【正文】 2222f(x)=,165。求隨機變量X的數(shù)學期望EX與方差DX。設所有的取整誤差是相互獨立的隨機變量，并且都在[,]上服從均勻分布，求：300個數(shù)相加時誤差總和的絕對值小于10的概率。（附：F(1)=,F(2)=,F(3)=,F(4)=） 10．據(jù)以往經驗，某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布，現(xiàn)隨機地取25只，設他們的壽命是互相獨立的，求這25只元件的壽命總和大于3000小時的概率。x+165。(λ)，即P{X=k}=lkk!el,k=0,1,2,L。6．設總體X服從指數(shù)分布e(λ),概率密度為236。238。0其中λ＞0為未知參數(shù)，如果取得的樣本觀測值為x1,x2,L,xn，求參數(shù)λ的最大似然估計值。8．設總體X服從幾何分布，即p(x,p)=p(1p)x1,x=1,2如果取得的樣本觀測值為x1,x2,L,xn，求參數(shù)P的最大似然估計值。2. 設總體X~N(m,s2)，證明：統(tǒng)計量u=X~N(0,1)。(Xi=1i22m)~c(n)。六．應用題：（10分）1．某工廠正常情況下生產的電子元件的使用壽命X~N(1600,802)，從該工廠生產的一批電子元件中抽取9個，測得它們使用壽命的平均值為1540（小時），如果使用壽命的標準差s不變，能否認為該工廠生產的這批電子元件使用壽命的均值m=1600（小時）？（附：檢驗水平a=,=,=,(8)=,(8)= ） 2．.某工廠正常情況下生產的電子元件的使用壽命X~N(1600,802)，從該工廠生產的一批電子元件中抽取9個，測得它們使用壽命的平均值為1540（小時），如果使用壽命的標準差s不變，能否認為該工廠生產的這批電子元件使用壽命顯著降低？（附：檢驗水平a=,=,=,(8)=,(8)= ） 3．已知電子工廠生產的某種電子元件的平均壽命為3000（h）,采用新技術試制一批這種電子元件，抽樣檢查16個，測得這批電子元件的使用壽命的樣本均值x=3100（h），樣本標準差 s =170（h），設電子元件的使用壽命服從正態(tài)分布，問：試制的這批電子元件的使用壽命是否有顯著提高？（附：檢驗水平a=,=,=,(15)=,(15)= ） 4．某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖，設包裝機實際生產的每袋重量服從正態(tài)分布，且長期經驗知標準差s=，某天開工后，為了檢查包裝機是否正常，隨機抽取了9袋，測得它們樣本均值為x= kg，能否認為這天的包裝機的工作正常？（附：檢驗水平a=,=,=,(8)=,(8)= ） 5． 某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖，包裝機實際生產的每袋重量服從正態(tài)分布，某天開工后，為了檢查包裝機是否正常，隨機抽取了9袋，測得它們樣本均值為x= kg，樣本標準差s = kg，能否認為這天的包裝機工作正常？（附：檢驗水平a=,=,=,(8)=,(8)= ）解答1．解：設A表示第一次抽到黑球， B表示第二次抽到黑球，則有 （1）所求的概率為P(A)=33+5+2=310 （2）根據(jù)條件概率公式及全概率公式可得P(A)=310,P(A)=3+110+1=710,P(BA)=3+010+1=311P(BA)=411P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA)=310180。311=3102．解：設A表示考生會解這道題， B表示考生選出正確答案，則有（1）根據(jù)全概率公式可得P(A)=,P(A)=(BA)=1,P(BA)=14= P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA)=180。=（2）根據(jù)條件概率公式可得P(AB)==180。3．解：設事件A表示取出的2個球都是白球，事件Bi表示所選袋子中裝球的情況屬于第i種（i=1,2,3），易知210310510C2C2P(B1)=,P(AB1)=26=1153。2P(B3)=,P(AB3)=26=。+165。210+151335641 3+=187。242。165。=A[p2(1p21)=]Ap=1A,=1 p f(x)=p1+x（2）所求的概率為P{0163。1=}2242。242。f(t)dt 得 12F(x)= =242。nx11=]+2p axrctan2．解：（1）由題設X的概率密度為236。x163。0,其它238。242。165。1239。x163。2239。（2）根據(jù)F(x)=242。f(t)dt 得① 當x0 時，F(xiàn)(x)=242。0dt=0 165。x163。0dt+242。0165。2012+242。0,239。x綜上所述，得 F(x)=237。x163。2x2239。1,3．解：（1）根據(jù) 242。165。+165。f(x)=242。,x1239。239。1238。 =11parcsinx212=1pp1[()]=p663 （3）根據(jù)F(x)=242。f(t)dt 得① 當x163。x165。1165。x =dtx11arcsit=+12pp1arcxsin③ 當x179。+11 F(x)=242。+242。1236。239。+arcsinx,1163。1239。1239。4．解：（1）根據(jù) 242。165。x0165。+165。Aedx+xx242。0AedxA2=1A,=12x =A[e0165。=]0 f(x)=ex,165。（2）所求的概率為p{0X1}==12ex242。165。 x165。0 時F(x)=242。edt+242。1xe,239。2F(x)=237。11ex,239。2x0 x179。y)=P(sinX163。0時，F(xiàn)Y(y)=0 （2） 當y179。y)=P{(0X163。Xp)}=242。pparcsinypdx=2parcsiny所以，隨機變量Y的分布函數(shù)236。0239。237。p239。1,y179。0,其它6．解：（1）根據(jù)F(x)=242。f(t)dt① 當x0 時， F(x)=242。0d=t 0② 當0163。1時，F(xiàn)(x)=242。x2tdt=t2x2165。01x165。02tdt+242。0,x0F(x)=239。x2,0163。1239。1,x1（2）由于X的可能取值區(qū)間為[0，1]，故Y=X2的可能取值區(qū)間為[0，1]，Y=X2布函數(shù)為FY(y)=P{Y163。 }y① 當y0時，{X2163。y163。X163。Y(y)=P{Y163。y}=W，故FY(y)=P(W)=1綜上所述，得x0236。FY(y)=237。x163。1,x1238。)=limA(+Barctxan=A)+2236。x163。0,其它dy238。+165。)=limA(+Bx174。arctxan=A)+B(2p =)0解之得 A=12 ，B=12+11p F(x)=（2）所求的概率為 parctanx,165。P{1x1=}F(1)F(1)=(12+11arctan1+p2p1121 1arcta=1)]2 （3） f(x)=F162。x+165。F(+165。x174。 237。x174。F(=0) 0解之得 A=1,B=1236。 0,x163。（2）所求的概率為P{0x1=}F(1)F=(1e2180。2e2x,x0（3） f(x)=F162。0,x163。32．解：（1）根據(jù)pX(xi)= 根據(jù)pY(yj)= 229。ip(xi,yj)得Y的邊緣分布為 （2）Z=X+Y的可能值是 2，0，1，3，4. 相應的概率為P{Z=2}=P{X=1，Y=1}=P{Z=0}=P{X=1，Y=1}=220620+320=920520P{Z=1}=P{X=1，Y=2}+P{X=2，Y=1}=P{Z=3}=P{X=2，Y=1}=P{Z=4}=P{X=2，Y=2}=320120 故Z=X+Y的概率分布為,yj)=P(x)Py()33．解：（1）由于X與Y獨立，根據(jù) P(xiXiYj 得（X ，Y）的二維聯(lián)合概率分布如下： （2）Z=X+Y的可能值是 2，1，0，1，2. 相應的概率為P{Z=2}=P{X=3，Y=1}=220220+120=320420+120+220=720P{Z=1}=P{X=2，Y=1}+P{X=3，Y=2}=P{Z=0}=P{X=1，Y=1}+P{X=2，Y=2}+P{X=3，Y=3}=P{Z=1}=P{X=1，Y=2}+P{X=2，Y=3}=P{Z=2}=P{X=1，Y=3}=420220+220=420故34 111=4936Z=X+Y的可能值是 0，1，2，3，4. 由于X與Y 相互獨立，故相應的概率為PZ(0)=P(0,0)=PX(0)PY(0)=PZ(1)=P(0,1)+P(1,0)=PX(0)PY(1)+PX(1)PY(0)=14216+=49493614241113++=49494936241412+=494936144=4936PZ(2)=P(0,2)+P(1,1)+P(2,0)=PX(0)PY(2)+PX(1)PY(1)+PX(2)PY(0)=PZ(3)=P(1,2)+P(2,1)=PX(1)PY(2)+PX(2)PY(1)=PZ(4)=P(2,2)=PX(2)PY(2)=故Z=X+Y的概率分布為 5．解：由題設可得EX=242。165。xab1ba2dx=a+b22 2EX2=242。165。xa22b1ba2dx=a+ab+b32 DX=EX(EX)=6．解：由題設可