【正文】 （ 2） 延長 PE交 DC于點 K， 連結(jié) BK，則平面 PBE與平面 ABCD的交線為 BK, PD? 平面 ABCD, ,PD BK?? 又 1/ / , 2E C P D E C P D?易知， E為 P、 G中點， C為 D， K中點，由正方形 ABCD可得BD=BK,且 BD⊥ BK， ,BD PD D BK? ? ?平面 PDB, PB BK??， PBD?? 為所求二面角的平面角， 26c o s 33B D A DPBD PB AD? ? ? ?， 所以平面 PBE與平面 ABCD所成的二面角的余弦為 63 ； 解法 2： （ 1） E 2 0 1B ?＝ （ ， ， ） ,設(shè)平面 PDA的法向量為 n ，可取 (0,1,0)n? ， 0 , , / / 。 sin65?=41,{bn}是以41為首項， 1為公比的等比數(shù)列 .∴ bn=4)1( 1?? n （ n=1， 2，3，?） . 2022 屆理科數(shù)學(xué)三 /四 大題限時訓(xùn)練（ 5） (1) 解 : ? ? 2 sin c os c os 2f x x x x?? sin 2 cos 2xx?? ?? 2分 222 s in 2 c o s 2xx???????? ?? 3分 2 sin 24x ?????????. ?? 4分 ∴ ??fx的最小正周期為 22? ?? , 最大值為 2 . ?? 6分 (2) 解 :∵ 283f ??????????, ∴ 22 s in 223??????????. ?? 7分 ∴ 1cos2 3?? . ?? 8分 ∵ ? 為銳角，即 0 2???? , ∴ 02????. ∴ 2 22s in 2 1 c o s 2 3??? ? ?. ?? 10 分 ∴ s in 2ta n 2 2 2c o s 2?? ???. ?? 12分 解： (1) 列聯(lián)表補充如下： 3 分 喜愛打籃球 不喜愛打籃球 合計 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合計 30 20 50 （ 2） ∵ 22 5 0 ( 2 0 1 5 1 0 5 ) 8 . 3 3 3 7 . 8 7 93 0 2 0 2 5 2 5K ? ? ? ?? ? ?? ? ?6 分 ∴ 在犯錯誤的概率不超過 的前提下，認為喜愛打籃球與性別有關(guān) .7 分 （ 3）喜愛打籃球的女生人數(shù) ? 的可能取值為 0,1,2 .9 分 其概率分別為 021 0 1 5225 7( 0 ) 20CCP C? ? ? ?, 111 0 1 5225 1( 1) 2CCP C? ? ? ?, 201 0 1 5225 3( 2 ) 20CCP C? ? ? ? 12 分 故 ? 的分布列為 : 第 8 頁 / 共 26 頁 ? 0 1 2 P 720 12 320 13 分 ? 的期望值為 : 7 1 3 40 1 22 0 2 2 0 5E ? ? ? ? ? ? ? ? 14 分 解：（ Ⅰ ）該幾何體的直觀圖如圖 1 所示，它是有一條 側(cè)棱垂直于底面的四棱錐 . 其中底面 ABCD 是邊長為 6 的 正方形，高為 CC1=6，故所求體積是 726631 2 ????V 4 分 （ Ⅱ ）依題意，正方體的體積 是原四棱錐體積的 3 倍， 故用 3 個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為 6 的正方體， 其拼法如圖 2 所示 . 6 分 證明 :∵面 ABCD、 面 ABB1A 面 AA1D1D 為全等的 正方形，于是 DDAACAA B BCA B C DC VVV 1111111 ??? ?? 故所拼圖形成立 .8分 （Ⅲ）方法一：設(shè) B1E， BC 的延長線交于點 G， 連結(jié) GA，在底面 ABC 內(nèi)作 BH⊥ AG，垂足為 H， 連結(jié) HB1，則 B1H⊥ AG，故∠ B1HB 為平面 AB1E 與 平面 ABC 所成二面角或其補角的平面角 . 10 分 在 Rt△ ABG 中， 180?AG ，則 512180126 ???BH，5182121 ??? BBBHHB， 32c os 11 ??? HBHBHBB，故平面 AB1E 與平面 ABC 所成二面角的余弦值為 32? .14分 方法二：以 C 為原點， CD、 CB、 CC1所在直線分別為 x、 y、 z 軸建立直角坐標(biāo)系（如圖 3），∵正方體棱長為 6，則E（ 0， 0， 3）， B1（ 0， 6， 6）， A（ 6， 6， 0） . 設(shè)向量 n=（ x， y， z），滿足 n⊥ 1EB ， n⊥ 1AB ， 于是??? ??? ?? 066 036 zx zy，解得????????zyzx21 . 12分 取 z=2，得 n=（ 2， 1， 2） . 又 ?1BB （ 0， 0， 6），321812||||,c os 111 ?????? BBn BBnBBn A B C D C1 圖 1 A B C D D1 A1 B1 C1 圖 2 A B C D D1 A1 B1 C1 E H x y z G 圖 3 第 9 頁 / 共 26 頁 故平面 AB1E 與平面 ABC 所成二面角的余弦值為 32? . 14 分 解： （ Ⅰ ） nnxfdaxf na 22)1(2)(22l og)( 21 ?????????? nnna axnx 22l o g: ??即 6 分 （ Ⅱ ） 當(dāng) 21?a 時， nnx ??????? 41 314113141141414121 ????????? ?????????????????????nnnxxx ? 12 分 2022 屆理科數(shù)學(xué)三 /四 大題限時訓(xùn)練（ 6） 解：（ 1） //ab 24 c o s si n c o s 2 02BBB? ? ? ? 21 c o s4 c o s 2 c o s 1 02 B?? ? ? ? ? 1cos 2B?? 0(0,180 )B?? 60B?? ? ???????? 6 分 （ 2） 83S? 1 sin 8 32 ac B?????????? 7 分 得 4c? ???????? 8 分 2 2 2 2 c osb a c ac B? ? ? 2 2 08 4 2 8 4 c os 120? ? ? ? ????????? 10 分 47b?? ???????? 12 分 解： （ 1） 如圖取 BD 中點 M，連接 AM， ME。cos23x=21sin23x??????（ 12 分） 解： (Ⅰ )由已知得1 2 31223135P P PPPPP? ? ??????????? 解得 :1P =51 ,2P =52 ,3P =52 . （ Ⅱ ） ? 的可能取值為 0， 100， 200， 300， 400. P(? =0)= 51 ? 51 =251 第 6 頁 / 共 26 頁 P(? =100)= 2? 51 ? 52 =254 P(? =200)= 2? 51 ? 52 +52 ? 52 =258 P(? =300)= 2? 52 ? 52 =258 P(? =400)= 52 ? 52 =254 隨機變量 ? 的分布列為 ? 0 100 200 300 400 p 251 254 258 258 254 所求的數(shù)學(xué)期望為 E? =0? 251 +100? 254 +200? 258 +300? 258 +400? 254 =240(元 ) 所以隨機變量 ? 的數(shù)學(xué)期望為 240 元 . （ 1）解 ∵ f（ x） =sin43x EM=BM， CN=BN? MN∥ CE， CE? 面 CDEF? MN∥面 CDE??????（ 4 分） （ 2）作 BQ⊥ CF 于 Q，連結(jié) AQ。) ＝ cos∠ ACBcos 30176。cos 120176。第 1 頁 / 共 26 頁 2022 屆理科數(shù)學(xué)三 /四 大題限時訓(xùn)練（ 1） 解： (Ⅰ )交警 小李對進 站休息 的 駕駛?cè)藛T 的省 籍 詢問采用的是系統(tǒng)抽樣方法 .（ 3分） (Ⅱ )從圖中可知，被 詢問了省 籍 的 駕駛?cè)藛T 廣西 籍 的有： 5 20 25 20 30 10 0? ? ? ? ?人， 四川籍 的有： 1 5 1 0 5 5 5 4 0? ? ? ? ?人，（ 4 分） 設(shè) 四川籍 的 駕駛?cè)藛T 應(yīng)抽取 x 名，依題意得 5100 40x? ，解得 2x? 即 四川籍 的 應(yīng)抽取 2名 . （ 7 分） (Ⅲ ) ? 的所有可能取值為 0， 1， 2； （ 8 分） 2527 10( 0) 21CP C? ? ? ?， 112527 10( 1) 21CCP C? ? ? ?， 2227 1( 2) 21CP C? ? ? ?， （ 10 分） ? 的分布列為 ： ? 0 1 2 P 1021 1021 121 （ 11 分） 均值 1 0 121 4( ) 1 2 21 7E ? ? ? ? ? ?.（ 13 分） 2 解：（ Ⅰ ） 由 1 sin 22 ab C ? ，即 1 3 4 si n 2 22 C? ? ? 得 2sin 3C? （ 2 分） ∵ 180 oA B C? ? ?， ∴ 2s in ( ) s in (1 8 0 ) s in 3oA B C C? ? ? ? ?（ 4 分） （ Ⅱ ） 由 （ Ⅰ ） 得 2sin 3C? ∵ 0 90oC?? ， ∴ 22 27c os 1 si n 133CA??? ? ? ? ?????（ 5 分） ∴ 22 75c o s 2 2 c o s 1 2 1 .39CC??? ? ? ? ? ????? （ 6 分） ∴ 2 7 2 1 4s in 2 2 s in c o s 2 3 3 9C C C? ? ? ? ?（ 7 分） ∴ c o s 2 c o s 2 c o s s in 2 s in4 4 4C C C? ? ???? ? ????? 5 2 2 1 4 2 5 2 4 7 .9 2 9 2 1 8?? ? ? ? ? ? （ 9 分） 第 2 頁 / 共 26 頁 （Ⅲ） ∵ 3CB a??， 4AC b?? （ 10 分） 設(shè) 向量 CB 與 CA 所成的角為 ? ，則 180o C? ??（ 11 分） ∴ c o s c o s ( 1 8 0 ) c o soCB A C CB A C a b C a b C?? ? ? ? ? ? ? 73 4 4 73? ? ? ? ? ? （ 13 分） 3 解：（方法一） (Ⅰ ) ∵ 1 1 1ABC A B C? 是斜三棱柱 , ∴ 1//BB 平面 11AACC ， 故側(cè)棱 B1B 在平面 11AACC 上的正投影的長度等于側(cè)棱 1BB的長度 ． (2 分 ) 又 116BB AA??,故側(cè) 棱 1BB在平面 11AACC 的正投影的長度等于 6 . (3 分 ) (Ⅱ )證明： ∵ 2 3,AC? ， 11 6AA A C??，∴ 2 2 211AC AA AC?? ∴三角形 1AAC 是等腰直角三角形，（ 5 分） 又 D 是斜邊 AC 的中點，∴ 1AD AC? （ 6 分） ∵平面 11AACC ⊥平面 ABC ，∴ A1D⊥底面 ABC （ 7 分