成人高考(專(zhuān)升本)高等數(shù)學(xué)二復(fù)習(xí)資料-在線(xiàn)瀏覽
2025-02-27 16:07本頁(yè)面
【正文】 → 0 時(shí)， f（ x）的右極限是 1，即有 7 顯然，函數(shù)的左極限 右極限 與函數(shù)的極限 之間有以下關(guān)系： 定理 當(dāng) x→ x0時(shí)，函數(shù) f（ x）的極限等于 A的必要充分條件是 反之，如果左、右極限都等于 A，則必有 。 x→∞時(shí)，函數(shù) f（ x）的極限 （ 1）當(dāng) x→∞時(shí)，函數(shù) f（ x）的極限 y=f(x)x→∞ f(x)→ ? y=f(x)=1+ x→∞ f(x)=1+ → 1 8 定義對(duì)于函數(shù) y=f（ x），如果當(dāng) x→∞時(shí)， f（ x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù) A，則稱(chēng)當(dāng) x→∞時(shí)，函數(shù) f（ x）的極限是 A，記作 或 f（ x）→ A（當(dāng) x→∞時(shí)） （ 2）當(dāng) x→ +∞時(shí)，函數(shù) f（ x）的極限 定義對(duì)于函數(shù) y=f（ x），如果當(dāng) x→ +∞時(shí)， f（ x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù) A，則稱(chēng)當(dāng) x→ +∞時(shí)，函數(shù) f（ x）的極限是 A，記作 這個(gè)定義與數(shù)列極限的定義基本上一樣，數(shù)列極 限的定義中 n→ +∞的 n 是正整數(shù)；而在這個(gè)定義中，則要明確寫(xiě)出 x→ +∞，且其中的 x 不一定是正整數(shù)，而為任意實(shí)數(shù)。 例如函數(shù) ，當(dāng) x→ ∞時(shí)， f（ x）無(wú)限地趨于常數(shù) 1，當(dāng) x→ +∞時(shí)， f（ x）也無(wú)限地趨于同一個(gè)常數(shù) 1，因此稱(chēng)當(dāng) x→∞時(shí) 的極限是 1，記作 其幾何意義如圖 3所示。 但是對(duì)函數(shù) y=arctanx 來(lái)講，因?yàn)橛? 即雖然當(dāng) x→ ∞時(shí)， f（ x）的極限存在，當(dāng) x→ +∞時(shí)， f（ x）的極限也存在，但這兩個(gè)極限不相同，我們只能說(shuō)，當(dāng) x→∞時(shí)， y=arctanx 的極 限不存在。 但是對(duì)函數(shù) y=arctanx 來(lái)講，因?yàn)橛? 即雖然當(dāng) x→ ∞時(shí)， f（ x）的極限存在，當(dāng) x→ +∞時(shí)， f（ x）的極限也存在，但這兩個(gè)極限不相同，我們只能說(shuō)，當(dāng) x→∞時(shí)， y=arctanx 的極限不存在。 定理 （兩面夾定理）設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi)（ 可除外）滿(mǎn)足條件： （ 1） ，（ 2） 則有 。 下面我們給出函數(shù)極限的四則運(yùn)算定理 定理 則 （ 1） 11 （ 2） （ 3）當(dāng) 時(shí)， 時(shí)， 上述運(yùn)算法則可推廣到有限多個(gè)函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情形，有以下推論： （ 1） （ 2） （ 3） 用極限的運(yùn)算法則求極限時(shí)，必須注意：這些法則要求每個(gè)參與運(yùn)算的函數(shù)的極限存在，且求商的極限時(shí)，還要求分母的極限不能為零。 （五）無(wú)窮小量和無(wú)窮大量 （簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮?。? 定義對(duì)于函數(shù) ，如果自變量 x在某個(gè)變化過(guò)程中，函數(shù) 的極限為零，則稱(chēng)在該變化過(guò)程中， 為無(wú)窮小量，一般記作 常用希臘字母 ，?來(lái)表 示無(wú)窮小量。 注意：（ 1）無(wú)窮小量是變量，它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢(shì)無(wú)限趨于為零。 （ 3）一個(gè)變量是否為無(wú)窮小量是與自變量的變化趨勢(shì)緊密相關(guān)的。 例如： 振蕩型發(fā)散 （ 4）越變?cè)叫〉淖兞恳膊灰欢ㄊ菬o(wú)窮小量，例如當(dāng) x越變?cè)酱髸r(shí)， 就越變?cè)叫。皇菬o(wú)窮小量。 （簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮大） 定義；如果當(dāng)自變量 （或∞）時(shí)， 的絕對(duì)值可以變得充分大（也即無(wú)限地增大），則稱(chēng)在該變化過(guò)程中， 為無(wú)窮大量。 注意：無(wú)窮大（∞）不是一個(gè)數(shù)值，“∞”是一個(gè)記號(hào)，絕不能寫(xiě)成 或 。 定理 在同一變化過(guò)程中，如果 為無(wú)窮大量，則 為無(wú)窮小量；反之，如果 為無(wú)窮小量，且 ，則 為無(wú)窮大量。 性質(zhì) 3 有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量。 定義設(shè) 是同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小量，即 。當(dāng) 等價(jià)無(wú)窮小量代換定理： 13 如果當(dāng)時(shí) ， 均為無(wú)窮小量，又有 且存在，則 。但是必須注意：等價(jià)無(wú)窮小量代換可以在極限的乘除運(yùn)算中使用。tan～ x。arcsinx～ x。 其結(jié)構(gòu)式為： 14 Ⅱ 重要極限Ⅱ是指下面的公式： 其中 e 是個(gè)常數(shù)（銀行家常數(shù)），叫自然對(duì)數(shù)的底，它的值為 e=?? 其結(jié)構(gòu)式為： 重要極限Ⅰ是屬于 型的未定型式，重要極限Ⅱ是屬于“ ”型的未定式時(shí)，這兩個(gè)重要極限在極限計(jì)算中起很重要的作用，熟練掌握它們是非常 必要的。 基本極限公式 （ 2） （ 3） （ 4） 例 （ 1） [9601]下列變量在給定變化過(guò)程中為無(wú)窮小量的是 A. B. C. D. [答 ]C A. 發(fā)散 15 D. （ 2） [0202]當(dāng) 時(shí)， 與 x 比較是 窮小量 [答 ]B 解 :當(dāng) , 與 x 是 極限的運(yùn)算： [0611] 解： [答案 ]1 例 2. 型
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