【正文】 3 1 3 2 0a ? ? ? ? ? ? ? ? ?及⑨式，得 23 10 18 0na n n? ? ? 則 2123 ( 1 ) 1 0 ( 1 ) 1 8 23 1 0 1 8n na n na n n? ? ? ? ? ? ?? ? ?，故數(shù)列 2{ 3 10 18 }na n n? ? ?為以21 3 1 10 1 18 1 31 32a ? ? ? ? ? ? ? ?為首項，以 2 為公比的等比數(shù)列，因此213 10 18 32 2 nna n n ?? ? ? ? ?，則 422 3 10 18nna n n?? ? ? ?。 解： （ 1） 33a13a5a 321 ??? ， （ 2） n1nnn1nn 2)1a(21a12a2a ???????? ?? 1n2 1a12 1a2 1a nn1n1nnn ????????? ?? ∴ 12)1n(a nn ??? 六 、待定系數(shù)法 例 10 已知數(shù)列 {}na 滿足 112 3 5 6nnna a a? ? ? ? ?，求數(shù)列 ??na 的通項公式。 解：因為 112( 1 ) 5 3nnna n a a? ? ? ? ?，所以 0na? ，則 1 2( 1)5nnna na? ??，故13 211 2 2 11 2 2 11 ( 1 ) ( 2 ) 2 1( 1 )1 2[ 2 ( 1 1 ) 5 ] [ 2 ( 2 1 ) 5 ] [ 2 ( 2 1 ) 5 ] [ 2 ( 1 1 ) 5 ] 32 [ ( 1 ) 3 2 ] 5 33 2 5 !nnnnnnnn n nnnna a a aaaa a a annnnn?????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 所以數(shù)列 {}na 的通項公式為 ( 1 )1 23 2 5 !.nnnnan??? ? ? ? 評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系 1 2( 1)5 nnna n a? ? ? ?轉(zhuǎn)化為 1 2( 1)5nnna na? ??，進而求出 13 211 2 2 1nna a a a aa a a a???? ? ? ? ?，即得數(shù)列 {}na 的通項公式。 當 a1=2時， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴ a1=2， ∴ an=5n－ 3新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 2．（ 2022年全國卷 I）設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項的和 14 1 223 3 3nnnSa ?? ? ? ?， 1,2,3,n? （Ⅰ）求首項 1a 與通項 na ； （Ⅱ）設(shè) 2nn nT S?， 1,2,3,n? ，證明：132n ii T? ?? 解：（ I） 21 1 14 1 223 3 3a S a? ? ? ? ?，解得： 1 2a? ? ?211 1 14 4 1 223 3 3 nnn n n n na S S a a ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ?11 2 4 2nnnnaa??? ? ? ? 所以數(shù)列 ? ?2nna ? 是公比為 4的等比數(shù)列 所以： ? ?1112 2 4nnnaa ?? ? ? ? 得： 42nnna ?? （其中 n為正整數(shù)） （ II） ? ? ? ? ? ?1 1 14 1 2 4 1 2 22 4 2 2 2 1 2 13 3 3 3 3 3 3n n n n n nnnSa ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 112 3 2 3 1 12 2 2 1 2 12 1 2 1nnn nnnnnT S ?? ??? ? ? ? ? ??????? ?? 所以： 111 3 1 1 32 2 1 2 1 2n i ni T ?? ??? ? ? ???????? 三 、累加法 例 3 已知數(shù)列 {}na 滿足 112 1 1nna a n a? ? ? ? ?，求數(shù)列 {}na 的通項公式。在解含絕對值的數(shù)列最值問題時 ,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。 2 若}{nk 成 （其中 Nkn? ）則 }{nka也為 。 nnnnn sssss 232 , ?? 成等比數(shù)列。 :適用于 ? ?nnba 其中 { na }是等差數(shù)列， ??nb 是各項不為 0 的等比數(shù)列。 例 4 已知數(shù)列 {}na 滿足 112 3 1 3nnna a a? ? ? ? ? ?，求數(shù)列 {}na 的通項公式。 所以， {}na 的通項公式為 !.2n na ? 評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 1 ( 1) ( 2)nna n a n? ? ? ?轉(zhuǎn)化為 1 1( 2)nna nna? ? ? ?，進而求出 1321 2 2nna a a aa a a???? ? ? ?，從而可得當 2 nna? 時 ， 的表達式，最后再求出數(shù)列 {}na 的通項公式。 例 11 已知數(shù)列 {}na 滿足 113 5 2 4 1nnna a a? ? ? ? ? ?，求數(shù)列 {}na 的通項公式。 解：因為 5112 3 7nnna a a? ? ? ? ?，所以 100nnaa???， 。 解：由1 228 ( 1 )( 2 1 ) ( 2 3 )nn naa nn? ??? ??及1 89a?，得 21 2232 2243 228 ( 1 1 ) 8 8 2 24( 2 1 1 ) ( 2 1 3 ) 9 9 25 258 ( 2 1 ) 24 8 3 48( 2 2 1 ) ( 2 2 3 ) 25 25 49 498 ( 3 1 ) 48 8 4 80( 2 3 1 ) ( 2 3 3 ) 49 49 81 81aaaaaa??? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ? 由此可猜測 22(2 1) 1(2 1)n na n??? ?，往下用數(shù)學歸納法證明這個結(jié)論。 附 ： 構(gòu)造輔助數(shù)列 1．構(gòu)造數(shù)列??????na1 ，使其為等差數(shù)列。 ? nnn aa 21 ??? ? ? ? ? ? ? ? 112211 aaaaaaaa nnnnn ???????? ??? ? 1222 21 ????? ?? ?nn 12??n ( 2?n ). 經(jīng)驗證， n=1 時適合上式， 12 ??? nna . 同理，當 1,2 ??? ?? 時，也得到 12 ?? nna . 綜上知 12 ?? nna . 一、 填空題：（本大題共 36 分，每小題 3 分） 已知 ??na 為等差數(shù)列，若 1,0 4361 ???? aaaa 且 )0( ?d ，則 ?na ________________. 已知等差數(shù)列 ??na 中， 18154 18,10 Saa 項和則此數(shù)列前?? =_______________. 已知 ??? xxxx 則項是一個等比數(shù)列的前三 ,33,22, _______________. 等比數(shù)列 ??na 中， ?????? 53645342 ,252,0 aaaaaaaaa n 則且 ______________. 數(shù)列 項和為的前 n?8114,2713,912,311 ____________________. 已知無窮等比數(shù)列 ??na 的前 n項和 則此無窮等比數(shù)是常數(shù)且 ,)(,31 * aNnaSnn ??? 列前 n 項和為 _______________.（用數(shù)值回答） 若無窮等比數(shù)列 ??na 的各項和等于 21a ，則 的取值范圍是1a ________________. 用數(shù)學歸納法證明： 整除時）能被 31(,2221 *1n52 Nn ?????? ，當 n=1 時，代數(shù) 式的值為 ______________. 在等差數(shù)列 ??na 中，滿足 ? ? 項和的前是數(shù)列且 naSaaa nn,0,73 174 ?? ，若 ??nS 有 最大值，則 n 的值為 _____________. 已知數(shù)列 ??na 中， ??? ? nnn aaaa ，則且 311 ,10 ____________________. 1 已知數(shù)列 ??na 中滿足：???????? ?)(,13)(,2),(,11 為奇數(shù)時當為偶數(shù)時當為正整數(shù)nnnnn aaaaamma 若 ._______________ _,74 所有可能的取值是則 ma ? 1 已知 ??na 是首相不為 0 的等差數(shù)列，若 ._______ __,2 ?kknSSnn 則無關(guān)的常數(shù)是與 二、選擇題：（本大題共 12 分，每小題 3 分） 1已知數(shù)列 ??na 滿足 ?????? ? 20*11 )(,13 3,0 aNnaaaa nnn ，則（ ） A、 0 B、 3? C、 3 D、 23 第 1 頁 共 4 頁 1 的值等于93211 aaaa ?????? ( ) A、 aa??11 10 B、 aa??11 9 C、 aa??11 8 D、以上答案都不對 1已知等比數(shù)列 ??na 的各項均為正數(shù)，公比 1?q ，設(shè)7593 ,2 aaQaap ???，則 P 與 Q 的大小關(guān)系是（ ） A、 PQ B、 p? Q C、 pQ D、 P? Q 1等比數(shù)列 ??na 中， 項之積：表示它的前用公比 nqan???? ,21,5121 ，中最大的是，則 ?????