【正文】 os??? ， sin cos??? ， sin cos???三者之間有密切的聯(lián)系，知其一，必能求其二． 【反饋演練】 1．已知 5sin 5?? ,則 44sin cos??? 的值為 _____． 3 513? － 3 53? 2．“21sin ?A”是“ A=30186。所以，向量成為了“在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題”的很好載體。 復(fù)習(xí)鞏固相關(guān)的平面向量知識(shí)，既要注重回顧和梳理基礎(chǔ)知識(shí)，又要注意平面向量與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用，滲透用向量解決問題的思想方法，從而提高分析問題與綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，站在新的高度來認(rèn)識(shí)和理解向量。其中，正確命題材的序號(hào)是 ② ③ 2. 化簡(jiǎn) AC? BD? CD? AB 得 0 ABCD 中， AB =a+2b， BC =－ 4a－ b， CD =－ 5a－ 3b，其中 a、 b 不共線，則四邊形 ABCD 為梯形 ，設(shè)點(diǎn) P、 Q 是線段 AB 的三等分點(diǎn)， 若 OA＝ a， OB ＝ b，則 OP ＝ 2133?ab， OQ ＝ 1233?ab (用 a、 b 表示 ) 【 范例導(dǎo)析 】 例 1 .已知任意四邊形 ABCD 的邊 AD 和 BC 的中點(diǎn)分別為 E、 F， 求證： 2AB DC EF?? . 分析 :構(gòu)造三角形 ,利用向量的三角形法則證明 . 證 明：如圖，連接 EB 和 EC ， 由 EA AB EB??和 EF FB EB??可得， EA AB EF FB? ? ? （ 1） 由 ED DC EC??和 EF FC EC??可得， ED DC EF FC? ? ? （ 2） （ 1） +（ 2）得， 2E A E D A B D C E F F B F C? ? ? ? ? ? （ 3） ∵ E、 F 分別為 AD 和 BC 的中點(diǎn)， ∴ 0EA ED??， 0FB FC??， 代入（ 3）式得， 2AB DC EF?? 點(diǎn)撥 :運(yùn)用向量加減法解決幾何問題時(shí) ,需要發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造三角形或平行四邊形 . 例 ,OAOB 不共線， OP aOA bOB??,求證： A,P,B 三點(diǎn)共線的充要條件是 1ab?? 分析：證明三點(diǎn)共線可以通過向量共線來證明 . 解：先證必要性：若 A,P,B 三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù) ? ，使得 AP AB?? ,即 ? ?O P O A O B O A?? ? ?,∴? ?1,O P O A O B??? ? ?∵ OP aOA bOB??,∴ 1,ab??? ? ? ，∴ ?? 再證充分性：若 ?? 則 AP OP OA??=? ? ? ?1a O A b O B b O B O A? ? ? ?=bAB ,∴ AP 與 AB 共線，∴ A,P,B三點(diǎn)共線 . 點(diǎn)撥 :向量共線定理是向量知識(shí)中的一個(gè)基本定理 ,通?？梢宰C明三點(diǎn)共線、直線平行等問題 . 【 反饋練習(xí) 】 1．已知向量 a和 b反向，則下列等式成立的是（ C） A. |a|－ |b|=|a－ b| B. |a|－ |b|=|a+b| C.|a|＋ |b|=|a－ b| D. |a|＋ |b|=|a+b| ABCD 中，有 1 ,2D C A B A D B C??則這個(gè)四邊形是（ C） A、 B、 C、 D、 O是平面上的任意五點(diǎn)，試化簡(jiǎn)： ① AB BC CD??， ② DB AC BD??， ③ OA OC OB CO? ? ? ?。 x 為未知向量， a 、 b 為已知向量， x 滿足方程 2x ?(5a +3x ?4b )+21 a?3b =0， 則 x = 92ab??（用 a 、 b 表示） OABC 中， O A , O B , O C , Da b c? ? ?為 BC 的中點(diǎn)， E 為 AD 的中點(diǎn)，則 OE = 1 1 12 4 4a b c??（用 a， b， c 表示） 6 如圖平行四邊形 OADB 的對(duì)角線 OD,AB 相交于點(diǎn) C，線段 BC上有一點(diǎn) M 滿足 BC=3BM,線段 CD上有一點(diǎn) N 滿足 CD＝ 3CN,設(shè) O A , O B , , O M , O N , M Na b a b?? 試 用 表 示 解： ? ? ? ?1 1 1 1 1B M = B C= B A , B M = B A = O A O B =3 6 6 6 6 ab?? 15O M = O B+ B M 66ab? ? ? . ODCDONCDCN 3234,31 ????? ? ? ? ?2 2 2O N = O D = O A + O B3 3 3 ab? ? ? 11MN = O N O M 26ab? ? ? 第 2 課 向量的數(shù)量積 【考點(diǎn) 導(dǎo)讀 】 1. 理解平面向量數(shù)量積的含義及幾何意義 . 2. 掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律 . 3. 掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式 . 4. 能用平面向量數(shù)量積處理有關(guān)垂直、角度、長(zhǎng)度的問題 . 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 ,ab均為單位向量，它們的夾角為 060 ，那么 3??ab13 xOy 中， ,ij分別是與 x 軸， y 軸平行的單位向量，若直角三角形 ABC 中， 2??AB i j ，3??AC i kj ，則 k 的可能值 個(gè)數(shù)為 2 個(gè) 3. 若 1?a , 2?b ， a 與 b 的夾角為 060 ， 若 (3 +5 )?ab ()?ma b ，則 m 的值為 238 | | 1, | | 2 ,? ? ? ?a b c a b，且 ?ca，則向量 a 與 b 的夾角為 120176。 分析 :利用 2 2?aa及 cos? ???abab求解 . 解：由題意， 1??ab ，且 a 與 b 的夾角為 0120 ，所以， 1c os 12 02? ? ? ? ?a b a b，? ? ? ?2 222 2 4 4 7? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?c c c a b a b a a b b7??c ，同理可得 2 4 13? ? ?d b ac 而 ??cd 22 17( 2 ) ( 3 ) 7 3 2 2? ? ? ? ? ? ? ? ?a b b a a b b a，設(shè) ? 為 c 與 d 的 夾 角 ， 則1 7 1 7 9 1c o s 1822 7 1 3? ? ? ? ? 點(diǎn)評(píng)：向量的模的求法和向量間的乘法計(jì)算可見一斑。 （ 1）求證： ()?ab⊥ c ；（ 2）若 | | 1? ? ?ka b c )( Rk? ， 求 k 的取值范圍 . 分析 :問題（ 1）通過證明 ( ) 0? ? ?a b c 證明 ()??a b c ,問題（ 2）可以利用 ? ? 22||? ? ? ? ?k a b c k a b c 解：（ 1）∵ | | | | | | 1? ? ?a b c ，且 a 、 b 、 c 之間的夾角均為 120176。則 aa+ab =32 1 2 , 2a = , b a b??且 ,則 ab?+ 6 | a|=4,|b|=5,|a+b|= 21 ,求：① a (a+3b) 解：（ 1） |a+b|2=（ a+b） 2=a2+2ab+b2=|a|2+2a（ a+3b） =2a2+5a b－ 3|b|2=2 42+5（－ 10）－ 3 52=－ 93. a 與 b 都是非零向量 ，且 a+3b 與 7a5b 垂直， a－ 4b 與 7a－ 2b 垂直，求 a 與 b 的夾角 . 解：∵且 a+3b 與 7a5b 垂直， a－ 4b 與 7a－ 2b 垂直， ∴（ a+3b）（ 7a－ 2b） =0 ∴ 7a2＋ 16 a b＋ 8 b2=0， ∴ b2=2 a 例 △ ABC 的頂點(diǎn)分別為 A(2， 1)， B(3， 2)， C(－ 3，－ 1)， BC邊上的高為 AD，求 AD 及點(diǎn) D 的坐標(biāo)、 分析 :注意向量坐標(biāo)法的應(yīng)用 ,及平行、垂直的充要條件 . 解： 設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 (x,y) ∵ AD 是邊 BC 上的高， ∴ AD⊥ BC，∴ AD ⊥ BC 又∵ C、 B、 D 三點(diǎn)共線， ∴ BC ∥ BD 又 AD =(x－ 2,y－ 1), BC =(－ 6,－ 3) BD =(x－ 3,y－ 2) ∴??? ????? ????? 0)3(3)2(6 0)1(3)2(6 xy yx 解方程組，得 x=59,y=57 ∴點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 (59，57)， AD 的坐標(biāo)為 (－51，52) 點(diǎn)撥 :在解題中要注意綜合運(yùn)用向量的各種運(yùn)算解決問題 . 例 3． 已知向量 33c os , si n , c os , si n ,2 2 2 2? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?x x x xab且 ??????? ,0?x 求（ 1） ?ab及 ?ab；（ 2）若 ? ? 2?? ? ? ?f x a b a b的最小值是 23? ，求 ? 的值。 （ 2） ? ? ? ? 12c o s21c o s4c o s2c o s42c o s 222 ????????? ???? xxxxxxf ? ?1,0c os2,0 ????????? xx ?? （ 1） 當(dāng) ? ?1,0?? 時(shí)， ? ? 12,c o s 2m i n ???? ?? xfx 25,2312 2 ??????? ?? （ 2） 當(dāng) 0?? 時(shí)， ? ? 231,0c osm i n ????? xfx 例 2 （ 3） 當(dāng) 1?? 時(shí)， ? ? 1852341,1c o s m i n ???????? ??xfx 綜上所 述： 25?? 。 (1, 2 ), ( 2 , 3 ), ( 2 , 5 )A B C ?，試判斷則 △ ABC 的形狀 ____直角三角形 _____ (cos ,sin )a ??? ，向量 ( 3, 1)b??，則 2ab? 的最大值是 4 新疆源頭學(xué)子小屋特級(jí)教師王新敞htp::/ ,ab是非零向量且滿足 ( 2 )a b a??， ( 2 )b a b?? ，則 a 與 b 的夾角是 3? ： a 、 b 、 c 是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中 a =（ 1， 2） （ 1）若 |c | 52? ，且 //ca，求 c 的坐標(biāo)； （ 2）若 |b |= ,25 且 2ab? 與 2ab? 垂直，求 a 與 b 的夾角 ? . 解：（ 1）設(shè) ()c? x,y ，由 //ca和 25c? 可得： ??? 2002122 ?????? yx xy ∴ ??? 42??yx 或 ??? 42????yx ∴ (2,4)c? ，或 ( 2, 4)c? ? ? （ 2） ( 2 ) ( 2 ) ,a b a b? ? ?( 2 ) ( 2 ) 0a b a b? ? ? ? 即 222 3 2 0 ,a a b b? ? ? ? 222 | | 3 2 | | 0a a b b? ? ? ? ? ∴ 52 5 3 2 04ab? ? ? ? ? ?， 所以 52ab? ?? ∴ c o s 1 ,| | | |abab? ?? ? ?? ∵ ],0[ ??? ∴ ??? . 9. 已知點(diǎn) O 是 ，內(nèi)的一點(diǎn)， 00 90B O C150A O B ????? A B C O A , O B , O C ,a b c? ? ?設(shè) 且2, 1, 3,a b c? ? ?試用 ,a b c和 表 示 . 解：以 O 為原點(diǎn)， OC， OB所在的直線 為 x 軸和 y 軸建立如圖 3 所示的坐標(biāo)系 . 由 OA=2， 0120??AOx ，所以 ? ? ? ?,31A,120s in2,120c o s2 00 ，即A ， 易求 ? ? ? ?3,0C10B ， ，設(shè) ? ? ? ? ? ?.31λ3λλ3λ313 , 0λ10λ31,λλOA21122121??????????????????，即OCOB 13 3a b c? ? ? . 第 4 課 向量綜合應(yīng)用 【考點(diǎn) 導(dǎo)讀 】 1. 能綜合運(yùn)用所學(xué)向量知識(shí)及有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法解決向量知識(shí)內(nèi)部綜合問題和與 函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列 等知識(shí)的綜合問題 . 2. 能從實(shí)際問題中提煉概括數(shù)學(xué)模型 ,了解向量知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用 . 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 a＝（ 5， 4）， b＝（ 3， 2），則與 2a－ 3b 平行的單位向量為 5 2 555( , )e ?? a ＝ 1， b ＝ 1， a 與 b 的夾角為 60176。 分析 :利用向量知識(shí)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解 . 解 :（ 1）法一：由題意知 x＝ ( 2 3322 ??t , 2 2323 2 ??t ), y＝ (21 t－