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2025-03-03 08:10本頁面
【正文】 量表示為把三、利用相似變換將方陣對(duì)角化 .)( 2個(gè)線性無關(guān)的特征向量有的充分必要條件是能對(duì)角化即與對(duì)角矩陣相似階矩陣定理nAAAn? ? ? ????????????????nnn ppppppA??????212121 ,即? ?., 2211 nn ppp ??? ??? ? ? ?nn ApApAppppA , 2121 ?? ??? ? .,2,1 nipAp iii ??? ?于是有? ?nppp ??? , 211 ??,1 ????? PAPAPP 得由., 的特征向量的對(duì)應(yīng)于特征值就是的列向量而的特征值是可見iiiApPA??., 21 線性無關(guān)所以可逆又由于 npppP ?命題得證 . ., ?? PAPPnnnA使陣個(gè)特征向量即可構(gòu)成矩這個(gè)特征向量得并可對(duì)應(yīng)地求個(gè)特征值恰好有由于反之說明 如果 階矩陣 的 個(gè)特征值互不相等， 則 與對(duì)角陣相似． 推論 n AAn 如果 的特征方程有重根，此時(shí)不一定有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣 不一定能 對(duì)角化，但如果能找到 個(gè)線性無關(guān)的特征向量， 還是能對(duì)角化． AAnnA例 1 判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？ ???????????????242422221)1( A???????????????201335212)2( A解 EA ??由)1(? ? ? ?72 2 ???? ?? 0????????????242422221.7,2 321 ???? ???得? ? 得方程組代入將 ,02 121 ???? EA ???????????????????04420442022321321321xxxxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系 .110,10221?????????????????????? ??? ? ,0,73 ???? xEA ?? 由對(duì)求得基礎(chǔ)解系 ? ?2,2,13 T??,0211210102 ?由于., 321 線性無關(guān)所以 ???.,3 化可對(duì)角因而個(gè)線性無關(guān)的特征向量有即 AA,同理?????????????201335212EA? ?31??? ????????????????201335212)2( A.1321 ???? ???的特征值為所以 A? ? ,01 ???? xEA ?? 代入把 解之得基礎(chǔ)解系 ,)1,1,1( ?? T?故 不能化為對(duì)角矩陣 . A)。,)2( 11相似與且也可逆則可逆且相似與若??BABABA。 , 稱為是復(fù)數(shù)時(shí)當(dāng) fa ij 復(fù)二次型. , 稱為是實(shí)數(shù)時(shí)當(dāng) fa ij 實(shí)二次型只含有平方項(xiàng)的二次型 2222211 nn ykykykf ???? ?稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）． 例如 ? ? 31232221321 4542, xxxxxxxxf ????都為 二次型； ? ? 232221321 44, xxxxxxf ???為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形 . ? ? 323121321 , xxxxxxxxxf ???1．用和號(hào)表示 ? ?nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 ,?????????????對(duì)二次型 ,aa ijji ?取 ,2 xxaxxaxxa ijjijiijjiij ??則 于是nn xxaxxaxaf 1121122111 ???? ?.1,xxa j
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