【正文】 of the pany to help it acplish this task. Question: Which Multivariate Method to Use? A market research pany wants to study whether ine level and the extent of advertising of the brands influence consumers in deciding which of the three brands of coffee to purchase. Suppose ine data collected from purchasers of these three brands of coffee and the extent of advertising can be measured on a metric scale. Which multivariate technique would you use to help predict the brand choice decision of consumers? Question: Which Multivariate Method to Use? ABC Tour amp。 3 矩 一、數(shù)學(xué)期望 定義 ?????????????pqppqqxxxxxxxxx??????212221212111X 是有隨機(jī)變量構(gòu)成的隨機(jī)矩陣， 定義 X的數(shù)學(xué)期望為 ?????????????)()()()()()()()()()(212221212111pqppqqxExExExExExExExExEE??????X特別當(dāng)時(shí) ， 便可得到隨機(jī)向量 的數(shù)學(xué)期望為 1?q ),( 21 ?? pxxx ?x))(,),(),(()( 21 ?? pxExExEE ?x 性質(zhì) 1） 設(shè) ??為常數(shù) ， 則 ； )()( XX aEaE ?2） 設(shè) 分別為常數(shù)矩陣 ， 則 CBA ,CBXACAXB ??? )()( EE 3） 設(shè) 為 個(gè)同階矩陣 ， 則 n21 XXX , ?n???? )( n21 XXX ?E n21 XXX EEE ??? ? 二、協(xié)方差矩陣 定義：設(shè) 和 分別為 維和 維隨機(jī)向量 ， 則其協(xié)方差矩陣為 ),( 21 ?? pxxx ?x ),( 21 ?? qyyy ?yp q ? ?????????????????????????????????)()()()()()(22112211qqppyEyyEyyEyxExxExxEx??E),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (212221212111YXyxyxyxyxyxyxyxyxyxqpppqq??????????????????????的協(xié)方差矩陣為),( 21 ?? pxxx ?x?????????????????)v a r (),c o v (),c o v (),c o v ()v a r (),c o v (),c o v (),c o v ()v a r ()(2122121211pppppxxxxxxxxxxxxxxxV a r??????x 性質(zhì) 1） 若 (x1,x2,… ， xp)’ 和 (y1,y2,… ， yp)相互獨(dú) 立 。 證：設(shè) a為任意與 X有相同維數(shù)的常數(shù)向量，則 axxEaaa ]))(([ ??????? ??]))(([ axxaE ????? ??0)]([ 2 ???? ?xaE3）設(shè) A是常數(shù)矩陣， b為常數(shù)向量，則 V(AX+b)=AV(X)A’ ； )( bAX ?V)]))[( bAbAX ???? ?E ])))[( ???? bAbAX ?AxxA ]))([( ???? ??E AxA ?? )(V 若 (x1,x2,… ， xp)’ 和 (y1,y2,… ， yp)分別是 p和 q維隨機(jī) 向量 ， A和 B為常數(shù)矩陣 ，則 ByxAByAx ?? ),(),( C ovC ov),( ByAxC ov證}])() ] [ (({ [ ( ???? xBBxxAAx EEEBxxA ????? ]))([( ??E 若 (k1,k2,… ， kp)是 n個(gè)不全為零的常數(shù)， (x1,x2,… ， xp) 是 相互獨(dú)立的 p維隨機(jī) 向量 ，則 ???? )( 21 n21 xxx nkkkV ?)()()( 22221 n21 xxx VkVkVk n??? ? 三、相關(guān)系數(shù)矩陣 若 (x1,x2,… ， xp)’ 和 (y1,y2,… ， yp)分別是 p和 q維隨機(jī) 向量 ，則其相關(guān)系數(shù)矩陣為 ???????????????),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111qpppqqyxyxyxyxyxyxyxyxyx????????????????yx。 4 隨機(jī)向量的變換 一 、 一元隨機(jī)變量的變換 設(shè) x具有概率密度函數(shù) fx(x)， 函數(shù) y=?(x)嚴(yán)格單調(diào) ， 其 反函數(shù) x=?(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù) ， 則 y的概率密度函數(shù)為 |)(|))(()( yyfyf xy ?? ?? 其中 y的取值范圍與 x的取值范圍相對(duì)應(yīng) 。求 )0(ln1 ?? ?? xyyeyx ?? ??? )(解y的取值范圍為 (0,?),則 |)(|))(()( yyfyfxy ?? ??|)(|1|)(|))( yyyx eeef ??? ? ??? ?????ye ?? ??二、多元隨機(jī)向量的變換 若 (x1,x2,… ,xp)’ 有密度函數(shù) f (x1,x2,… ,xp),有函數(shù)組 ),( 21 pii xxxy ??? pi ,2,1 ??其 逆變換 存在 ),( 21 pjj yyyx ??? pj ,2,1 ??則 的概率密度函數(shù)為 ),( 21 ?? pyyy ?y||)),(,),((),(2121121J?? ppppyyyyyyfyyyg????????????????????????????????????????????????ppppppppyxyxyxyxyxyxyxyxyxyyyxxx????????2122212121112121),(),(J特別：若 ， 其中 為 階可逆常數(shù)矩陣 ， 為 維常數(shù)向量 ， 則 bAxy ?? Apbp1||)( ?? ??? AAyxJ 1第二章 多元正態(tài)分布 167。 設(shè)隨機(jī)向量 ,若其的密度函數(shù)為 ),( 21 ?? pxxx ?x 三、一般的正態(tài)分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系 ),(),()( 2121 ???? ppExExExE ??? ??x設(shè) ， 其中 是一個(gè) 階非退化矩陣 ， 服從 維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ， 則 服從 維正態(tài)分布 ， 且均值向量為 pp ??? AuxA ),( 21 ?? puuu ?uAux ?? ? pAAxxEx??????????????????????????????????????22211222222122112211211)())(())(())(()())(())(())(()())(()(pppppppppxxxxxxxxxxxxxxxEV ar???????????????????????協(xié)方差為 ?????? AAAV arV ar )()( uAx||)]()(21e x p [)2(),( 1221 J??????? ?? ??? xxxxxf pp?)]()(21e x p [)2( 1212 ??? ??????? ??? xxp211)( ?? ???? AAAJ xu 若 ， 則 Σ － 1存在 ， 是非退化 元正態(tài)分布； )()( qppr a n k ??A ??? Auxp 若 ， 則 不存在 ， 是退化 元正態(tài)分布 ， 不存在密度函數(shù) 。 ),0(~ 2 INu Aux ? ???????????111001Ax167。 ),( ??pNxa?一、多元正態(tài)分布的特征函數(shù) )e x p ()( ttit ????? 21t ?? 三 、 X服從 維正態(tài)分布 ， 則 ， 其中 為 常數(shù)矩陣 ， 為 維的常數(shù)向量 ， 則 p bCxy ?? C pr?b r),(~ CCbCy ????rN? 四 、 設(shè) ， 則 的任何 子向量 也服從多元正態(tài)分布 ， 其均值為 的相應(yīng)子向量 ， 協(xié)方差為 的相應(yīng)子矩陣 。 ),(~ ??pNx )(~)()( 2 px ??? ???? ? 1xμ)(xΣx 21* ?? ??][)( μ)(xΣx 21* ?? ?V arV ar2121 μ ) Σ(xΣ ?? ?? V arΙΣΣΣ 2121 ?? ??分布。 pp ?xxx **??,?xkpk????????21xxxkpk????????21???pkk?????????????2221121121,xx 0??12 七、將 作如下的分塊： 子 向量相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng) 。和故 2xx 1)()()( 21 21 xxx fff ?? 八、設(shè) ， ， ，其中 是 階矩陣， 是 階矩陣， ， ，則 與 相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng) 。 ),(~ ?0Nx n ??? Axy ??? Bxz Anp? B nq? pAra n k ?)( qBra n k ?)(0???BAYZ同上可證。 2X1X 2122121 XX ????1111212 XX ????證： ? ? ???????21xx0Ix令? ? ???????? ?2111121 xxIΣΣz?)c o v ( zx 1,? ? ??????21xx0I v ar? ??? ? IΣΣ 11121? ? ???????22211211ΣΣΣΣ0I ? ??? ? IΣΣ 11121? ? ???????21xx0I v ar? ??? ? IΣΣ 111210ΣΣ 1212 ????? ? ???????? ?? ?I