【正文】 4 16 4 4 6 4( l g 7 l g 3 l g 3 l g 2 ) 5 l g 3 l g 3 l g 2[ l g( 7 3 3 2 ) ] 5 l g( 3 3 2 )l g( 7 3 3 2 ) 5 l g( 3 3 2 )l g( 7 3 3nnnnnnnnnnnn?????????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?111 5116 45 4 1 5151 16 42)l g( 7 3 2 )nnnnn????? ???? ? ? 則 11 5 4 1 515 16 47 3 2 nn nnna ?? ?? ?? ? ?。 評(píng)注：本題還可綜合利用累乘法和對(duì)數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 （ 1）當(dāng) 1n? 時(shí)， 21 2( 2 1 1) 1 8( 2 1 1) 9a ? ? ?????，所以等式成立。 十 、換元法 例 16 已知數(shù)列 {}na 滿足111 (1 4 1 2 4 ) 116n n na a a a? ? ? ? ? ?，求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 （形式： 11 ???nnn paaa ） 例：已知數(shù)列 ??na 滿足 ,11?a131 ??? n nn aaa，求證：??????na1 是等差數(shù)列，并求 ??na的通向公式。 解：由 ,21?a121 ??? n nn a aa可知，對(duì) Nn? ， 0?na . ? nn aa 212111 ???，即 ???????? ????1121111 nn aa. 又 ? ,11?a ?21111 ???a. ?數(shù)列?????? ?11na是首項(xiàng)為 21? ，公比為 21 的等比數(shù)列 . ? nnna ????????????????? ? 21212111 1. ? 122??nnna 3. 構(gòu)造數(shù)列 ? ?nn aa ???1 ，使其為等比數(shù)列。 設(shè) ? ? ? ? .),(2n*2112 的上漸進(jìn)值項(xiàng)和，求數(shù)列的前為數(shù)列 nnnnnnn TntTNnSSSSt ???? ???? 。 解：設(shè) ? ?1112 ???? ??? nnnn aaaa ??? ，即 ? ? ,112 ??? ?? nnn aaa ???? 則 ? ? ,112 ??? ??? nnn aaa ???? 與 112 23 ??? ?? nnn aaa 比較后的得 2,3 ???? ???? . ? 1,2 ??? ?? 或 2,1 ??? ?? . 當(dāng) 2,1 ??? ?? 時(shí)， ? ?1112 2 ???? ??? nnnn aaaa ， ? ?nn aa ?1 是以 212 ??aa 為首項(xiàng)， 2 為公比的 等比數(shù)列。 ? ,231 ?? nan 231?? nan . 2. 構(gòu)造數(shù)列?????? ??na1 ，使其為等比數(shù)列。 評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過(guò)將 1 24 na? 的換元為 nb ，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化1 1322nnbb? ??形式，從而可知數(shù)列 { 3}nb? 為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列 { 3}nb? 的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 根據(jù)（ 1），（ 2）可知，等式對(duì)任何 *nN? 都成立。 九 、數(shù)學(xué)歸 納法 例 15 已知數(shù)列 {}na 滿足11228 ( 1 ) 8( 2 1 ) ( 2 3 ) 9nn na a ann? ?? ? ??? ，求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 八 、迭代法 例 14 已知數(shù)列 {}na 滿足 3 ( 1 ) 2115nnnna a a?? ??， ，求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 七 、對(duì)數(shù)變換法 例 13 已知數(shù)列 {}na 滿足 51 23nnnaa? ? ? ? ， 1 7a? ，求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 1 3 5 2 4nnnaa? ? ? ? ?轉(zhuǎn)化為11 5 2 2 3 ( 5 2 2)nnnnaa?? ? ? ? ? ? ? ?，從而可知數(shù)列 { 5 2 2}nna ? ? ? 是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列 { 5 2 2}nna ? ? ? 的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 1 2 3 5nnnaa? ? ? ?轉(zhuǎn)化為 11 5 2( 5 )nnnnaa?? ? ? ?，從而可知數(shù)列 { 5}nna ? 是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列 { 5}nna ? 的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列{}na 的通項(xiàng)公式。 解：在 11 11()22nnnaa ?? ??兩邊乘以 12?n 得： 1 12 ( 2 ) 1nnnnaa? ?? ? ? ? 令 nnn ab ??2 ，則 1 1nnbb? ??,解之得： 1 11nb b n n? ? ? ? ? 所以 122nn nnb na ??? 練習(xí) . 已知數(shù)列 }a{n 滿足 ）（ 2n12a2a n1nn ???? ? ，且 81a4? 。 解：因?yàn)?1 2 3 12 3 ( 1 ) ( 2)nna a a a n a n?? ? ? ? ? ? ? ① 所以 1 1 2 3 12 3 ( 1 )n n na a a a n a na??? ? ? ? ? ? ? ② 用②式－①式 得 1 .n n na a na? ?? 則 1 ( 1) ( 2)nna n a n? ? ? ? 故 1 1( 2)nna nna? ? ? ? 所以 132 2 21 2 2 ![ ( 1 ) 4 3 ] .2nnn nna a a na a n n a aa a a???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③ 由 1 2 3 12 3 ( 1 ) ( 2)nna a a a n a n?? ? ? ? ? ? ?， 2 1 222n a a a? ? ?取 得 ，則 21aa? ，又知1 1a? ，則 2 1a? ，代入③得 !1 3 4 5 2n nan? ? ? ? ? ? ?。 解： 1 3 2 3 1nnnaa? ? ? ? ?兩邊除以 13n? ，得 111213 3 3 3nnn n naa???? ? ?， 則 111213 3 3 3nnn n naa???? ? ?，故 1 1 2 2 3 2 1 12 2 3 2 1111 2 21 2 2( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3 3 32 1 2 1 2 1 2 1 3( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3 3 3 32( 1 ) 1 1 1 1 1( ) 13 3 3 3 3 3n n n n n n nn n n n nnnn n nn n n na a a a a a a a a aaan? ? ? ? ?? ? ???????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? 因此 11 ( 1 3 )2( 1 ) 2 1 13 13 3 1 3 3 2 2 3nnnnna nn???? ? ? ? ? ???， 則 2 1 13 3 .3 2 2nnnan? ? ? ? ? ? 評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 1 3 2 3 1nnnaa? ? ? ? ?轉(zhuǎn)化為 111213 3 3 3nnn n naa???? ? ?，進(jìn)而求出 1 1 2 2 3 2 1 11 1 2 2 3 2 1( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3 3 3 3n n n n n nn n n n n na a a a a a a a a? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?，即得數(shù)列3nna??????的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 1 21nna a n? ? ? ?轉(zhuǎn)化為 1 21nna a n? ? ? ?，進(jìn)而求出 1 1 2 3 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n n na a a a a a a a a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?，即得數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 1 2 3 2nnnaa? ? ? ?轉(zhuǎn)化為 11 32 2 2nnaa?? ??，說(shuō)明數(shù)列{}2nna 是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出 31 ( 1)22nna n? ? ? ，進(jìn)而求出數(shù)列{}na 的通項(xiàng)公式。 :適用于???????1nnaac 其中 { na }是各項(xiàng)不為 0 的等差數(shù)列， c 為常數(shù)；部分無(wú)理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。 (3) 中 項(xiàng) 公 式 法 : 驗(yàn)證212 ?? ?? nnn aaa Nnaaa nnn ?? ?? )( 22 1 都成立。 3 ．nnnnn sssss 232 , ?? 成等差數(shù)列。 數(shù)數(shù) 列列 知知 識(shí)識(shí) 要要 點(diǎn)點(diǎn) 1. ? 等差、等比數(shù)列： 等差數(shù)列 等比數(shù)列 等差數(shù)列 等比數(shù)列 定義 daa nn ???1 )0(1 ??? qqaa nn 遞 推 公式 daa nn ?? ?1 ； mdaa nmn ?? ? qaann 1?? ； mnmn qaa ?? 通 項(xiàng) 公式 dnaan )1(1 ??? 11 ?? nn qaa （ 0,1 ?qa ） 中項(xiàng) 2 knkn aaA ?? ??（ 0, * ?? kn