【正文】 中 ,有關(guān) Sn 的最值問(wèn)題： (1)當(dāng) 1a 0,d0 時(shí)，滿足??? ??? 001mmaa 的項(xiàng)數(shù) m使得 ms 取最大值 . (2)當(dāng) 1a 0,d0 時(shí)，滿 足??? ??? 001mmaa 的項(xiàng)數(shù) m 使得 ms 取最小值。 （三）、數(shù)列求和的常用方法 1. 公式法 :適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。 :適用于 ? ?nnba 其中 { na }是等差數(shù)列， ??nb 是各項(xiàng)不為 0 的等比數(shù)列。 解： 1 2 3 2nnnaa? ? ? ?兩邊除以 12n? ，得 11 32 2 2nnaa?? ??，則 11 32 2 2nnaa?? ??，故數(shù)列 {}2nna是以 1222a11 ??為首項(xiàng)，以23為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得 31 ( 1)22nna n? ? ?，所以數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式為 31( )222nnan??。 二、 利用 ?1 ( 2 )1 ( 1 )nnS S nSnna????? 例 2．若 nS 和 nT 分別表示數(shù)列 {}na 和 {}nb 的前 n 項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù) 2( 1)nan?? ? ， 34nnT S n??.求數(shù)列 {}nb 的通項(xiàng)公式； 解： 22 ( 1 ) 4 2 31a n a d S n nnn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?23 4 3 5T S n n nnn? ? ? ? ? ?? 2分 當(dāng) 1 , 3 5 811n T b? ? ?? ? ??時(shí) 當(dāng) 2 , 6 2 6 2 .1n b T T n b nn n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ??時(shí) ?? 4分 練習(xí) ： 1. 已知正項(xiàng)數(shù)列 {an}，其前 n項(xiàng)和 Sn滿足 10Sn=an2+5an+6且 a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列 {an}的通項(xiàng) an 新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 解 : ∵10 Sn=an2+5an+6， ① ∴10 a1=a12+5a1+6，解之得 a1=2或 a1=3新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 又 10Sn－ 1=an－ 12+5an－ 1+6(n≥2) ， ② 由 ① － ② 得 10an=(an2－ an－ 12)+6(an－ an－ 1)，即 (an+an－ 1)(an－ an－ 1－ 5)=0 ∵ an+an－ 10 ， ∴ an－ an－ 1=5 (n≥2)新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 當(dāng) a1=3時(shí)， a3=13， a15=73新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ a1， a3， a15不成等比數(shù)列 ∴ a1≠3。 解：由 1 21nna a n? ? ? ?得 1 21nna a n? ? ? ?則 1 1 2 3 2 2 1 12( ) ( ) ( ) ( )[ 2( 1 ) 1 ] [ 2( 2) 1 ] ( 2 2 1 ) ( 2 1 1 ) 12 [ ( 1 ) ( 2) 2 1 ] ( 1 ) 1( 1 )2 ( 1 ) 12( 1 ) ( 1 ) 1n n n n na a a a a a a a a annn n nnnnnnn? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? 所以數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式為 2nan? 。 例 4 已知數(shù)列 {}na 滿足 112 3 1 3nnna a a? ? ? ? ? ?，求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 例 5 已知數(shù)列 {}na 滿足 113 2 3 1 3nnna a a? ? ? ? ? ?，求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 四 、累乘法 例 6 已知數(shù)列 {}na 滿足 112( 1 ) 5 3nnna n a a? ? ? ? ?，求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 例 7 已知數(shù)列 {}na 滿足 1 1 2 3 11 2 3 ( 1 ) ( 2)nna a a a a n a n?? ? ? ? ? ? ? ?， ，求 {}na 的通項(xiàng)公式。 所以， {}na 的通項(xiàng)公式為 !.2n na ? 評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 1 ( 1) ( 2)nna n a n? ? ? ?轉(zhuǎn)化為 1 1( 2)nna nna? ? ? ?，進(jìn)而求出 1321 2 2nna a a aa a a???? ? ? ?，從而可得當(dāng) 2 nna? 時(shí) ， 的表達(dá)式，最后再求出數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 1 2 .nna? ? ? 即 2*2 1 ( ) .na n N? ? ? 例 9．已知數(shù)列 ??na 中， 1 1a? , 11 11()22nnnaa ?? ??，求 na 。 （ 1）求 321 aaa ， ； （ 2）求數(shù)列 }a{n 的通項(xiàng)公式。 解：設(shè) 11 5 2( 5 )nnnna x a x?? ? ? ? ? ? ④ 將 1 2 3 5nnnaa? ? ? ?代入④式，得 12 3 5 5 2 2 5n n nnna x a x?? ? ? ? ? ? ?，等式兩邊消去2na ，得 13 5 5 2 5n n nxx?? ? ? ? ?，兩邊除以 5n ，得 3 5 2 , 1,x x x? ? ? ?則 代入④式得11 5 2( 5 )nnnnaa?? ? ? ? ⑤ 由 11 5 6 5 1 0a ? ? ? ? ?及⑤ 式得 50nna ??，則 11 5 25nnnnaa?? ? ??，則數(shù)列 { 5}nna ? 是以11 51a??為首項(xiàng)，以 2 為公比的等比數(shù)列，則 152nnna ??? ，故 125nnna ???。 例 11 已知數(shù)列 {}na 滿足 113 5 2 4 1nnna a a? ? ? ? ? ?，求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 令 5 2 343xxyy???? ???，則 52xy??? ??，代入⑥式得 11 5 2 2 3 ( 5 2 2)nnnnaa?? ? ? ? ? ? ? ? ⑦ 由 11 5 2 2 1 12 13 0a ? ? ? ? ? ? ?及⑦式， 得 5 2 2 0nna ? ? ? ?，則 11 5 2 2 35 2 2nnnnaa?? ? ? ? ?? ? ?， 故數(shù)列 { 5 2 2}nna ? ? ? 是以 11 5 2 2 1 12 13a ? ? ? ? ? ?為首項(xiàng)，以 3 為公比 的等比數(shù)列，因此 15 2 2 1 3 3nnna ?? ? ? ? ?，則 11 3 3 5 2 2nnna ?? ? ? ? ?。 例 12 已知數(shù)列 {}na 滿足 2112 3 4 5 1nna a n n a? ? ? ? ? ?，求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 21 2 3 4 5nna a n n? ? ? ? ?轉(zhuǎn)化為221 3 ( 1 ) 10 ( 1 ) 18 2( 3 10 18 )nna n n a n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，從而可知數(shù)列2{ 3 10 18 }na n n? ? ?是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列 2{ 3 10 18 }na n n? ? ?的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 解：因?yàn)?5112 3 7nnna a a? ? ? ? ?，所以 100nnaa???， 。 評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過(guò)對(duì)數(shù)變換把遞推關(guān)系式 51 23nnnaa? ? ? ? 轉(zhuǎn)化為1 l g 3 l g 3 l g 2 l g 3 l g 3 l g 2l g ( 1 ) 5 ( l g )4 1 6 4 4 1 6 4nna n a n? ? ? ? ? ? ? ? ?，從而可知數(shù)列l(wèi)g 3 lg 3 lg 2{l g }4 1 6 4nan? ? ?是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列 lg 3 lg 3 lg 2{l g }4 1 6 4nan? ? ?的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 解：因?yàn)?3( 1)21 nnnnaa?? ? ，所以 1 2 13 2 3 ( 1 ) 2 3 212[]n n nn n nn n na a a? ? ?? ? ? ????? 2 ( 2 ) ( 1 )3 2 ( 2 ) ( 1 )3 ( 3 ) ( 2 ) ( 1 )1 1 2 ( 3 ) ( 2 ) ( 1 )( 1 )1 23 ( 1 ) 223 ( 2 ) 2 3 ( 1 ) 233 ( 2 ) ( 1 ) 233 2 3 ( 2 ) ( 1 ) 213 ! 21[]nnn n nn n nn n n nnnnnnnn n nnn n nnn n nnaaaaa? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ????????? 又 1 5a? ，所以數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式為 ( 1)1 23 ! 25 nnn nna ?? ??? 。即先將等式 3( 1)21 nnnnaa?? ?兩邊取常用對(duì)數(shù)得 1lg 3 ( 1 ) 2 lgnnna n a? ? ? ? ?，即 1lg 3( 1)2lg nnna na? ??，再由累乘法可推知( 1 )1 23 ! 213 211 2 2 1l g l g l g lgl g l g l g 5l g l g l g l gnnn nnnn nna a a aaaa a a a?? ?????? ? ? ? ? ? ?，從而 1 ( 1)3 ! 2 25 n nnnna ? ???? 。 解：由1 228 ( 1 )( 2 1 ) ( 2 3 )nn