【正文】 S 的方程中的 a 值必須滿足 解得 a=1 或 a=－7。11002()()(2)333nnnnn ba???????。 （負(fù)值舍去）22(1)(1),244pmkk????故CED1 C1A1 B1A BDF高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義 5 1已知數(shù)列 滿足關(guān)系式 ，則012,.,.na10(3)68,3nnaa???且的值是_________________________。01,AF??而 是 06FEA?設(shè) p 是給定的奇質(zhì)數(shù)，正整數(shù) k 使得 也是一個(gè)正整數(shù)，則 k=____。1ABCD?1ABD解：連結(jié) ，垂足為 E，延長(zhǎng) CE 交 于 F，則 ，連結(jié)1,?作 1EB?AE，由對(duì)稱性知 是二面角 的平面角。(1)()2fxyyx????()f解： ,( 2,ffyx?????對(duì) 有PAB OHC河大附中校本課程 4 (1)()(2fxyfxfy?????有= )(xfy?即 。由 的圖像與 的圖像圍成的封閉圖形的對(duì)稱性，可將這圖形割補(bǔ)成2fg長(zhǎng)為 、寬為 的長(zhǎng)方形，故它的面積是 。二、填空題（本題滿分 54 分，每小題 9 分）在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，函數(shù) 在一個(gè)最小正周期()sinco(0)fxaxa???長(zhǎng)的區(qū)間上的圖像與函數(shù) 的圖像所圍成的封閉圖形的面積是 2()1g。C 是 PA 中點(diǎn)，POHO?面 面 OCPA??最大，CHS??當(dāng) 時(shí)也即 最大。 綜上， 。同時(shí)，每個(gè)數(shù)碼組（a，b）中的二個(gè)數(shù)碼填上三個(gè)數(shù)位，有 種情況。但當(dāng)大數(shù)為底時(shí)，設(shè) ab，必須滿足 。即 ,{1,}abc?（1）若構(gòu)成等邊三角形，設(shè)這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為 ，由于三位數(shù)中三個(gè)數(shù)碼都相同，1n所以， 。t??2log,4????河大附中校本課程 2 設(shè) O 點(diǎn)在 內(nèi)部，且有 ，則 的面積與 的ABC?230OABC??????AB?OC面積的比為（ ）A. 2 B. C. 3 D. 25解：如圖，設(shè) D，E 分別是 AC，BC 邊的中點(diǎn)，則由（1） （2）得，()2()4ACOB??????，3()0O????即 共線，且 ， 故選DE??與 332|2| ,2AECABCOOSSD??????C。即 。 故選 A。526??或 512?或已知 。20222022 全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題解答河南大學(xué)附中目錄 2022 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)……………1 2022 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)……………10 高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義 1 2022 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（本題滿分 36 分，每小題 6 分）設(shè)銳角 使關(guān)于 x 的方程 有重根，則 的弧度數(shù)為（ ）?24cost0x????A. B. C. D. 6?51or?5612r?12解：因方程 有重根，故24cst0x??cos4t0??? 得0,t(in2)??????sin??，于是 。 故選 B。若對(duì)所有2{(,)|3},{(,)|}MxyNxymb???，則 b 的取值范圍是（ ）,mRN????均 有A. B. C. D. 6,2???????6,2???????23(,]?23,???????解： 相當(dāng)于點(diǎn)（0，b）在橢圓 上或它的內(nèi)部M?2xy??。261,32????不等式 的解集為（ ）3212logl0xx??A. B. C. D. [,)(,][,4)(2,4]解：原不等式等價(jià)于，設(shè)2231log1l00xx???????? 22310log1,txt??????????則 有解得 。 故選 C。設(shè)三位數(shù) ，若以 a，b，c 為三條邊的長(zhǎng)可以構(gòu)成一個(gè)等腰（含等邊）三角形，n?則這樣的三位數(shù) n 有（ ）A. 45 個(gè) B. 81 個(gè) C. 165 個(gè) D. 216 個(gè)解：a，b，c 要能構(gòu)成三角形的邊長(zhǎng)，顯然均不為 0。19nC?（2）若構(gòu)成等腰（非等邊）三角形，設(shè)這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為 ，由于三位數(shù)中只有22 個(gè)不同數(shù)碼，為 a、b，因三角形腰與底可以置換，所以可取的數(shù)碼組（a，b）共有。此時(shí)，不能構(gòu)成三角形的數(shù)碼9 ba?是a 9 8 7 6 5 4 3 2 1b 4，32，1 4，32，1 3，21 3，21 1，2 1，2 1 1共 20 種情況。23C故 。22399(0)6(1)56nCC???1265n??OB CAED高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義 3 頂點(diǎn)為 P 的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，A 是底面圓周上的點(diǎn)，B 是底面圓內(nèi)的點(diǎn)，O 為底面圓的圓心， ，垂足為 B， ，垂足為 H，且BO?P?PA=4，C 為 PA 的中點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐 O－HPC 的體積最大時(shí)，OB 的長(zhǎng)是（ ）A. B. C. D. 5325363263解： ,ABPABHPB????又。OPCHOV??此時(shí)，002,326tan3PBP??????1故 =故選 D。解： ，它的最小正周期為 ，振幅為2()1sin(),arctnfxax????其 中 2a?。a?2 21a??設(shè)函數(shù) ，且對(duì)任意:,(0)1fRf??滿 足 ,xyR?都 有，則 =___________________。()(),0,1fxyfxy?令 得如圖、正方體 中，二面角 的度數(shù)是________。1,EF??1?連結(jié) AC，設(shè) AB=1，則 12,??中， ，1RtABD?在 1?在△AEC 中， 222413cos ????????ECAEC的補(bǔ)角， 。2pk?解：設(shè) ，從而22*224,0,nknNn??????則是平方數(shù)，設(shè)為24p?* 2,()mmp?則 22113,4npppn???????????????是 質(zhì) 數(shù) ， 且 解 得。1nio??解：設(shè) 1,01,2.(3)(68,n nnbab????則即 1 ,2()3n nb? ???故數(shù)列 是公比為 2 的等比數(shù)列，{}b。??11 2022()()(3nni niioba? ????????????1在平面直角坐標(biāo)系 XOY 中，給定兩點(diǎn) M（－1，2）和 N（1，4） ，點(diǎn) P 在 X 軸上移動(dòng)，當(dāng) 取最大值時(shí)，點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為_(kāi)__________________。22(1)(3,a??即對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)分別為 ，而過(guò)點(diǎn) M，N， 的圓的半徑大于過(guò)點(diǎn)39。pM，N，P 的圓的半徑，所以 ，故點(diǎn) P（1，0）為所求，所以點(diǎn) P 的39。三、解答題（本題滿分 60 分，每小題 20 分）1一項(xiàng)“過(guò)關(guān)游戲” 規(guī)則規(guī)定：在第 n 關(guān)要拋擲一顆骰子 n 次，如果這 n 次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于 ，則算過(guò)關(guān)。拋擲骰子落地靜止后，向上一面的點(diǎn)數(shù)為出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)。河大附中校本課程 6 （Ⅰ）因骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)最大為 6，而 ，因此，當(dāng) 時(shí)，n 次452,6???5?出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于 已不可能。所以最多2n只能連過(guò) 4 關(guān)。AA第 n 關(guān)游戲中，基本事件總數(shù)為 個(gè)。?11()()63PA???第 2 關(guān)：事件 所含基本事件數(shù)為方程 當(dāng) a 分別取 2，3，4 時(shí)的正整數(shù)解組2 xy?數(shù)之和。1132C?過(guò)此關(guān)的概率為： 。即有（個(gè)） 。 .........15 分?33()()7PA?故連過(guò)前三關(guān)的概率為： 。（Ⅰ）求點(diǎn) P 的軌跡方程；（Ⅱ）若直線 L 經(jīng)過(guò) 的內(nèi)心（設(shè)為 D） ，且與 P 點(diǎn)的軌跡恰好有 3 個(gè)公共點(diǎn)，求ABC?L 的斜率 k 的取值范圍。點(diǎn)44(1),(1),03yxyxy????到 AB、AC、BC 的距離依次為(,)Pxy高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義 7 。 的內(nèi)心 D 也是適合題設(shè)條A?件的點(diǎn)，由 ，解得 ，且知它在圓 S 上。10’（ii）當(dāng) 時(shí)，L 與圓 S 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。代入方程②得 ，解得 。故當(dāng) 時(shí)，L 恰好與點(diǎn) P 的軌跡有 3 個(gè)公共點(diǎn)。即方程組 有且只有一287180xyk????????組實(shí)數(shù)解，消去 y 并化簡(jiǎn)得 25(817)04kx?河大附中校本課程 8 該方程有唯一實(shí)數(shù)解的充要條件是 ④28170k??或 ⑤225(5)4(817)0kk???解方程④得 ，解方程⑤得 。 ......20 分1342{0,}7?1已知 是方程 的兩個(gè)不等實(shí)根，函數(shù) 的,??241()xttR???2()1xtf???定義域?yàn)?。1236(tan)(t)(tan)4ggu??則解：（Ⅰ）設(shè) 2211,0,410,xxtxt????????則221224()()()t?????則 ??11212122()() xtxxfxf???又 1212121221()0()0tt ff???????故 在區(qū)間 上是增函數(shù)。BD=CEBC=AC087)412222 ???????? aaaa僅當(dāng) 或 時(shí)，1?3?.(*)在（0，+∞）上是減函數(shù)，)(xf?22?5,52??aa結(jié)合（*）知 .13??或9．設(shè) 、 、 滿足 ， 若對(duì)于任意???????20，則0)cos()cs()cos(, ????xxxR .34????解：設(shè) ，0)(,0)(, ???? ??fxfRf 知由河大附中校本課程 16 ,0)(,)(????ff即 ,1)cos()cs(,1coscs ?????????? .21)cs(o)()o(?????