【正文】 知， 當(dāng) 時(shí)， X的分布函數(shù) ； 當(dāng) 時(shí)， X的分布函數(shù) ； 因此， X的分布函數(shù) 為： 。 解法二：利用分布函數(shù)求概率。 解法二：直接變換法。 根據(jù)密度函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系 所以， 。問(wèn)小店應(yīng)組織多少貨源，才能使平均收益最大？ 解析：本題考核均勻分布的概念、隨機(jī)變量函數(shù)的期望及銷售收益的計(jì)算方法。 例 X（單位：分鐘）服從參數(shù)為 的指數(shù)分布， （ 1）求某司機(jī)在此收費(fèi)站等候時(shí)間超過(guò) 10分鐘的概率 P； （ 2）若該司機(jī)一個(gè)月要經(jīng)過(guò)此收費(fèi)站兩次，用 Y表示等候時(shí)間超過(guò) 10分鐘的次數(shù)，寫(xiě)出 Y的分布律，并求 。 解：由已知司機(jī)通過(guò)某高速公路收費(fèi)站等候的時(shí)間 ，則概率密度 （ 1）司機(jī)等候時(shí)間超過(guò) 10分鐘的概率 （ 2）由已知， Y的可能取值為 0， 1， 2，且 ，則 所以， Y的分布律為 且 。 二、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù) 1. 分布函數(shù)的定義 ：設(shè)（ X, Y）是二維隨機(jī)向量，對(duì)于任意實(shí)數(shù) x， y，稱二元函數(shù) 為二維隨機(jī)變量（ X, Y）的聯(lián)合分布函數(shù)，或分布函數(shù)。 ：設(shè)（ X, Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 ，稱 為二維隨機(jī)變量（ X, Y）的 邊緣分布函數(shù)。 （ 2）分布律：二維隨機(jī)變量（ X， Y）所有可能取值為 ， ? ，則稱 為（ X， Y）的分布律，也可寫(xiě)成數(shù)表 ? ? ? （ 3） 有如下性質(zhì)： i） ； ii） 。 （ 5）求分量 X， Y的數(shù)學(xué)期望： （ 1）定義：設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的分布函數(shù) ，存在非負(fù)函數(shù) ，使對(duì)任意實(shí)數(shù) x， y有 則稱（ X， Y）為連續(xù)型二維隨機(jī)向量， 為聯(lián)合密度函數(shù)。 （ 3）邊緣密度函數(shù)：設(shè)（ X， Y）的密度函數(shù)為 ，則 ， 分別稱為 X與 Y的邊緣密度函數(shù)。 （ 2）二隨機(jī)變量相互獨(dú)立的等價(jià)關(guān)系： 隨機(jī)變量 X和 Y相互獨(dú)立 （ 3）二維離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性：設(shè)（ X， Y）為離散型隨機(jī)變量，其分布律為 ， 邊緣分布律為 則 X與 Y是相互獨(dú)立的充要條件是，對(duì)一切 （ 4）設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（ X， Y）的概率密度函數(shù)為 分別是 X和 Y的邊緣概率密度，則 X和 Y相互獨(dú)立的充要條件是等式 （ 1）兩個(gè)離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 問(wèn)題提法：已知二維隨機(jī)變量（ X， Y）的分布律，求隨機(jī)變量函數(shù) 的分布律。 （ 2）兩個(gè)相互獨(dú)立連續(xù)隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布 ① 兩個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量的概率分布 一般問(wèn)題：已知兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 X， Y的概率密度 ，求二維隨機(jī)變量（ X， Y）的概率密度 。 ② 兩個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量和的概率密度： 問(wèn)題：已知兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 X， Y的概率密度 ，或二維隨機(jī)變量（ X， Y）的概率密度 ，求 的 概率密度。 ② 正態(tài)分布具有可加性：設(shè) X， Y相互獨(dú)立，且 ，則 。 （ 1）數(shù)學(xué)期望：設(shè) 為連續(xù)函數(shù)，對(duì)于二維隨機(jī)變量（ X， Y）的函數(shù) 離散型：若（ X， Y）為離散型隨機(jī)變量，級(jí)數(shù) 收斂， 則 ； 連續(xù)型：若（ X， Y）為連續(xù)型隨機(jī)變量，積分 收斂，則 。 （ 3）協(xié)方差 A）定義：稱 為隨機(jī)變量 X與 Y的協(xié)方差。 B）協(xié)方差的計(jì)算 ① 離散型二維隨機(jī)變量： ； ② 連續(xù)性二維隨機(jī)變量： ； ③ 協(xié)方差計(jì)算公式： ； ④ 特例： 。 B）重要性質(zhì) ① ； ② 存在常數(shù) ，使 ； ③ 不相關(guān)定義：若相關(guān)系數(shù) 時(shí)，稱 X與 Y不相關(guān)； C）相關(guān)系數(shù)的意義：當(dāng) 時(shí)，稱 X與 Y正線性相關(guān)，當(dāng) 時(shí)，稱 X與 Y負(fù)線性相關(guān)；當(dāng)時(shí)，稱 X與 Y完全正線性相關(guān)，當(dāng) 時(shí)，稱 X與 Y完全負(fù)線性相關(guān)。 解：（ 1）由二維離散型隨機(jī)變量（ X， Y）的分布律的性質(zhì)，有 ① 又分量 Y的邊緣分布律為 由 得 ② ① ， ② 聯(lián)立，解得 。 （ 3）由（ X， Y）的聯(lián)合分布律知，分量 X的分布律為 所以 。 （ 2）求（ X， Y）分別關(guān)于 X， Y的邊緣密度 （ 3）判定 X與 Y的獨(dú)立性，并說(shuō)明理由； （ 4）求 解析：本題考察二維連續(xù)型隨機(jī)變量（ X， Y）的概率密度性質(zhì)、關(guān)于 X， Y的邊緣密度 ， 的求法、分量 X與 Y的獨(dú)立性以及用 聯(lián)合概率密度求概率的方法。 （ 2）由（ 1） ， 又由二維連續(xù)型隨機(jī)變量邊緣密度的定義，有 當(dāng) 時(shí)， ，所以 由 x與 y的對(duì)稱性，類似可得 。 （ 4） 例 4. 若隨機(jī)變量 X， Y滿足 ,則正確的是 A. B. C. D. 答案： B 解析：本題考察方差性質(zhì)： 。（因?yàn)?） 解析：本題考核二維離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)的概念和性質(zhì)。 例 6. 設(shè)（ X， Y）服從在區(qū)域 D上的均勻分布，其中 D為 x軸、 y軸及 x+y=1所圍成，求 X與 Y的協(xié)方差 Cov（ X,Y）。 解：可以求出區(qū)域 D的面積為 ，所以服從均勻分布的二維隨機(jī)變量的概率密度為 ， 又 所以 例 7. 已知隨機(jī)變量 X， Y的相關(guān)系數(shù)為 ，若 U=aX+b, V=cY+d, 其中 ac0. 試求 U， V的相關(guān)系數(shù) 。 解：根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義有 ， 又由方差的性質(zhì)有 再由協(xié)方差的性質(zhì)有 由已知， b， c， d為常數(shù)， Y為隨機(jī)變量，則應(yīng)用協(xié)方差的計(jì)算公式有 所以 ， 其中， ，計(jì)算同上。 拓展：本題 U與 X， V與 Y均為正線性相關(guān)或負(fù)線性相關(guān)（即表示為斜率同為正或同為負(fù)的一次函數(shù)），得到 ，即兩對(duì)隨機(jī)變量之間的相互關(guān)系程度是相同的。 答案： 0 專題四 大數(shù)定律及中心極限定理 近幾年試題的考點(diǎn)分布和分?jǐn)?shù)分布 最低分?jǐn)?shù)分布 最高分?jǐn)?shù)分布 平均分?jǐn)?shù)分布 切比雪夫 不等式 2 大數(shù)定律 中心極限 定理 2 合計(jì) 0/100 4/100 1/100 一、切比雪夫不等式 ：隨機(jī)變量 ，則對(duì)任意給定的 ，總有 。 （ 3）棣莫佛 ―― 拉普拉斯中心極限定理 設(shè)隨機(jī)變量 是 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù)， P是事件 A發(fā)生的 A發(fā)生的的概率，則對(duì)任意實(shí)數(shù) x III. 典型例題 例 1 設(shè)隨機(jī)變量 X的方差 DX存在，且 A. B. C. D. 答案： C 例 ， ? 獨(dú)立同分布，且 ， i＝ 1， 2， ? ，則對(duì)任意實(shí)數(shù) x, 。 本題考核課本第五章大數(shù)定律及中心極限定理的內(nèi)容，理論性比較強(qiáng)，學(xué)習(xí)起來(lái)比較困難 。 根據(jù)貝努利大數(shù)定律（課本 P118）的結(jié)論， 。 ：從總體中隨機(jī)抽取 n個(gè)個(gè)體 x1,x2?,x n稱為總體的一個(gè)樣本，個(gè)數(shù) n稱為樣本容量。得到簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的 方法稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法。 ： 設(shè) x1,x2?,x n為取自某總體 X的樣本， （ 2）樣本均值的性質(zhì)： ① 若稱樣本的數(shù)據(jù)與樣本均值的差為偏差，則樣本偏差之和為零，即 ② 偏差平方和最小，即對(duì)任意常數(shù) C，函數(shù) 時(shí)取得最小值 . （ 5）樣本矩 （ 7）正態(tài)分布的抽樣分布 的 為自由度為 n的 X2分布的 α 分位點(diǎn) .求法：反查 X 2分布表 . [答疑編號(hào) 918020201] 答案： D [答疑編號(hào) 918020202] 答案： [答疑編號(hào) 918020203] 答案： B [答疑編號(hào) 918020204] 答案： 1 [答疑 編號(hào) 918020205] 答案： B [答疑編號(hào) 918020206] 解析： 故填 20. [答疑編號(hào) 918020207] 答案： n 解析： [答疑編號(hào) 918020208] 答案： 解析：本題考核正態(tài)分布的疊加原理和 x2－分布的概念。本題，已知 X X X X4為來(lái)自總體 X～ N（ 0， 1）的樣本，所以 X XX X4相互獨(dú)立且服從同分布 N（ 0， 1），則 X1+X2～ N（ 0， 2）， X3+X4～ N（ 0， 2）；從而， ,則下列選項(xiàng)中正確的是（ ） [答疑編號(hào) 918020209] 答案： A 解析：本題考察課本 p140， 。 專題二 參數(shù)估計(jì) 近幾年試題的考點(diǎn)分布和分?jǐn)?shù)分布 最高分?jǐn)?shù)分布 最低分?jǐn)?shù)分布 平均分?jǐn)?shù)分布 點(diǎn)估價(jià) 2, 2 6 2 評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn) 2 區(qū)間估計(jì) 10 6 合計(jì) 14/100 6/100 10/100 一、參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) ： （ 1）參數(shù)： ① 分布中所含有未知參數(shù) θ （ θ 可以是向量）； ② 分布中所含有未知參數(shù) θ 的函數(shù)； ③ 其他數(shù)字特征的未知值。 ：同 A。 二、參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 設(shè) θ 為總體的一個(gè)未知參數(shù)， 由樣本 確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，若對(duì)于給定的概率 有 則稱隨機(jī)區(qū)間為參數(shù) θ 的置信度為 置信區(qū)間，并稱 為置信度（置信水平）， ： θ 的置信度為 的置信區(qū)間 指的是 θ 包含在區(qū)間 的概率為 100（ 1α ）％ . （ 1）樣本容量 n固定，置信度 1α 增大，置信區(qū)間長(zhǎng)度增大，區(qū)間估計(jì)精度降低； 1α 減小，區(qū)間長(zhǎng)度減小，區(qū)間估計(jì)精度提高； （ 2）置信度 1α 固定，樣本容量 n 增大，區(qū)間長(zhǎng)度減小，估計(jì)精度提高。 例 [答疑編 號(hào) 918020200] 答案： 1 例 X為指數(shù)分布，其密度函數(shù)為 是樣本，故 [答疑編號(hào) 918020201] 答案： 解析：本題主要考核指數(shù)分布的數(shù)字特征及矩法估計(jì)。本人在面授講課中曾經(jīng)證明過(guò)。 本題屬于 “ 單正態(tài)總體、方差已知，均值的區(qū)間估計(jì) ” 問(wèn)題，置信度為 1－ α 的置信區(qū)間為 由已知， 所以，所求區(qū)間為 [10－ ， 10＋ ]?，F(xiàn)抽查 16瓶罐頭進(jìn)行測(cè)試，測(cè)得維生素 C的平均含量為 ，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為 ，試求 μ 的置信度 95％的置信區(qū)間 . [答疑編號(hào) 918020206] 解析：本題為區(qū)間估計(jì)的應(yīng)用題。為此 選擇統(tǒng)計(jì)量 通過(guò)推導(dǎo)可得，置信度為 1－ α 均值 μ 的置信區(qū)間為 由已知 帶入上式得 計(jì)算得所求置信區(qū)間為 [, ]. 例 X（單位： cm）服從正態(tài)分布 N（ μ,σ 2），從該車床加工的零件中隨機(jī)抽取 4個(gè)，測(cè)得樣本方差 試求：總體方差 σ 2的置信度為 95％的置信區(qū)間 . （附： [答疑編號(hào) 918020207] 答案： 解析：本題是正態(tài)總體，均值未知，總體方差的區(qū)間估計(jì)。 ： 對(duì)一個(gè)總體或兩個(gè)總體的某個(gè)統(tǒng)計(jì) 性質(zhì)進(jìn)行說(shuō)明或比較時(shí)，由于這些性質(zhì)未知或不完全知道，因而作出某種假設(shè) H0，稱為 統(tǒng)計(jì)假設(shè) 。 ② 非參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)：除上述問(wèn)題以外的假設(shè)檢驗(yàn)，稱為非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)。 如對(duì)總體均值 μ 檢驗(yàn)，原假設(shè)為 H0： μ=μ 0，備擇假設(shè)為下列三種情況之一： ，滿足： ① 必須與假設(shè)檢驗(yàn)中待檢驗(yàn)的 “ 量 ” 有關(guān)；