【正文】 ? ? ? ?， 1 2a? ，求數(shù)列 {}na 的通項公式。 當 a1=2時， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴ a1=2， ∴ an=5n－ 3新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 2．（ 2022年全國卷 I）設數(shù)列 ??na 的前 n 項的和 14 1 223 3 3nnnSa ?? ? ? ?， 1,2,3,n? （Ⅰ）求首項 1a 與通項 na ； （Ⅱ）設 2nn nT S?， 1,2,3,n? ，證明：132n ii T? ?? 解：（ I） 21 1 14 1 223 3 3a S a? ? ? ? ?，解得： 1 2a? ? ?211 1 14 4 1 223 3 3 nnn n n n na S S a a ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ?11 2 4 2nnnnaa??? ? ? ? 所以數(shù)列 ? ?2nna ? 是公比為 4的等比數(shù)列 所以： ? ?1112 2 4nnnaa ?? ? ? ? 得： 42nnna ?? （其中 n為正整數(shù)） （ II） ? ? ? ? ? ?1 1 14 1 2 4 1 2 22 4 2 2 2 1 2 13 3 3 3 3 3 3n n n n n nnnSa ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 112 3 2 3 1 12 2 2 1 2 12 1 2 1nnn nnnnnT S ?? ??? ? ? ? ? ??????? ?? 所以： 111 3 1 1 32 2 1 2 1 2n i ni T ?? ??? ? ? ???????? 三 、累加法 例 3 已知數(shù)列 {}na 滿足 112 1 1nna a n a? ? ? ? ?，求數(shù)列 {}na 的通項公式。 解：由 1 2 3 1nnnaa? ? ? ? ?得 1 2 3 1nnnaa? ? ? ? ?則 1 1 2 3 2 2 1 11 2 2 11 2 2 11( ) ( ) ( ) ( )( 2 3 1 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 1 ) 32 ( 3 3 3 3 ) ( 1 ) 33 ( 1 3 )2 ( 1 ) 3133 3 1 331n n n n nnnnnnnna a a a a a a a a annnn? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? 所以 3 ? ? ? 評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式 1 2 3 1nnnaa? ? ? ? ?轉(zhuǎn)化為 1 2 3 1nnnaa? ? ? ? ?，進而求出 1 1 2 3 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n na a a a a a a a a a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，即得數(shù)列 {}na 的通項公式。 解：因為 112( 1 ) 5 3nnna n a a? ? ? ? ?，所以 0na? ，則 1 2( 1)5nnna na? ??，故13 211 2 2 11 2 2 11 ( 1 ) ( 2 ) 2 1( 1 )1 2[ 2 ( 1 1 ) 5 ] [ 2 ( 2 1 ) 5 ] [ 2 ( 2 1 ) 5 ] [ 2 ( 1 1 ) 5 ] 32 [ ( 1 ) 3 2 ] 5 33 2 5 !nnnnnnnn n nnnna a a aaaa a a annnnn?????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 所以數(shù)列 {}na 的通項公式為 ( 1 )1 23 2 5 !.nnnnan??? ? ? ? 評注：本題解題的關鍵是把遞推關系 1 2( 1)5 nnna n a? ? ? ?轉(zhuǎn)化為 1 2( 1)5nnna na? ??，進而求出 13 211 2 2 1nna a a a aa a a a???? ? ? ? ?，即得數(shù)列 {}na 的通項公式。 五 .構(gòu)造等差或等比 1nna pa q? ??或 1 ()nna pa f n? ?? 例 8（ 2022年福建卷 ）已知數(shù)列 ??na 滿足 *111 , 2 1 ( ) .nna a a n N?? ? ? ? 求數(shù)列 ??na 的通項公式； 解： *1 2 1 ( ) ,nna a n N? ? ? ? 1 1 2( 1),nnaa?? ? ? ? ? ?1na??是以 1 12a?? 為首項， 2為公比的等比數(shù)列。 解： （ 1） 33a13a5a 321 ??? ， （ 2） n1nnn1nn 2)1a(21a12a2a ???????? ?? 1n2 1a12 1a2 1a nn1n1nnn ????????? ?? ∴ 12)1n(a nn ??? 六 、待定系數(shù)法 例 10 已知數(shù)列 {}na 滿足 112 3 5 6nnna a a? ? ? ? ?，求數(shù)列 ??na 的通項公式。 解：設 11 2 3 ( 2 )nnnna x y a x y?? ? ? ? ? ? ? ? ⑥ 將 1 3 5 2 4nnnaa? ? ? ? ?代入⑥式，得 13 5 2 4 2 3 ( 2 )n n na x y a x y?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 整理得 ( 5 2 ) 2 4 3 2 3nnx y x y? ? ? ? ? ? ?。 解：設 221 ( 1 ) ( 1 ) 2 ( )nna x n y n z a x n y n z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑧ 將 21 2 3 4 5nna a n n? ? ? ? ?代入⑧式，得 2 2 22 3 4 5 ( 1 ) ( 1 ) 2 ( )a n n x n y n z a x n y n z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，則 222 ( 3 ) ( 2 4) ( 5 ) 2 2 2 2nna x n x y n x y z a x n y n z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 等式兩邊消去 2na ，得 ( 3 ) ( 2 4 ) ( 5 ) 2 2 2x n x y n x y z x n y n z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 解方程組 322 4 252xxx y yx y z z????? ? ???? ? ? ??，則 31018xyz????????，代入⑧式，得 221 3 ( 1 ) 10 ( 1 ) 18 2( 3 10 18 )nna n n a n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑨ 由 21 3 1 1 0 1 1 8 1 3 1 3 2 0a ? ? ? ? ? ? ? ? ?及⑨式，得 23 10 18 0na n n? ? ? 則 2123 ( 1 ) 1 0 ( 1 ) 1 8 23 1 0 1 8n na n na n n? ? ? ? ? ? ?? ? ?，故數(shù)列 2{ 3 10 18 }na n n? ? ?為以21 3 1 10 1 18 1 31 32a ? ? ? ? ? ? ? ?為首項，以 2 為公比的等比數(shù)列，因此213 10 18 32 2 nna n n ?? ? ? ? ?，則 422 3 10 18nna n n?? ? ? ?。在 51 23nnnaa? ? ? ? 式兩邊取常用對數(shù)得 1lg 5 lg lg 3 lg 2nna a n? ? ? ? ⑩ 設 1l g ( 1 ) 5 ( l g )nna x n y a x n y? ? ? ? ? ? ? ○ 11 將⑩式代入 ○ 11 式，得 5 l g l g 3 l g 2 ( 1 ) 5 ( l g )nna n x n y a x n y? ? ? ? ? ? ? ?，兩邊消去5lgna 并整理，得 ( l g 3 ) l g 2 5 5x n x y x n y? ? ? ? ? ?，則 lg 3 5lg 2 5xxx y y???? ? ? ?? ，故lg 34lg 3 lg 216 4xy? ????? ???? 代入 ○ 11 式，得1 l g 3 l g 3 l g 2 l g 3 l g 3 l g 2l g ( 1 ) 5 ( l g )4 1 6 4 4 1 6 4nna n a n? ? ? ? ? ? ? ? ? ○12 由1 l g 3 l g 3 l g 2 l g 3 l g 3 l g 2l g 1 l g 7 1 04 1 6 4 4 1 6 4a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?及 ○12 式， 得 lg 3 lg 3 lg 2lg 04 1 6 4nan? ? ? ?， 則 1l g 3 l g 3 l g 2l g ( 1 )4 16 4 5l g 3 l g 3 l g 2lg 4 16 4nnanan? ? ? ? ? ?? ? ?， 所以數(shù)列 lg 3 lg 3 lg 2{l g }4 1 6 4nan? ? ?是以 lg 3 lg 3 lg 2lg 7 4 1 6 4???為首項，以 5 為公比的等比數(shù)列，則 1l g 3 l g 3 l g 2 l g 3 l g 3 l g 2l g ( l g 7 ) 54 1 6 4 4 1 6 4 nnan ?? ? ? ? ? ? ?，因此111111 1 116 164 4 4 4111 1 1116 164 4 4 4111 1 1116 164 4 4 45551 4l g 3 l g 3 l g 2 l g 3 l g 3 l g 2l g ( l g 7 ) 5