【正文】 ? nnn aa 21 ??? ? ? ? ? ? ? ? 112211 aaaaaaaa nnnnn ???????? ??? ? 1222 21 ????? ?? ?nn 12??n ( 2?n ). 經(jīng)驗(yàn)證， n=1 時(shí)適合上式， 12 ??? nna . 同理，當(dāng) 1,2 ??? ?? 時(shí)，也得到 12 ?? nna . 綜上知 12 ?? nna . 一、 填空題：（本大題共 36 分，每小題 3 分） 已知 ??na 為等差數(shù)列，若 1,0 4361 ???? aaaa 且 )0( ?d ，則 ?na ________________. 已知等差數(shù)列 ??na 中， 18154 18,10 Saa 項(xiàng)和則此數(shù)列前?? =_______________. 已知 ??? xxxx 則項(xiàng)是一個(gè)等比數(shù)列的前三 ,33,22, _______________. 等比數(shù)列 ??na 中， ?????? 53645342 ,252,0 aaaaaaaaa n 則且 ______________. 數(shù)列 項(xiàng)和為的前 n?8114,2713,912,311 ____________________. 已知無窮等比數(shù)列 ??na 的前 n項(xiàng)和 則此無窮等比數(shù)是常數(shù)且 ,)(,31 * aNnaSnn ??? 列前 n 項(xiàng)和為 _______________.（用數(shù)值回答） 若無窮等比數(shù)列 ??na 的各項(xiàng)和等于 21a ，則 的取值范圍是1a ________________. 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 整除時(shí)）能被 31(,2221 *1n52 Nn ?????? ，當(dāng) n=1 時(shí)，代數(shù) 式的值為 ______________. 在等差數(shù)列 ??na 中，滿足 ? ? 項(xiàng)和的前是數(shù)列且 naSaaa nn,0,73 174 ?? ，若 ??nS 有 最大值，則 n 的值為 _____________. 已知數(shù)列 ??na 中， ??? ? nnn aaaa ，則且 311 ,10 ____________________. 1 已知數(shù)列 ??na 中滿足：???????? ?)(,13)(,2),(,11 為奇數(shù)時(shí)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)當(dāng)為正整數(shù)nnnnn aaaaamma 若 ._______________ _,74 所有可能的取值是則 ma ? 1 已知 ??na 是首相不為 0 的等差數(shù)列，若 ._______ __,2 ?kknSSnn 則無關(guān)的常數(shù)是與 二、選擇題：（本大題共 12 分，每小題 3 分） 1已知數(shù)列 ??na 滿足 ?????? ? 20*11 )(,13 3,0 aNnaaaa nnn ，則（ ） A、 0 B、 3? C、 3 D、 23 第 1 頁 共 4 頁 1 的值等于93211 aaaa ?????? ( ) A、 aa??11 10 B、 aa??11 9 C、 aa??11 8 D、以上答案都不對 1已知等比數(shù)列 ??na 的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比 1?q ，設(shè)7593 ,2 aaQaap ???，則 P 與 Q 的大小關(guān)系是（ ） A、 PQ B、 p? Q C、 pQ D、 P? Q 1等比數(shù)列 ??na 中， 項(xiàng)之積：表示它的前用公比 nqan???? ,21,5121 ，中最大的是，則 ?????? 2121 ,nn aaa （ ） A、 11? B、 10? C、 9? D、 8? 三、解答題：（本大題共 5 小題，共 52 分） 1（本大題 8 分） 公差不為零的等差數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 nS ，若 108734 ,32 SSaaa 求的等比中項(xiàng)，且和是 ? 1（本大題 8 分） 已知數(shù)列 ??na 的首相為 1，前 n 項(xiàng)和為 nS ，且滿足 )(,3 *1 NnSa nn ??? ，數(shù)列 ??nb 滿足nn ab 4log? ，求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式 第 2 頁 共 4 頁 1 （本大題 12 分） 設(shè)數(shù)列 ??na 中，若 ? ?是“凸數(shù)列”則稱數(shù)列 nnnn aNnaaa )(, *21 ??? ?? （ 1） 設(shè)數(shù)列 ??na 為“凸數(shù)列”，若 項(xiàng)和項(xiàng)，并求前試寫出數(shù)列前 66,2,1 21 ??? aa （ 2） 在“凸數(shù)列”中，求證： nn aa ??6 ( *Nn? ) （ 3） 設(shè) baaa ?? 21 , 若數(shù)列 ??na 是“凸數(shù)列”，求數(shù)列前 n 項(xiàng)和 （本大題 12 分） 等比數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，已知對任意 *Nn? ，點(diǎn)（ nSn, ）均 在函數(shù) ry n??2 （ r 為常數(shù)）的圖像上 . （ 1） 求 r 的值 （ 2）記 ? ?nnn banb 求數(shù)列,4 1??的前 n 項(xiàng)和 nT （ 3）若 ? ?nnnnn nCbnaC K,2 1 項(xiàng)和的前求數(shù)列?以及nn K??lim 第 3 頁 共 4 頁 2 （本大題 12 分） 已知數(shù)列 ??na 中， )(,2 )3(,2, *121 NnaanSnSaaa nnn ????? 項(xiàng)和，是數(shù)列的前 （ 1)求實(shí)數(shù) a 的值 （ 2)求 ??na 的通項(xiàng)公式 na （ 3)對于數(shù)列 ? ? ,)(, l i m* MbNnMbMbnnnn ??? ??且使得若存在常數(shù)則 M 叫做數(shù)列 ??nb 的“上漸進(jìn)值”。（ qpaaannn ???1 或 0??? cBaAa nn ） 例：在數(shù)列 ??na 中，已知 ,21?a121 ??? n nn a aa，求證：數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式。 附 ： 構(gòu)造輔助數(shù)列 1．構(gòu)造數(shù)列??????na1 ，使其為等差數(shù)列。 評注：本題解題 的關(guān)鍵是通過首項(xiàng)和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前 n 項(xiàng)，進(jìn)而猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。 解：由1 228 ( 1 )( 2 1 ) ( 2 3 )nn naa nn? ??? ??及1 89a?，得 21 2232 2243 228 ( 1 1 ) 8 8 2 24( 2 1 1 ) ( 2 1 3 ) 9 9 25 258 ( 2 1 ) 24 8 3 48( 2 2 1 ) ( 2 2 3 ) 25 25 49 498 ( 3 1 ) 48 8 4 80( 2 3 1 ) ( 2 3 3 ) 49 49 81 81aaaaaa??? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ? 由此可猜測 22(2 1) 1(2 1)n na n??? ?，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。 解：因?yàn)?3( 1)21 nnnnaa?? ? ，所以 1 2 13 2 3 ( 1 ) 2 3 212[]n n nn n nn n na a a? ? ?? ? ? ????? 2 ( 2 ) ( 1 )3 2 ( 2 ) ( 1 )3 ( 3 ) ( 2 ) ( 1 )1 1 2 ( 3 ) ( 2 ) ( 1 )( 1 )1 23 ( 1 ) 223 ( 2 ) 2 3 ( 1 ) 233 ( 2 ) ( 1 ) 233 2 3 ( 2 ) ( 1 ) 213 ! 21[]nnn n nn n nn n n nnnnnnnn n nnn n nnn n nnaaaaa? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ????????? 又 1 5a? ，所以數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式為 ( 1)1 23 ! 25 nnn nna ?? ??? 。 解：因?yàn)?5112 3 7nnna a a? ? ? ? ?，所以 100nnaa???， 。 例 12 已知數(shù)列 {}na 滿足 2112 3 4 5 1nna a n n a? ? ? ? ? ?，求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 例 11 已知數(shù)列 {}na 滿足 113 5 2 4 1nnna a a? ? ? ? ? ?，求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 （ 1）求 321 aaa ， ； （ 2）求數(shù)列 }a{n 的通項(xiàng)公式。 所以， {}na 的通項(xiàng)公式為 !.2n na ? 評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 1 ( 1) ( 2)nna n a n? ? ? ?轉(zhuǎn)化為 1 1( 2)nna nna? ? ? ?，進(jìn)而求出 1321 2 2nna a a aa a a???? ? ? ?，從而可得當(dāng) 2 nna? 時(shí) ， 的表達(dá)式，最后再求出數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 四 、累乘法 例 6 已知數(shù)列 {}na 滿足 112( 1 ) 5 3nnna n a a? ? ? ? ?，求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 例 4 已知數(shù)列 {}na 滿足 112 3 1 3nnna a a? ? ? ? ? ?，求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 二、 利用 ?1 ( 2 )1 ( 1 )nnS S nSnna????? 例 2．若 nS 和 nT 分別表示數(shù)列 {}na 和 {}nb 的前 n 項(xiàng)和，對任意正整數(shù) 2( 1)nan?? ? ， 34nnT