【正文】 三棱柱 , ∴ 1//BB 平面 11AACC ， 故側(cè)棱 B1B 在平面 11AACC 上的正投影的長度等于側(cè)棱 1BB的長度 ． (2 分 ) 又 116BB AA??,故側(cè) 棱 1BB在平面 11AACC 的正投影的長度等于 6 . (3 分 ) (Ⅱ )證明： ∵ 2 3,AC? ， 11 6AA A C??，∴ 2 2 211AC AA AC?? ∴三角形 1AAC 是等腰直角三角形，（ 5 分） 又 D 是斜邊 AC 的中點，∴ 1AD AC? （ 6 分） ∵平面 11AACC ⊥平面 ABC ，∴ A1D⊥底面 ABC （ 7 分） (Ⅲ )作 DE⊥ AB，垂足為 E，連 A1E，∵ A1D⊥面 ABC，得 A1D⊥ AB． ∴ AB? 平面 1AED ，（ 8 分） 從而有 1AE AB? ，∴∠ A1ED 是面 A1ABB1與面 ABC 所成二面角的平面角 ． （ 9 分） ∵ 2 , 2 3 , 2 2B C A C A B? ? ?，∴ 2 2 2AC BC AB?? ∴三角形 ABC 是直角三角形， AB BC? ∴ ED∥ BC ， 又 D 是 AC 的中點， 2, 2 3BC AC?? ∴ 11, 3D E A D A D? ? ?， 2211 2A E A D D E? ? ? ∴1 1 1co s 2DEA E D AE??， 即側(cè)面 A1 ABB1 與底面 ABC 所成 二面角的余弦值為 12 . (14 分 ) 4/解：（ Ⅰ ）設(shè) ??na 的公差為 d ，由已知條件， 11145adad???? ? ???， （ 2 分） 解 得 1 3a? ， 2d?? ． （ 4 分） 所以 1 ( 1 ) 2 5na a n d n? ? ? ? ? ?． （ 6 分） 第 3 頁 / 共 26 頁 （ Ⅱ ） ∵ 25nan?? ? ， ∴ 5 5 ( 2 5 )22nn a n? ? ? ?? ? ? ∴ 22nc nnb ?? （ 8 分） ∴ 2 1 2 2 2 3 2l og l og l og l og nT b b b b? ? ? ? ? 232 2 2 2l og 2 l og 2 l og 2 l og 2 n? ? ? ? ? ( 1 )1 2 3 2nnn ?? ? ? ? ? ?（ 12 分） 2022 屆理科數(shù)學(xué)三 /四 大題限時訓(xùn)練（ 3） 答案： 如圖所示 ， 在 △ ABC 中 ， AB＝ 40， AC＝ 20， ∠ BAC＝ 120176。 由余弦定理 ， 得 BC2＝ AB2＋ AC2－ 2ABcos 120176。sin∠ BAC＝ 217 . 由 ∠ BAC＝ 120176。) ＝ cos∠ ACBcos 30176。＝ 2114 . （ 1）證明： 由題意知 2 3,DC? 則2 2 2BCDBDCBDDC???= ， ， PDABCDBDP PDCDD? ?? ?面 而， ， ，..PCPC C BDPC?? ??面 在面 內(nèi)， （ 6 分 ） （ 2）∵ DE∥ AB，又 PD?平面 ABCD. ∴平面 PDC?平面 ABCD. 過 D作 DF// 交 BC于 F 過點 F作 FG?CD交 于 G,則 ∠ 為直線 AB與平面 PDC所成的角 . 在 Rt△ FC中，∠ 90DF??，3, 3F CF??， ∴ tan 3DG??，∴∠ 60. 即直線 AB與平面 PC所成角為 60?. （ 10 分 ） （ 3）連結(jié) EF，∵ DF∥ AB，∴ DF∥平面 PAB. 又∵ DE∥平面 PAB， ∴平面 DEF∥平面 ，∴ EF∥ AB. 又∵1, 4, 1,A BCBF? ? ? ∴1,4PE BFPC BC??∴14PE PC?，即?? （ 14 分 ） 【方法二】 如圖， 在平面 ABCD 內(nèi)過 D 作直線 DF//AB，交 BC 于 F， 分別以 DA、 DF、 DP 所在的直線為 x、 y、z 軸 建立空間直角坐標(biāo)系 . （ 1）設(shè) PDa?，則(1, 3,0), (3,3, )B PC a??? ?? ?， ∵ 330B PC? ???，∴ DPC?. （ 6 分 ） （ 2）由（ 1）知BD DCDB PDC?面 就是平面 的法向量， . 由條件知 A（ 1， 0， 0）， B（ 1， 3， 0）， (,3,0), (1,3,0)AB DB??. 設(shè) PDC ?與面 所成角大小為， PEFB CDA GPEFB CDAPEFB CDA Gxyz第 4 頁 / 共 26 頁 則| | 3 3sin .2| | | | 23DB ABDB AB? ?? ? ?? 0 90 60,?????????， 即直線 AB PDC與 平 面 所 成 角為 60. （ 10 分 ） （ 3） 由（ 2）知 C（－ 3， 3， 0） ，記 P（ 0， 0， a），則 0 30AB?（ ， ， ），(0, , )DP a?， A a?（ 1， 0， ），33PC a?? ?（ ， ， ）， 而 PE PC?，所以33PE a? ????（ ， ， ）， D DPEDP PC????(0,0,) (3 3 )aa? ?? ?? ?， ，=3 , .aa???（ ， ） 設(shè)n xyz?（ ， ， ）為平面 PAB 的法向量，則00AB nPA n? ???????? ，即 300yx az? ??????? ，即 0x az?? ??. 1z xa??取 ， 得 ， 進(jìn)而得,na?（ 01）， 由 //DE PAB平 面,得 0DEn??，∴ 30a a????， ?? ? ?而 ， （ 14 分 ） （Ⅰ） 解：記“從盒中隨機(jī)抽取 1個零件，抽到的是使用過的零件”為事件 A ，則 2()7PA? .?? 2分 所以 3 次抽取中恰 有 1次抽到使用過的零件的概率 123 2 5 1 5 0C ( )( )7 7 3 4 3P ??. ?? 5分 （Ⅱ）解：隨機(jī)變量 X 的所有取值為 2,3,4 . ?????? 7分 2227C 1( 2 ) C 2 1PX ? ? ?； 115227CC 10( 3 ) C 2 1PX ? ? ?； 2527C 10( 4 ) C 2 1PX ? ? ?.? 10 分 所以， 隨機(jī)變量 X 的分布列為 : X 2 3 4 P 121 1021 1021 ???? 12 分 1 1 0 1 0 2 42342 1 2 1 2 1 7EX ? ? ? ? ? ? ?. ???? 14分 解：（ 1） 121 ??? nn aa? ， )1(211 ????? nn aa ， 而 1a，故數(shù)列 }1{ ?na 是首項為 2，公比為 2 的等比數(shù)列 ， 12n??即，因此 12??nna ． ( 5 分 ) （ 2）∵? ?nnnbbbb an 14444 1131 321 ???? ??? ?，∴2321 24 32 nnbbbb n ?????? ?， ( 7 分 ) ∴? ? 2321 232 nnnbbbb n ?????? ?， 即? ? nnnbbbb n 2322 2321 ?????? ?，① 當(dāng) 2n≥時，221 2 12[ 2 ( 1) ]( 1) 2( 1) 1nb b n b n n n????? ??????，② ①－ ②得? ?2 2 1 2nnb n n?? ≥，? ?1122nbnn?? ≥． （ 10 分） 可驗證 1?n也滿足此式，因此 nbn 211??． （ 12 分） 第 5 頁 / 共 26 頁 2022 屆理科數(shù)學(xué)三 /四 大題限時訓(xùn)練（ 4） （ 1） ∵ b－ 2c ( si n 2 c os , 4 c os 8 si n )? ? ? ?? ? ?，且 a 與 b－ 2c 垂直， ∴ 4 c os ( si n 2 c os ) si n ( 4 c os 8 si n ) 0? ? ? ? ? ?? ? ? ?， ??????（ 3 分） 即 si n c os c os si n 2( c os c os si n si n )? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?， ??????（ 4 分） ∴ si n( ) 2 c os( )? ? ? ?? ? ?， ∴ tan( ) 2????.??????（ 6 分） （ 2） ∵ tan tan 16??? ， ∴ sin sin 16cos cos????，即 si n si n 16 c os c os? ? ? ?? ， ∴ ( 4 c os ) ( 4 c os ) si n si n? ? ? ???， ??????（ 10 分） 即 a (4 cos ,sin )??? 與 b (sin , 4 cos )??? 共線， ∴ a∥ b. ??????（ 12 分） 由三視圖知，該多面體是底面為直角三角形的直 三棱柱 ADE— BCF，且 AB=BC=BF=4， 24?? CFDE ， 2???CBF （ 1）連結(jié)取 BE，易見 BE 通過點 M。 EM=BM， CN=BN? MN∥ CE， CE? 面 CDEF? MN∥面 CDE??????（ 4 分） （ 2）作 BQ⊥ CF 于 Q，連結(jié) AQ。 ??????（ 7 分） 在 Rt△ ABQ 中 tan AQB? =33c os222 4 ????? A Q BBQAB?????? （ 8 分） 所以所求二面角的余弦值為 33 。??????（ 12 分） 解： (Ⅰ )由已知得1 2 31223135P P PPPPP? ? ??????????? 解得 :1P =51 ,2P =52 ,3P =52 . （ Ⅱ ） ? 的可能取值為 0， 100， 200， 300， 400. P(? =0)= 51 ? 51 =251 第 6 頁 / 共 26 頁 P(? =100)= 2? 51 ? 52 =254 P(? =200)= 2? 51 ? 52 +52 ? 52 =258 P(? =300)= 2? 52 ? 52 =258 P(? =400)= 52 ? 52 =254 隨機(jī)變量 ? 的分布列為 ? 0 100 200 300 400 p 251 254 258 258 254 所求的數(shù)學(xué)期望為 E? =0? 251 +100? 254 +200? 258 +300? 258 +400? 254 =240(元 ) 所以隨機(jī)變量 ? 的數(shù)學(xué)期望為 240 元 . （ 1）解 ∵ f（ x） =sin43x sin(23x+29 ?) =sin43xcos23x=21sin23x3?=612?n ?，（ n=1，2，3，?）. （2）證明 由 an=612?n ?知對任意正整數(shù) n,an都不是 ? 的整數(shù)倍. 所以sin an≠0,從而 bn=sinansinan+1sinan+2≠0. 第 7 頁 / 共 26 頁 于是nnbb1?=21 321 sinsinsin sinsinsin ?? ??? nnn nnn aaa aaa=nnaasinsi 3?=nnaasin )sin( ??=1. 又 b1=sin6? sin65?=41,{bn}是以41為首項， 1為公比的等比數(shù)列 .∴ bn=4)1( 1?? n （ n=1， 2，3，?） . 2022 屆理科數(shù)學(xué)三 /四 大題限時訓(xùn)練（ 5） (1) 解 : ? ? 2 sin c os c os 2f x x x x?? sin 2 cos 2xx?? ?? 2分 222 s in 2 c o s 2xx???????? ?? 3分 2 sin 24x ?????????.