【正文】 a? ? ? ?， 1 2a? ，求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。推廣： mnmnn aaa ?? ??2 性質(zhì) 1 若 m+n=p+q 則 qpnm aaaa ??? 若 m+n=p+q，則 qpnm aaaa ? 。 二、 利用 ?1 ( 2 )1 ( 1 )nnS S nSnna????? 例 2．若 nS 和 nT 分別表示數(shù)列 {}na 和 {}nb 的前 n 項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù) 2( 1)nan?? ? ， 34nnT S n??.求數(shù)列 {}nb 的通項(xiàng)公式； 解： 22 ( 1 ) 4 2 31a n a d S n nnn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?23 4 3 5T S n n nnn? ? ? ? ? ?? 2分 當(dāng) 1 , 3 5 811n T b? ? ?? ? ??時(shí) 當(dāng) 2 , 6 2 6 2 .1n b T T n b nn n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ??時(shí) ?? 4分 練習(xí) ： 1. 已知正項(xiàng)數(shù)列 {an}，其前 n項(xiàng)和 Sn滿足 10Sn=an2+5an+6且 a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列 {an}的通項(xiàng) an 新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 解 : ∵10 Sn=an2+5an+6， ① ∴10 a1=a12+5a1+6，解之得 a1=2或 a1=3新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 又 10Sn－ 1=an－ 12+5an－ 1+6(n≥2) ， ② 由 ① － ② 得 10an=(an2－ an－ 12)+6(an－ an－ 1)，即 (an+an－ 1)(an－ an－ 1－ 5)=0 ∵ an+an－ 10 ， ∴ an－ an－ 1=5 (n≥2)新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 當(dāng) a1=3時(shí)， a3=13， a15=73新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ a1， a3， a15不成等比數(shù)列 ∴ a1≠3。 （ 1）求 321 aaa ， ； （ 2）求數(shù)列 }a{n 的通項(xiàng)公式。 解：因?yàn)?3( 1)21 nnnnaa?? ? ，所以 1 2 13 2 3 ( 1 ) 2 3 212[]n n nn n nn n na a a? ? ?? ? ? ????? 2 ( 2 ) ( 1 )3 2 ( 2 ) ( 1 )3 ( 3 ) ( 2 ) ( 1 )1 1 2 ( 3 ) ( 2 ) ( 1 )( 1 )1 23 ( 1 ) 223 ( 2 ) 2 3 ( 1 ) 233 ( 2 ) ( 1 ) 233 2 3 ( 2 ) ( 1 ) 213 ! 21[]nnn n nn n nn n n nnnnnnnn n nnn n nnn n nnaaaaa? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ????????? 又 1 5a? ，所以數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式為 ( 1)1 23 ! 25 nnn nna ?? ??? 。（ qpaaannn ???1 或 0??? cBaAa nn ） 例：在數(shù)列 ??na 中，已知 ,21?a121 ??? n nn a aa，求證：數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式。 附 ： 構(gòu)造輔助數(shù)列 1．構(gòu)造數(shù)列??????na1 ，使其為等差數(shù)列。 解：因?yàn)?5112 3 7nnna a a? ? ? ? ?，所以 100nnaa???， 。 所以， {}na 的通項(xiàng)公式為 !.2n na ? 評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 1 ( 1) ( 2)nna n a n? ? ? ?轉(zhuǎn)化為 1 1( 2)nna nna? ? ? ?，進(jìn)而求出 1321 2 2nna a a aa a a???? ? ? ?，從而可得當(dāng) 2 nna? 時(shí) ， 的表達(dá)式，最后再求出數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 :適用于 ? ?nnba 其中 { na }是等差數(shù)列， ??nb 是各項(xiàng)不為 0 的等比數(shù)列。 2 若}{nk 成 （其中 Nkn? ）則 }{nka也為 。 當(dāng) a1=2時(shí)， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴ a1=2， ∴ an=5n－ 3新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 2．（ 2022年全國(guó)卷 I）設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)的和 14 1 223 3 3nnnSa ?? ? ? ?， 1,2,3,n? （Ⅰ）求首項(xiàng) 1a 與通項(xiàng) na ； （Ⅱ）設(shè) 2nn nT S?， 1,2,3,n? ，證明：132n ii T? ?? 解：（ I） 21 1 14 1 223 3 3a S a? ? ? ? ?，解得： 1 2a? ? ?211 1 14 4 1 223 3 3 nnn n n n na S S a a ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ?11 2 4 2nnnnaa??? ? ? ? 所以數(shù)列 ? ?2nna ? 是公比為 4的等比數(shù)列 所以： ? ?1112 2 4nnnaa ?? ? ? ? 得： 42nnna ?? （其中 n為正整數(shù)） （ II） ? ? ? ? ? ?1 1 14 1 2 4 1 2 22 4 2 2 2 1 2 13 3 3 3 3 3 3n n n n n nnnSa ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 112 3 2 3 1 12 2 2 1 2 12 1 2 1nnn nnnnnT S ?? ??? ? ? ? ? ??????? ?? 所以： 111 3 1 1 32 2 1 2 1 2n i ni T ?? ??? ? ? ???????? 三 、累加法 例 3 已知數(shù)列 {}na 滿足 112 1 1nna a n a? ? ? ? ?，求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 解： （ 1） 33a13a5a 321 ??? ， （ 2） n1nnn1nn 2)1a(21a12a2a ???????? ?? 1n2 1a12 1a2 1a nn1n1nnn ????????? ?? ∴ 12)1n(a nn ??? 六 、待定系數(shù)法 例 10 已知數(shù)列 {}na 滿足 112 3 5 6nnna a a? ? ? ? ?，求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式。 評(píng)注：本題還可綜合利用累乘法和對(duì)數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 解：由 ,21?a121 ??? n nn a aa可知，對(duì) Nn? ， 0?na . ? nn aa 212111 ???，即 ???????? ????1121111 nn aa. 又 ? ,11?a ?21111 ???a. ?數(shù)列?????? ?11na是首項(xiàng)為 21? ，公比為 21 的等比數(shù)列 . ? nnna ????????????????? ? 21212111 1. ? 122??nnna 3. 構(gòu)造數(shù)列 ? ?nn aa ???1 ，使其為等比數(shù)列。 評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過(guò)將 1 24 na? 的換元為 nb ，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化1 1322nnbb? ??形式，從而可知數(shù)列 { 3}nb? 為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列 { 3}nb? 的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 七 、對(duì)數(shù)變換法 例 13 已知數(shù)列 {}na 滿足 51 23nnnaa? ? ? ? ， 1 7a? ，求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 解：因?yàn)?1 2 3 12 3 ( 1 ) ( 2)nna a a a n a n?? ? ? ? ? ? ? ① 所以 1 1 2 3 12 3 ( 1 )n n na a a a n a na??? ? ? ? ? ? ? ② 用②式－①式 得 1 .n n na a na? ?? 則 1 ( 1) ( 2)nna n a n? ? ? ? 故 1 1( 2)nna nna? ? ? ? 所以 132 2 21 2 2 ![ ( 1 ) 4 3 ] .2nnn nna a a na a n n a aa a a???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③ 由 1 2 3 12 3 ( 1 ) ( 2)nna a a a n a n?? ? ? ? ? ? ?， 2 1 222n a a a? ? ?取 得 ，則 21aa? ，又知1 1a? ，則 2 1a? ，代入③得 !1 3 4 5 2n nan? ? ? ? ? ? ?。 :適用于???????1nnaac 其中 { na }是各項(xiàng)不為 0 的等差數(shù)列， c 為常數(shù)；部分無(wú)理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。 若 }{nk 成等比數(shù)列 （其中 Nkn? ），則 }{nka成等比數(shù)列。 解：由 1 21nna a n? ? ? ?得 1 21nna a n? ? ? ?則 1 1 2 3 2 2 1 12( ) ( ) ( ) ( )[ 2( 1 ) 1 ] [ 2( 2) 1 ] ( 2 2 1 ) ( 2 1 1 ) 12 [ ( 1 ) ( 2) 2 1 ] ( 1 ) 1( 1 )2 ( 1 ) 12( 1 ) ( 1 ) 1n n n n na a a a a a a a a annn n nnnnnnn? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? 所以數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式為 2nan? 。