【正文】 , we study the ideal equation rules fluctuations (sine and Stokes, etc.) with NS equations, depending on the water and inpressible irrotational motion. It can be an example of some of the more regular wave phenomena occurring in the actual ocean. In this paper, we definitely derived basic equations of ocean dynamics, and derived the NS equations which are posed of three equations of motion and a continuity equation。 1822 年，粘性流體的基本運(yùn)動(dòng)方程由納維創(chuàng)建 [1]； 1845 年，斯托克斯再次以更恰當(dāng)?shù)姆椒ㄍ茖?dǎo)了這個(gè)方程，并提出了清楚明白且讓人信服的宏觀力學(xué)的基本概念。而這個(gè)方程主要應(yīng)用在以下兩個(gè)方面： 首先，流體的粒子 動(dòng)量 的變化率和耗散粘滯力和液體內(nèi)部受到的壓力和重力之間的關(guān)系就是由流體力學(xué)基本方程建立 [2]。如此 ，任何液體力區(qū)域的動(dòng)態(tài)平衡 都 可以通過 NS 方程描述 。 其次，在海洋學(xué)、多相流體力學(xué)、地球物理學(xué)、生命科學(xué)、非牛頓流體力學(xué)和氣象學(xué)等學(xué)科涉及到的有關(guān)力學(xué)的物理問題， N— S方程均為其數(shù)學(xué)模型。目前描述流體最精確、最全面的數(shù)學(xué)模型也是 N— S 方程。 長期以來，在經(jīng)典流體動(dòng)力學(xué)中通常用修正過的 NS 方程組描述海洋運(yùn)動(dòng)。另外，海洋區(qū)別于其他流體介質(zhì)在于海洋存在多種熱力學(xué)示蹤要素（溫度和鹽度），以及狀態(tài)方程的高度非線性化。 如，視海水為理想不可 壓且重力為唯一外力，可推出無旋波動(dòng)的基本方程。 為此，我們需要學(xué)會(huì)求解 NS 方程。 因?yàn)?NS方程相應(yīng)的實(shí)際物理問題的邊界條件多數(shù)，而且方程本身問題求解又是一個(gè)非線性的不穩(wěn)定的奇點(diǎn)問題，使我們很難利用分析方法得出問題真正的解。也是因?yàn)橛羞@樣的一個(gè)難題，長期以來，有一大批數(shù)值工作者都關(guān)注和研究有關(guān) NS方程的數(shù)值模 擬，現(xiàn)在仍有大批相關(guān)的論著與文獻(xiàn)出版。本文著重介紹了 NS 方程的推導(dǎo)過程，及求解 NS 方程的數(shù)值方法中有限差分法的差分格式的建立及其誤差和基本性質(zhì)分析，如相容性、收斂性、穩(wěn)定性分析等，能讓讀者更加清晰的了解 NS方程的求解方法。 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 前言 4 本文 具體推導(dǎo)了海洋動(dòng)力學(xué)基本方程，推導(dǎo)出由 三個(gè)運(yùn)動(dòng)方程和一個(gè)連續(xù)方程構(gòu)成的 NS方程組，并由此推出海浪 表面二維線性波動(dòng)的基本方程， 對(duì)于無旋運(yùn)動(dòng)，分開求解運(yùn)動(dòng)學(xué)問題和動(dòng)力學(xué)問題，即先從拉普拉斯方程和邊界條件求得速度（或求得勢(shì)函數(shù)），再由拉格朗日積分求得壓強(qiáng)，使問題全部解決。橢圓的水平軸和鉛直軸隨著離開自由表面向下而逐漸減小，于水底處，鉛直軸變?yōu)榱?，質(zhì)點(diǎn)只做水平運(yùn)動(dòng)。本課題的完成主要通過以下幾章的介 紹來達(dá)到。這是本論文研究的基礎(chǔ)。 第三章主要介紹了海浪 表面二維線性波動(dòng)的基本方程 的推導(dǎo)過程及該方程的求解過程。橢圓的水平軸 和鉛直軸隨著離開自由表面向下而逐漸減小，于水底處，鉛直軸變?yōu)榱悖|(zhì)點(diǎn)只做水平運(yùn)動(dòng)。線性波動(dòng)是研究復(fù)雜波的基礎(chǔ)，可以近似地說明復(fù)雜波的一些基礎(chǔ)。 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 海洋動(dòng)力學(xué)基本方程的推導(dǎo) 5 正文 1. 海洋動(dòng)力學(xué)基本方程的推導(dǎo) 海水是流體，其運(yùn)動(dòng)必須服從流體運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律。海洋中的流體運(yùn)動(dòng)總是與湍流結(jié)合在一起。 鹽擴(kuò)散方程可由鹽量守恒導(dǎo)出；熱平衡方程可由能量守恒導(dǎo)出；波動(dòng)方程可由機(jī)械能守恒導(dǎo)出；連續(xù)方程可由質(zhì)量守恒導(dǎo)出；而 NS 方程可由動(dòng)量守恒導(dǎo)出。 壓力梯度項(xiàng)的導(dǎo)出 如圖（ ）所示，在三維水體流動(dòng)中，令 p 和 pp?? 分別為控制 體左、右兩側(cè)所受的壓強(qiáng)，為控制體由于 xF? 壓力差在 x方向的受力，則 z p pp?? z? y? y x? x 圖 壓力梯度項(xiàng)的導(dǎo)出 zyppzypF x ?????? )( ??? zypFx ???? ?? 但 xxpp ?? ??? ，所以 ?????? xpzyxxpF x ???????? 式 中： ??為控制體的體積。如果 q 是在空間與時(shí) 間上連續(xù)的函數(shù)，則 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 海洋動(dòng)力學(xué)基本方程的推導(dǎo) 6 xxqttqinout ?? ??????? qq （ ) inq outq xd 圖 一維流動(dòng) 經(jīng)過控制體，數(shù)量 q 的變化率為： xqutqtxxqtqt qqDt inout ?????????????? ???Dq （ ） 式（ ）中 u 就是 x方向的速度。 NS 方程的導(dǎo)出 海水是流體，其運(yùn)動(dòng)必須服從流體運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律。令 ?F 為流體所受合力， m 為流體質(zhì)量， ?V 為流體的合速度，則在方程是對(duì)質(zhì)點(diǎn)而言時(shí)，可由牛二定律得： ?? ?FtVmD )D( () 若我們假定質(zhì)量不變，令 ?mf 是單位質(zhì)量力，則式（ ）可以寫為： ??? ??mfmFtVDD （ ） 對(duì)海水受力分析，我們可得重力是主要作用力。又因一個(gè)做勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體，在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中還有受慣性力的作用。且不同層間分子動(dòng)量交換會(huì)產(chǎn)生摩擦力，所以流水運(yùn)動(dòng)時(shí)，將由四個(gè)力的作用：重力、壓強(qiáng)梯度力、科氏力、摩擦力。 ????31項(xiàng)相比其他項(xiàng)很小，可以忽略，故得： ????? ????????? VgVptV ??? 21DD （ ） 實(shí)際上，式（ ）就是 NS 方程。此外，假定 vw ，故式（ ）中的 ?cos2 w? 項(xiàng)已被忽略。 又由式（ ）和式（ ）可得： ???????? ?????????????????????????? 222222s i n21z uy ux uvxpzuwyuvxuutu ???? （ ） ???????? ?????????????????????????? 222222s i n21z uy ux uuxpzvwyvvxvutv ???? （ ） ???????? ??????????????????????????? 222222c o s21z uy ux ugvxpzwwywvxwutw ???? （ ） 式（ ）就是流體在笛卡兒坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程。由圖可知，左側(cè)質(zhì)量流入 = zyu ??? ，浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 海洋動(dòng)力學(xué)基本方程的推導(dǎo) 8 右側(cè)質(zhì)量流出 = ? ? xx zyuzyu ??????? ??? ，故進(jìn)入控制體的質(zhì)量增量為兩者的差值： ? ? ? ? zyxxuxx zyuzyuzyu ?????????????? ?????????? ???? 同上理，若考慮三維空間，可得進(jìn)入控體質(zhì)量的增量為： ? ? ? ? ? ? zyxzwyvxu ?????? ?????? ???????? 而控體質(zhì)量的增量又等于 zyxt ?????? 所以，可得下列方程 0)()()( ??????? ??????????? zyxxwxvxuzyxt ?????????? ? ? ? ? ? ? 0???????????? zwyvxut ???? （ ） 將式（ ）展開可得： 0????????????????????? zwyvxuzwyvxut ??????? 而由式（ ）可知，上式前四項(xiàng)就是質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，故上式可變?yōu)? 0DD1 ?????????? zwyvxut?? （ ） 式（ ）就是流體連續(xù)方程。海水的密度幾乎是常量。現(xiàn)有未知量 pwvu , 四個(gè)，如果摩擦力已知，似乎可以求解了。我們期望 4個(gè)方程加上邊界條件能解出 4 個(gè)未知量。迄今為止，對(duì)于存在摩擦項(xiàng)的方程還沒有精確解，而即使方程是不含摩擦項(xiàng)的方程，也幾乎很少 有精確解。 只有在方程被高度簡化后，才有可能得到解析解。而關(guān)于實(shí)際海岸和海底特征的流動(dòng)的求解必須采用數(shù)值方法。 理論分析主要是指現(xiàn)代科學(xué)理論 對(duì) 實(shí)際問題進(jìn)行分析的方法。 實(shí) 證分析不可能將任何問題都 解決 ， 而 理論方法是相對(duì) 于實(shí)證分析更 快速和高效的方法 。 而且它的研究對(duì)象常常是針對(duì)線性的控制方程，必須簡化其物理，使其幾何表現(xiàn)有規(guī)律可循，對(duì)于非線性的情況，很難給出解析結(jié)果 [8]。由實(shí)驗(yàn)測(cè)量給出的資料通常是一個(gè)物理過程最可信的資料，試驗(yàn)結(jié)果真實(shí)可靠。但實(shí)驗(yàn)往往受到環(huán)境影響、操作不當(dāng)、儀器精度等的限制，還 會(huì)遇到資金成本，人力和 實(shí)驗(yàn)材料以及周期長等許多困難。由于海洋動(dòng)力學(xué)方程是非線 性的， 由于海洋動(dòng)力學(xué)方程是非線性的， 它 們可能有數(shù)學(xué)奇點(diǎn)和未知的或邊界 無窮遠(yuǎn) ，難以直接求解 。 數(shù)值模擬是利用海洋模式對(duì)海洋現(xiàn)象的重復(fù)和預(yù)演，并揭示其動(dòng)態(tài)過程。因而計(jì)算海洋動(dòng)力學(xué)已越來越成為研究海洋各種物理現(xiàn)象及工程設(shè)計(jì)的重要手段。 電子計(jì)算機(jī)上處理的計(jì)算必須是離散的和有限的，不能直接描述連續(xù)性問題，所以在數(shù)值計(jì)算方法中，首要的是如何把模式方程組列出離散形式， 離散化方法基本上可以分為兩類：（ 1）和離散相結(jié)合的譜法等多種分析，變分法和應(yīng)用快速傅里葉變換方法的； （ 2）有限差分法、有限元法、 PIC (ParticleInCell) 法 、 MAC (MarkerAndCell ) 法和 VOF (Volume Of Fluid) 法等 [9]。本章先介紹有限差分方法的基本概念，差分格式的建立及其基本性質(zhì)，如相容性、收斂性和穩(wěn)定性等，一些偽物理效應(yīng)及訂正，并說明它們的意義及分析方法，為理解和掌握差分格式的設(shè)計(jì)方法提供必要的基礎(chǔ)知識(shí)。采用有限差分方法求解時(shí)，首先要浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 有限差分基本概念 10 做的是等距或非等距分割計(jì)算域，分割點(diǎn)被稱為網(wǎng)格點(diǎn)，網(wǎng)格點(diǎn)之間的距離叫 晶格間距 或空間步長、水平分辨率。 下面以 xy 平面為例，說明網(wǎng)格的建立，最簡單常用的是“等步長”差分分割。格距的取值應(yīng)根據(jù)研究的實(shí)際問題而定。 t? 的取值需按嚴(yán)格的要求，必須滿足穩(wěn)定性等條件。 微分方程的離散化 下面對(duì)一維線性平流方程（ ）離散化，說明差分方程的建立。這里介紹普遍使用的泰勒展開法。引入記號(hào) ),(1 txxuuni ???? ， ),(1 txxuuni ???? ， ),( txuuni ? ，