jié)果，相反的結(jié)果為“失敗”。 ?n重伯努利試驗(yàn)： 將伯努利實(shí)驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行 n次。 nxppCxXP xnxxn ,2,1,0,)1()( ????? ?)1()(,)( 2 pnpXDnpXE ?＝＝＝＝ ?? 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 41 二項(xiàng)分布圖形 ?p＝ ，二項(xiàng)分布是以均值為中心對(duì)稱 ?p≠，二項(xiàng)分布總是非對(duì)稱的 ?p ?p p= p= p= 二項(xiàng)分布圖示 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 42 9. 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布 ?連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布只能表示為： ?數(shù)學(xué)函數(shù) —— 概率密度函數(shù) f (x)和分布函數(shù) F (x) ? 圖 形 —— 概率密度曲線和分布函數(shù)曲線 ?概率密度函數(shù) f (x)的函數(shù)值不是概率 ?連續(xù)型隨機(jī)變量取某個(gè)特定值的概率等于 0 ?只能計(jì)算隨機(jī)變量落在一定區(qū)間內(nèi)的概率 ?由 x軸以上、概率密度曲線下方面積來表示 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 43 ? 對(duì)任意的實(shí)數(shù) x，函數(shù) F(x)＝ P{Xx}為隨機(jī)變量X的 分布函數(shù) 。 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 44 概率密度 f (x) 的性質(zhì) ?概率密度函數(shù) f (x)為分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 ? ?注意，對(duì)任意 x， f(x)的值并不是一個(gè)概率。 { } ( ) d ( ) ( ) ,baP a X b f x x F b F a? ? ? ? ??fX(x) a b x 事件 {a≤X≤b} Ω 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 46 連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的數(shù)字特征 ?數(shù)學(xué)期望： ?方差： ?性質(zhì)： ( ) d d ( ) ,EX x f x x x F x? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ???222222( ) ( ) d( ) d ( )()( ) .DX x f x xx F xE X EXEX EX???????????? ? ?????????( ) ,E a X b Y a E X b E Y? ? ?2()D a X b a D X?? 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 47 正態(tài)分布 ?X～ N (μ, σ 2 )，其概率密度為： ?正態(tài)分布的均值和方差 ?均值 E(X) =μ ?方差 D(X)=σ 2 22()21( ) ,2xf x e x??????? ? ? ? ? ? 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 48 正態(tài)曲線 σ相同而 μ不同的正態(tài)曲線 ?? ?2 x f(x) μ相同而 σ不同的正態(tài)曲線 f(x) σ較小 σ較大 ? x ? 正態(tài)曲線的主要特性： ?關(guān)于 x=μ對(duì)稱的鐘形曲線； ?參數(shù) μ決定正態(tài)曲線的中心位置； ?參數(shù) σ決定正態(tài)曲線的陡峭或扁平程度； ?以 X軸為漸近線，即當(dāng) x→ 177。 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 49 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ?μ＝ 0、 σ ＝ 1的正態(tài)分布，記為 N (0, 1)。試求： ?使用壽命在 500小時(shí)以下的燈管占多大比例？ ?使用壽命在 850～ 1450小時(shí)的燈管占多大比例？ ?以均值為中心， 95％的燈管的使用壽命在什么范圍內(nèi)？ 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 51 ?解： X＝使用壽命， X～ N (1050， 2022 ) 95％的燈管壽命在均值左右 392（即 658～ 1442）小時(shí)。 ?廣泛應(yīng)用： ?產(chǎn)品質(zhì)量控制 ?判斷異常情況 ?…… 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 53 z分布的 α分為點(diǎn) ?對(duì)于給定的 α(0α1)，稱滿足條件 ? 的點(diǎn) zα為 z分布上的 α分位點(diǎn)。 {}P z z ? ???1zz??? ?? 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 54 正態(tài)分布最常用、最重要 ?大千世界中許多常見的隨機(jī)現(xiàn)象服從或近似服從正態(tài)分布 ?例如：測(cè)量誤差，同齡人的身高、體重，棉紗的抗拉強(qiáng)度，設(shè)備的使用壽命，農(nóng)作物的產(chǎn)量 … ?特點(diǎn)是 “中間多兩頭少” ?由于正態(tài)分布特有的數(shù)學(xué)性質(zhì)，正態(tài)分布在很多統(tǒng)計(jì)理論中都占有十分重要的地位 ?正態(tài)分布是許多概率分布的極限分布 ?統(tǒng)計(jì)推斷中許多重要的分布（如 χ2分布、 t分布、F分布）都是在正態(tài)分布的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 55 10. ? 2分布 ?總體隨機(jī)變量 X~N(μ,σ2) ， 為該總體的個(gè)樣本值的樣本平均數(shù) x1, x2, …, x n，則樣本統(tǒng)計(jì)量 ? ? 是自由度為 n1的卡方分布，記作 ? 2(n1) 。 2222122()( 1 )~ ( 1 )niixxnsn???????? ? ??x 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 56 ? 2分布的統(tǒng)計(jì)特性： ?χ2分布的變量值始終為正； ?χ2(n)分布的形狀取決于其自由度 n的大小，通常為不對(duì)稱的右偏分布，但隨著自由度的增大逐漸趨于對(duì)稱； ?χ2分布的期望為： E(χ2(n))=n，方差為： D(χ2(n))=2n。若 U~χ2(n1)， V~χ2(n2)，則 U+V～ χ2(n1+n2)。 ??? ? ?? ))()(( 22 nnP)(2 n?? 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 59 ? χ2分布 α分為點(diǎn)的求法： ?對(duì)于 n≤45的 α分為點(diǎn)可查表求得； ?當(dāng) n充分大（ n45）時(shí)，近似地有 其中 zα為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上的 α分為點(diǎn) 221( ) ( 2 1 )2n z n??? ? ? ? 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 60 例題分析 ? n=12, α=, 求 ? n=12, α=, 求 ? n=18, α=, 求 和 使得 ? n=50, α=, 求 )12(2 ?)12(2 ?)18(2 ?)18(2 ?))18()18(( 2 ??? ???P)50(2 ? 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 61 11. t分布 ?總體隨機(jī)變量 X~N(μ,σ 2)， x1, x2, …, x n為取自該總體的 n個(gè)隨機(jī)樣本，當(dāng) σ 未知時(shí)，以樣本方差 s替代，則 是自由度為 n1的 t分布，記為 t(n1)。即 t(n1)的概率密度函數(shù)是中央部分較標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布低，而兩尾部分則較標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布高。理論上，當(dāng) n→∞ 時(shí) t(n1)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布完全一致。 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 64 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 65 ?對(duì)于給定的 α(0α1)，稱滿足條件 ? 的點(diǎn) tα(n)為 t分布上的 α分為點(diǎn) 。 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 66 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 67 例題分析 ? n=9, α=, 求 (9) ? n=9, α=, 求 (9) ? n=18, 求 (18)及 (18)，使得P((18)≤t≤ (18))= ? n=50, α=，求 (50) 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 68 12. F分布 ?設(shè)隨機(jī)變量 U~χ2(n1)， V~χ2(n2) ，且 U,V獨(dú)立，則隨機(jī)變量 服從自由度為 (n1,n2)的 F分布，記為F(n1,n2)。 12//UnFVn? 統(tǒng)計(jì)學(xué)