[理學(xué)]高等代數(shù)基礎(chǔ)習(xí)題答案-在線瀏覽
2025-02-26 01:19本頁面
【正文】 banQ ??? 對(duì)加法減法乘法除法封閉 .即 },{)( QbanbanQ ??? 是數(shù)域 . 2． 證明 因?yàn)??32 },2{ 3 Qbaba ?? , ??? 333 422 },2{ 3 Qbaba ?? . 即 },2{ 3 Qbaba ?? 對(duì)乘法不封閉 .所以 },2{ 3 Qbaba ?? 不是數(shù)域 . 3． 證明 由于任意數(shù)域都包含有理數(shù) , 故 21,PP 也包含有理數(shù)域 , 從而 21 PP?包 含 有 理 數(shù) 域 . 令 21, PPba ?? , 則 1, Pba ? , 2, Pba ? . 由于 21,PP 是數(shù)域 , 故1, Pabba ?? , 2, Pabba ?? 。第一章 多項(xiàng)式 167。 1 數(shù)域 一 填空題 1．加法、 減法、 乘法； 、乘法 ； 、減法、乘法 . 二 判斷題 1. ( T)； 2. ( F) 三、解答題 1 ． 證明 顯然 nQ?1,0 . 對(duì) 任 意 的 )(, 2211 nQnbanba ??? , )()( 2211 nbanba ??? = )(1 aa? + nbb )( 21? )( nQ? 。當(dāng) 0?b 時(shí) , 21, PbaPba ?? , 所以 21, PPbaabba ??? . 即21 PP? 是數(shù)域 . 例如 : 取 1P = },2{)2( QbabaQ ??? , ?2P },3{)3( QbabaQ ??? , 容易驗(yàn)證 21 PP? 不一定是數(shù)域 。 2 一元多項(xiàng)式 一 填空題 1． 11 1 0nnnna x a x a x a??? ? ? ?， iixa ， ia ， 0a ； 2.（ i），（ iii）（ v） ；3. 0，非零常數(shù) ； 4.??? ?11ki ikiba . 二 判斷題 1． (F)； 2. (F).。 (ii)當(dāng) 0??? cba 時(shí) )(xf 為零多項(xiàng)式 。 3 整除的概念 一 填空題 1． )(),( xhxg ， )(xf ， )(),( xhxg ， )(xf ， )(xf ， )(),( xhxg ，)()(),()( xfxhxfxg ， )(xg ， )(xf ； 2. )(xq ， )(xr . 二 判斷題 1.(F)； 2. (T)； 3. (F)。 5.(F) 三 解答題 1．解 利用帶余除法得 )2()1)(()( ????? baxxxgxf ，所以 12)2( ??? xbax ，即3,2 ?? ba . 2．證明 ))()(()() ) ,()(()( 2121 xfxfxgxfxfxg ?? , 利用整除性的性質(zhì)，我們有))}()((21)))()(((21{)( 2121 xfxfxfxfxg ??? ，即 )()(,)()(21 xfxgxfxg . 3．證明 若 )()( xgxfx , x 不整除 )(xf 與 )(xg 則存在常數(shù) 0,0 21 ?? rr ,使2211 )()(,)()( rxxqxgrxxqxf ???? , 所以 ?? )()(()()( 21 xqxxqxxgxf 2112 ))( rrxqr ? , 由于 )()( xgxfx , 所以 21rrx ,得出矛盾 .即 x 不能整除 )()( xgxf 證明 由于三次單位根21,?? 都是 23133 ?? ?? pnm xxx 的根，即 12 ??xx 的根都是 23133 ?? ?? pnm xxx 的根 .從而 pnmxxxxx pnm ,1 231332 ?? ???? . 4. 證明 因?yàn)?2 121 ( ) ( ) ,x x x x??? ? ? ? ?其中 1,2)i i? ? 是三次單位虛根 , 而3 3 1 3 2 0m n pi i i? ? ???? ? ?,即 3 3 1 3 2 ( 1 , 2 )m n pix x x x i? ??? ? ? ?,再利用 12,xx????互素得到 3 3 1 3 212( ) ( ) m n px x x x x?? ??? ? ? ?, 即 2 3 3 1 3 21 m n px x x x x??? ? ? ? 5． 證 明 ① 如 果 )()()( xgxfxh ? , 因?yàn)? )()( xfxh , 由 整 除 性 性 質(zhì) 得 : )()()(()( xfxgxfxh ?? ,即 )()( xgxh ,與 )()( xgxh ? 矛盾 , 所以 )()()( xgxfxh ?? . 167。3. 多項(xiàng)式 ()cfx c 為零次多項(xiàng)式 。 5. 1,1 ?? xx 。. 二、 解答題 :通過輾轉(zhuǎn)相除法求得 1))(),(( ?xgxf , 973697339718)(,9711976)( 2 ?????
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