【正文】 證明 常數(shù) C 作為隨機(jī)變量，它只可能取一個(gè)值 C，即 P{X=C}=1，所以 E（ C） =CE（ X）。 ∴ 有 E（ CX+b） =CEX+b 13 性質(zhì) 43 隨機(jī)變量和的期望等于隨機(jī)變量期望之和，即 E（ X+Y） =E（ X） +E（ Y）。 這一性質(zhì)可作如下推廣： E（ C1X+C2Y） =C1E（ X） +C2E（ Y），其中 C1， C2 為常數(shù)。 一般地，設(shè) X1， X2， …,X n 為 n 個(gè)隨機(jī)變量，則有 E（ X1+X2+…+X n） = EX1+ EX2+…+ EX n E（ C1X1+C2X2+…+C nXn） =C1EX1+C2EX2+…+ C nEXn 性質(zhì) 44 兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量乘積的期望等于期望的乘積，即若 X， Y 是 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則 E（ XY） =E（ X） E（ Y）。 【例 412】設(shè) Xi（ i=1,2,… ）服從 01 分布 其中 0p1,q=1p,且 X1,X2,…, X n 相互獨(dú)立。 【答疑編號(hào)： 10040110 針對(duì)該題提問(wèn)】 解法 1 由二項(xiàng)分布的定義知， X 服從二項(xiàng)分布，因此， E（ X） =np 解法 2 因?yàn)?E（ Xi） =p， X=X1+X2+…+X n,由期望性質(zhì)知 E（ X） =E（ X1） +E（ X2） +…+E （ Xn） =np。 例 413 某人射擊目標(biāo)的命中率 他向目標(biāo)射擊 3 槍?zhuān)瑩糁?0 槍得 0分，擊中一槍得 20 分，擊中二槍得 60 分，擊中三槍得 100 分。 【答疑編號(hào)： 10040111 針對(duì)該題提問(wèn)】 解 用 X 表示該人擊中槍數(shù)， Y 表示得分?jǐn)?shù) 14 ∴ 該人平均得分 分。例如，在投資決策中，我們選擇某一項(xiàng)目或購(gòu)買(mǎi)某種資產(chǎn)（如股票、債券等），我們不僅關(guān)心其未來(lái)的收益水平，還關(guān)心其未來(lái)收益的不確定程度，前者通常用期望來(lái)度量，后者常稱(chēng)為風(fēng)險(xiǎn)程度。粗略地講，方差反映了隨機(jī)變量偏離其中心 期望的平均偏離程度。這樣用 E(Y)不足以描述 X 取值的分散程度。 定義 43 設(shè)隨機(jī)變量 的期望存在，則稱(chēng) 為隨機(jī)變量 X 的方差， 記作 D(X),即 D(X)＝ 稱(chēng) 為 X 的標(biāo)準(zhǔn)差（或均方差）。 15 由方 差定義可知，當(dāng)隨機(jī)變量的取值相對(duì)集中在期望附近時(shí)，方差較?。蝗≈迪鄬?duì)分散時(shí)，方差較大，并且總有 . 若 X 為離散型隨機(jī)變量，其分布律為 則 （ ） 若 X 為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為 f(x),則 （ ） 【例 414】設(shè)兩批纖維的長(zhǎng)度分別為隨機(jī)變量 其分布律為 求： 【答疑編號(hào)： 10040201 針對(duì)該題提問(wèn)】 解 . 【例 415】已知隨機(jī)變量 X 的概率密度為 求： . 【答疑編號(hào)： 10040202 針對(duì)該題提問(wèn)】 解 ＝ 在計(jì)算方差時(shí)，用下面的公式有時(shí)更為簡(jiǎn)便； 16 即 X 的方差等于 的期望減去 X 的期望的平方。 因?yàn)? () 由于 E(X)是一個(gè)常數(shù)，有 當(dāng) X 是離散型隨機(jī)變量時(shí)， () 當(dāng) X是連續(xù)型隨面變量時(shí)， () 【例 416】 設(shè)隨機(jī)變量的期望 E(X)=2,方差 D(X)=4， 求： . 【答疑編號(hào)： 10040203 針對(duì)該題提問(wèn) 】 解 由式（ ） ，及已知 E(X)=2,D(X)=4,得 【例 417】設(shè) X 的概率密度為 求： DX. 【答疑編號(hào)： 10040204 針對(duì)該題提問(wèn)】 解：（ 1） （ 2） . 常見(jiàn)隨機(jī)變量的方差 分布 設(shè) X 的分布律為 17 其中 0＜ P＜ 1,則 X 的方差 D(X)=P(1P). 因?yàn)? 而 故 （ 2）二項(xiàng)分布 設(shè) X～ B(n,p) 則有 (不證 ) （ 3）泊松分布 設(shè) X～ P( ),則有 (不證 ) （ 4）均勻分布 設(shè) X～ U(a,b),則有 （ 5）指數(shù)分布 設(shè) 18 (6)正態(tài)分布 可以證明，若 下表是六種常見(jiàn)分布的期望和方差的結(jié)果。 【例 418】 若 X～ U(a,b)且 EX＝ 3， 求： a,b 及 X 的概率密度 f(x) 【答疑編號(hào)： 10040205 針對(duì)該題提問(wèn)】 解： 【例 419】已知隨機(jī)變量 X服從二項(xiàng)分布，且 E(X)=， D(X)=，求二項(xiàng)分布的參數(shù) n， p。 【答疑編號(hào)： 10040210 針對(duì)該題提問(wèn)】 解：（ 1） （ 2） 22 【例 424】設(shè)隨機(jī)變量 X， Y 相互獨(dú)立， X 與 Y 的方差分別為 4 和 2。 協(xié)方差 定義 44 設(shè)有二維隨機(jī)變量（ X， Y），且 E（ X）， E（ Y）存在，如果 存在， 則稱(chēng)此值為 X 與 Y的協(xié)方差，記 ，即 定義 （ ） 當(dāng)（ X， Y）為二維離散型隨機(jī)變量時(shí)，其分布律為 則 （ ） 當(dāng)（ X， Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)， 為（ X,Y)的概率密度 （ ） 協(xié)方差有下列計(jì)算公式： （ ） 證明 此公式是計(jì)算協(xié)方差的重要公式，特別地取 X=Y 時(shí)，有 【例 425】設(shè)（ X， Y）的密度函數(shù)為 23 求 【答疑編號(hào)： 10040301 針對(duì)該題提問(wèn)】 解 由 則 【例 426】設(shè)（ X， Y）服從在 D 上的均勻分布，其中 D 由 x軸、 y軸及 x+y=1 所圍成，求 X 與 Y 的 協(xié)方差 【答疑編號(hào)： 10040302 針對(duì)該題提問(wèn)】 解： ∵ D 的面積 ∴ 24 協(xié)方差具有下列性質(zhì)： （ 1） （ 2） ，其中 a,b 為任意常數(shù)。 （４）若 X， Y 相互獨(dú)立，則 證明 若Ｘ，Ｙ相互獨(dú)立，則有 反過(guò)來(lái)，若 ，則 X， Y 一定不相互獨(dú)立。 【答疑編號(hào)： 10040303 針對(duì)該題提問(wèn)】 解 由 ，知 X， Y 一定不相互獨(dú)立。 各問(wèn)： （ 1）（ 1） 時(shí)，說(shuō) X， Y 不相關(guān) （ 2） 時(shí)，說(shuō) X， Y 完全相關(guān) 且 （不證 ) 定理：若 X， Y 獨(dú)立，則 X， Y 不相關(guān) 證： X， Y 獨(dú)立，則有 E（ XY） =E（ X） E（ Y） ∴ ∴ 本定理說(shuō)明 X， Y獨(dú)立是 X， Y 不相關(guān)的充分條件，反之不一定成立，在例 28中，（ X，Y）不相關(guān)，但（ X， Y）并不獨(dú)立。 【例 429】設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的概率密度為 求：（ 1） E（ X）， E（ Y）；（ 2） D（ X）， D（ Y） ；（ 3） Cov（ X， Y）， 【答疑編號(hào)： 10040305 針對(duì)該題提問(wèn)】 解：這是一道綜合題，要熟練掌握解題的全過(guò)程，本題可以先求出邊緣概率密度，再求 27 期望和方差，也可以直接由聯(lián)合分布求期望和方差。 解法 1 （ 1） 當(dāng) 時(shí) 當(dāng) 時(shí)， ∴ 當(dāng) 時(shí) 當(dāng) ， 28 （ 2） （ 3） 解法 2 ∵ （ 1 ） （ 2 ） （ 3） （ 4） 29 （ 5） （ 6） （ 7） 所以， 【例 430】證明 D（ X+Y） =D（ X） +D（ Y） +2Cov（ X， Y） . 【答疑編號(hào)： 10040306 針對(duì)該題提問(wèn)】 證明 【例 431】 已知 求 【答疑編號(hào)： 10040307 針對(duì)該題提問(wèn)】 解： 性質(zhì) 若（ X， Y）～ N 則（ X， Y）的相關(guān)系數(shù)為 ，且有 30 X 與 Y 獨(dú)立 （不證） 矩、協(xié)方差矩陣 數(shù)學(xué)期望和方差可以納入到一個(gè)更一般的概念范疇之中，那就是隨機(jī)變量的矩。 （ 1）離散型： （ 2）連續(xù)型： （ 3） （ 4） 31 期望的性質(zhì)： （ 1） E C=C （ 2） E（ kX） =kEX （ 3） E（ X177。EY （ 4） X,Y 獨(dú)立時(shí)， E（ XY）＝（ EX）（ EY） （二）知道方差的概念和計(jì)算公式以及方差的性質(zhì) ∴ X 是離散型隨機(jī)變量時(shí) X 是連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí) （ 2）計(jì)算公式 （ 3）性質(zhì) ① DC＝ 0 ② ③ D（ X177。2E[(XEX)(YEY)] =DX+DY177。Y)=DX+DY Cov(X,Y)=E[(XEX)(YEY)] 計(jì)算公式 Cov(X,Y)=E(XY)－ (EX)(EY) 相關(guān)系數(shù) 定理 X， Y 獨(dú)立 X， Y 不相關(guān)（ ） 特別情形 X， Y 正態(tài)，則有 X， Y 獨(dú)立 X， Y 不相關(guān) 本章作業(yè) 教材 95～ 96 頁(yè) 1（ 1）（ 2）， 2， 3， 4， 5， 6， ， 7， 104～ 105 頁(yè) 1， 2， 3 提示： X～ E(2),Y～ U(0, ), ， 5， 32 112～ 113 頁(yè) 1， 2， 3， ， 5， 6 113～ 115 頁(yè) 自我測(cè)驗(yàn)題 4 全部 第二章 大數(shù)定律及中心極限定理 概率統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，而隨 機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律只有在對(duì)大量隨機(jī)現(xiàn)象的考察中才能顯現(xiàn)出來(lái)。極限定理的內(nèi)容非常廣泛，本章中主要介紹大數(shù)定律與中心極限定理。下面我們研究隨機(jī)變量的離差與方差之間的關(guān)系式。 【答疑編號(hào)： 10050101 針對(duì)該題提問(wèn)】 解 X 的分布律為 所以 33 當(dāng) ε=2時(shí)， 當(dāng) ε=， 可見(jiàn)，切比雪夫不等式成立。試用切比雪夫不等式估計(jì)夜晚同時(shí)開(kāi)著的燈數(shù)在 6 800～ 7 200的概率。于是有 E（ X） =np=10 000=7 000, D（ X） =npq=10 000=2100, P{6 800X7 200}=P{|X7000|200}≥1 可見(jiàn)，雖然 有 10 000盞燈，但是只要有供應(yīng) 7 000盞燈的電力就能夠以相當(dāng)大的概率保證夠用。 大數(shù)定律 在第一章中曾經(jīng)提到過(guò)，事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即隨著試驗(yàn)次數(shù)增多，事件發(fā)生的頻率將逐漸穩(wěn)定于一個(gè)確定的常數(shù)值附近。大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表示證明了在一定的條件下，大量重復(fù)出現(xiàn)的 隨機(jī)現(xiàn)象呈現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，即頻率的穩(wěn)定性與平均結(jié)果的穩(wěn)定性。 34 獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的切比雪夫大數(shù)定律 先介紹獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的概念。此時(shí)，若所有的 Xi又具有相同的分布，則稱(chēng)