【正文】 （ 8） ln ta n c o s ln ta n2xy x x?? （ 9） 2(arcsin )2xy ? （ 10） 2ar ctan (tan )yx? 解：（ 1） 3339。 sin( 4 3 ) ( 3 ) ( 2 ) sin 3 sin( 4 3 ) 2 siny x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? (3) 2 2 23 3 339。 ( ) ( 2 )2 xy a x x ax?? ? ? ? ? ? (5) 2 2 3 3 21 1 2 4 239。 2 l n ( l n ) 3 l nl n ( l n ) l n l n l n ( l n )xxy x xx x x x x x? ? ? ? ? (7) 2239。 se c ( ) ( si n l n t a n c os )2 2 t a nt a n 2xxy x x xxx? ? ? ? 2 cs c s in ln tanx x x?? （ 9）222 a r c sin11 239。xy ?? （ 4） ()()x f xy f e e? （ 5） (cos )nfx （ 6） cos [ ( )]n fx 解：（ 1） 39。( 2 1 ) ( 2 1 ) 39。( 2 1 )xy f x x f x? ? ? ? ? （ 2） 2 2 2 239。( ) )y x f x f x x f x?? （ 3） 2239。( si n ) 2 c os si n 39。( sin ) 39。xy ??22 11s in ( 39。( c o s ) ) 39。( ) 02 4 4 2 2f f f f? ? ?? ? ? ? ? 6. 討論分段函數(shù) 1 c o s 0()l n (1 ) c o s 0xxfx x x x x???? ? ? ? ??的可導性 . 解： 0x? 時， 39。 0x? 時， 139。 0 0 0 0( ) ( 0 ) l n ( 1 ) c o s l n ( 1 )39。( 0 ) l im l im 2xxf x f xf xx??? ????? ? ?， 39。(0)ff??? 。綜合上述 sin 039。 ( ) 39。 ( s in ) s in l n s ins inx x x x x xy e e x x x x x x??? ? ? ? ????? （ 2） ? ?l n l n39。 ( l n )x x x xe x e x x e x ey e e e x x e x x?? ? ? ? 8. 求下列函數(shù)的導數(shù) （ 1） 22( 1)xy e x x?? ? ? （ 2） sin cosny x nx? （ 3） 1 sin 21 sin 2xy x?? ? （ 4） 2sec 2xy? （ 5） 2cos 2xye?? （ 6） 3y x x?? （ 7） 2a rc c o s 42xy x x? ? ? （ 8）2arccos 1 xy x? ? 解：（ 1） 2 2 2 2 239。 si n c os si n si nnny n x nx n x nx??? （ 3） 11l n l n (1 s in 2 ) l n (1 s in 2 )22y x x? ? ? ? 239。 s in 2 1 1 s in 2xxy ?? ?? （ 4） 239。 ( c o s ) 39。 ( ) ( ) ( 1 )3 2 6 ( )xy x x x xx x x x???? ?? ? ? ? ? ????? ? （ 7）2 2 21 2 339。1 ( 1 )( 1 )1( 1 )x x x xyxxx x xx? ? ? ???? ? ? ??????? ??? ? 2 2 2222 2 21 1 1(1 )1 2 (1 ) 1 2x x xxx x x? ? ?? ? ??? ? ? 習題 2— 3 1. 求下列函數(shù)的二階導數(shù)： （ 1） 13 ?? xey ； （ 2） xy cot? ； （ 3） 2222 )l n( axaxxxy ????? ； （ 4） 12 ?? xy ； （ 5） xxy cos? ； （ 6） 2xxey? . 解：（ 1） 13339。39。 ?? ， xxy cotcsc239。 2? （ 3） )l n (1)l n (39。39。 2 ?? xxy，1)1(111139。222222?????????xxxxxxy （ 5） xxxy sincos39。39。 xx exey ?? ， )23(244239。 23 2222 xxeexxexey xxxx ????? 2. 求下列函數(shù)在指定點的二階導數(shù)： （ 1） 16)( 2 ?? xxxf ，求 )5(f? ； （ 2） 2)ln(cos xy ? ，求 exy ?? . 解：（ 1） 22222339。39。39。 2 c o s l n s in l n xy x xxx? ? ? ? 22 c o s 2 ln si n 2 ln39。 xxy x ??? 222 c o s 2 l n s in 2 l n s in 2 2 c o s 2xe eey ? ???? ? ? ? 3. 驗證函數(shù) sinxy e x? 滿足關系式 2 2 0y y y?? ?? ? ?. 解： 39。39。, 39。y y y 代入得 2 2 0y y y?? ?? ? ?，即函數(shù) sinxy e x? 滿足關系式 2 2 0y y y?? ?? ? ?. 4. 3 xy xe? ，求 (5)(0)y . 解： 因為 3 3 ( 4 )( ) 6 , ( ) 0xx??? ??，運用萊布尼茨公式得 ( 5 ) ( 5 ) 3 ( 4 ) 3 35 4 3( ) 5 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3x x xy e x e x e x??? ?? ???? ? ? ??32( 15 60 60) xx x x e? ? ? ? 14 (5) (0) 60y??. 5. 設 xxy 2sin2? ，求 ? ?10y . 解： ( 10 ) 0 2 ( 10 ) 1 ( 9 ) 2 ( 8 )10 10 10( sin ) 2 ( sin ) 2( sin )y C x x C x x C x? ? ? 2 1 0 9 8s in ( ) 2 0 s in ( ) 9 0 s in ( )2 2 2x x x x x? ? ?? ? ? ? ? ? 2 si n 20 c os 90 si nx x x x x? ? ? ? n 階導數(shù)： （ 1） xxey? ； （ 2） xy 2sin? ； （ 3） xxf ?? 1 1ln)( ，求 )0()(nf ； （ 4） 2312 ??? xxy. 解：（ 1） ( ) ( ) ( ) 1 ( 1 )( ) ( ) ( ) ( ) 39。 sin2yx? ， 39。 2 cos 2 , ,yx? ??? ( ) 1 ( 1 )2 s in 22nn nyx ?? ????????? （ 3） 1( ) ln ln (1 )1f x xx? ? ? ?? ， 139。39。39。( ) , , ( )(1 ) (1 )n nf x f xxx ?? ??? ???，則 ()(0) ( 1)!nfn?? （ 4） 習題 24 ddyx ： （ 1） 2 2 2 ()x x y y a a? ? ? ??? 為常數(shù)； （ 2） 2 2 23 3 3 ()x y a a? ? ??? 為常數(shù)； （ 3） cos( )y x y??； 15 （ 4） 1 ln( ) yy x y e? ? ? ?； （ 5） 22a rc ta n lny xyx ??． 解：（ 1）方程兩邊對 x 求導得： 2 39。 0x y x y y y? ? ? ? 解得： 239。033x y y????，解得：339。 si n( )(1 39。1 sin ( )xyy xy??? ?? （ 4）方程兩邊對 x 求導得： 139。39。()yy x x y e? ?? （ 5）方程兩邊對 x 求導得：2 2 2 221 39。2( )1y x y x y yy x x yx????? 解得： 39。 1 1 1 2 ( 1 ) 1x x xy x x x x x x x x????? ? ? ???? ? ? ? ? ? ??? （ 2） 2ln ln( 1 )y n x x? ? ?,等號兩邊分別對 x 求導： 222139。,1 nn x xy x??? ? （ 3） ln(1 )ln xy x?? ??等號兩邊分別對 x 求導： 22l n( 1 )39。 (1 )(1 ) xx x xyxxx?? ? ???? （ 4） ln tan lny x x??，等號兩邊分別對 x 求導： 239。 s e c ln xxy x x xx??? ? ????? （ 5） ln sin lny x a? ，等號兩邊分別 對 x 求導： 39。 cos lnxy a x a? 求由下列方程所確定的隱函數(shù)的二階導數(shù) y? ： （ 1） 0sin21 ??? yyx ； （ 2） yxey ??1 ； （ 3） )tan( yxy ?? ； （ 4） 122 ??yx . 解： （ 1）方程兩邊對 x 求導： 11 39。 02y yy? ? ?，即 239。sin39。 (2 cos )yyy y?? ?，即34 sin39。 (2 cos )yy y?? ?， 17 （ 2） 方程兩邊對 x 求導： 39。yyy e xe y?? ，即 39。( 2 ) 39。39。 （ 4） 應用隱函數(shù)的求導方法，得 2 2 39。 xyy?， 對此式再對 x 求導 2339。39。xty ty???? ? ? ??， 求 22 0dd tyx ? （ 2）??? ?? ?? .arctan)1ln( 2 tty tx ， 求 22ddyx 解： （ 1） 23 3 3 0d y d yy y td t d t? ? ?，2y yt y t?? ? 由方程 3 3 1 0y ty? ? ? 得， t=0 時， y= 1? ,20 0 1t td y yd t y t? ?? ? ?? 2dd ddd 2( )dyyytxx y tt? ? ? ?， 222 2 2d dd d [ 2( ) ] 2 [ 2 1 ]d dd dddd d 8 ( )y y dy dyy t y yy xx x dt dtttx x y t?? ?? ? ? ??? ???? ??? ? ? ? ? 22 0dd tyx ?=2220[ 2( ) ] 2 [ 2 1 ]8 ( )tdy dyy t y ydt dtyt?? ? ?? ?=0 （ 2） 22d11d d1d2d2d1yytttxtxtt? ?? ? ??， 2222d d 1d dd1dd d 22ddd d 41y yytxx xtttx x tt?? ???? ????? ??? ? ? ?? 6．設 33c os , si nx a t y a t??． （ 1）求 39。( ) ta nd 3 c o s sindya t tty x tx att? ? ? ?? （ 2）過曲線上一任點（ x, y）的切線方程為 33sin ta n ( c o s )y a t t x a t? ? ? ?，則該切線在兩坐標軸的截距分別為： 002200s in , c o s , y a t x a tx y a????于 是 坐 標 軸 所