【正文】 ＜ 0得－ 1＜ t＜ 1；令 k180。 (1, 2 ), ( 2 , 3 ), ( 2 , 5 )A B C ?，試判斷則 △ ABC 的形狀 ____直角三角形 _____ (cos ,sin )a ??? ，向量 ( 3, 1)b??，則 2ab? 的最大值是 4 新疆源頭學(xué)子小屋特級(jí)教師王新敞htp::/ ,ab是非零向量且滿足 ( 2 )a b a??， ( 2 )b a b?? ，則 a 與 b 的夾角是 3? ： a 、 b 、 c 是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中 a =（ 1， 2） （ 1）若 |c | 52? ，且 //ca，求 c 的坐標(biāo)； （ 2）若 |b |= ,25 且 2ab? 與 2ab? 垂直，求 a 與 b 的夾角 ? . 解：（ 1）設(shè) ()c? x,y ，由 //ca和 25c? 可得： ??? 2002122 ?????? yx xy ∴ ??? 42??yx 或 ??? 42????yx ∴ (2,4)c? ，或 ( 2, 4)c? ? ? （ 2） ( 2 ) ( 2 ) ,a b a b? ? ?( 2 ) ( 2 ) 0a b a b? ? ? ? 即 222 3 2 0 ,a a b b? ? ? ? 222 | | 3 2 | | 0a a b b? ? ? ? ? ∴ 52 5 3 2 04ab? ? ? ? ? ?， 所以 52ab? ?? ∴ c o s 1 ,| | | |abab? ?? ? ?? ∵ ],0[ ??? ∴ ??? . 9. 已知點(diǎn) O 是 ，內(nèi)的一點(diǎn)， 00 90B O C150A O B ????? A B C O A , O B , O C ,a b c? ? ?設(shè) 且2, 1, 3,a b c? ? ?試用 ,a b c和 表 示 . 解：以 O 為原點(diǎn)， OC， OB所在的直線 為 x 軸和 y 軸建立如圖 3 所示的坐標(biāo)系 . 由 OA=2， 0120??AOx ，所以 ? ? ? ?,31A,120s in2,120c o s2 00 ，即A ， 易求 ? ? ? ?3,0C10B ， ，設(shè) ? ? ? ? ? ?.31λ3λλ3λ313 , 0λ10λ31,λλOA21122121??????????????????，即OCOB 13 3a b c? ? ? . 第 4 課 向量綜合應(yīng)用 【考點(diǎn) 導(dǎo)讀 】 1. 能綜合運(yùn)用所學(xué)向量知識(shí)及有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法解決向量知識(shí)內(nèi)部綜合問(wèn)題和與 函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列 等知識(shí)的綜合問(wèn)題 . 2. 能從實(shí)際問(wèn)題中提煉概括數(shù)學(xué)模型 ,了解向量知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用 . 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 a＝（ 5， 4）， b＝（ 3， 2），則與 2a－ 3b 平行的單位向量為 5 2 555( , )e ?? a ＝ 1， b ＝ 1， a 與 b 的夾角為 60176。（ 7a－ 2b） =0 ∴ 7a2＋ 16 a則 aa+ab =32 1 2 , 2a = , b a b??且 ,則 ab?+ 6 | a|=4,|b|=5,|a+b|= 21 ,求：① a其中，正確命題材的序號(hào)是 ② ③ 2. 化簡(jiǎn) AC? BD? CD? AB 得 0 ABCD 中， AB =a+2b， BC =－ 4a－ b， CD =－ 5a－ 3b，其中 a、 b 不共線，則四邊形 ABCD 為梯形 ，設(shè)點(diǎn) P、 Q 是線段 AB 的三等分點(diǎn)， 若 OA＝ a， OB ＝ b，則 OP ＝ 2133?ab， OQ ＝ 1233?ab (用 a、 b 表示 ) 【 范例導(dǎo)析 】 例 1 .已知任意四邊形 ABCD 的邊 AD 和 BC 的中點(diǎn)分別為 E、 F， 求證： 2AB DC EF?? . 分析 :構(gòu)造三角形 ,利用向量的三角形法則證明 . 證 明：如圖，連接 EB 和 EC ， 由 EA AB EB??和 EF FB EB??可得， EA AB EF FB? ? ? （ 1） 由 ED DC EC??和 EF FC EC??可得， ED DC EF FC? ? ? （ 2） （ 1） +（ 2）得， 2E A E D A B D C E F F B F C? ? ? ? ? ? （ 3） ∵ E、 F 分別為 AD 和 BC 的中點(diǎn)， ∴ 0EA ED??， 0FB FC??， 代入（ 3）式得， 2AB DC EF?? 點(diǎn)撥 :運(yùn)用向量加減法解決幾何問(wèn)題時(shí) ,需要發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造三角形或平行四邊形 . 例 ,OAOB 不共線， OP aOA bOB??,求證： A,P,B 三點(diǎn)共線的充要條件是 1ab?? 分析：證明三點(diǎn)共線可以通過(guò)向量共線來(lái)證明 . 解：先證必要性：若 A,P,B 三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù) ? ，使得 AP AB?? ,即 ? ?O P O A O B O A?? ? ?,∴? ?1,O P O A O B??? ? ?∵ OP aOA bOB??,∴ 1,ab??? ? ? ，∴ ?? 再證充分性：若 ?? 則 AP OP OA??=? ? ? ?1a O A b O B b O B O A? ? ? ?=bAB ,∴ AP 與 AB 共線，∴ A,P,B三點(diǎn)共線 . 點(diǎn)撥 :向量共線定理是向量知識(shí)中的一個(gè)基本定理 ,通?？梢宰C明三點(diǎn)共線、直線平行等問(wèn)題 . 【 反饋練習(xí) 】 1．已知向量 a和 b反向，則下列等式成立的是（ C） A. |a|－ |b|=|a－ b| B. |a|－ |b|=|a+b| C.|a|＋ |b|=|a－ b| D. |a|＋ |b|=|a+b| ABCD 中，有 1 ,2D C A B A D B C??則這個(gè)四邊形是（ C） A、 B、 C、 D、 O是平面上的任意五點(diǎn)，試化簡(jiǎn)： ① AB BC CD??， ② DB AC BD??， ③ OA OC OB CO? ? ? ?。 +cos15176。 sin105176。 D C E F A B 例 1 解析：①原式 = ()A B B C CD A C CD A D? ? ? ? ?； ②原式 = ( ) 0D B B D A C A C A C? ? ? ? ?； ③原式 = ( ) ( ) ( ) 0O B O A O C CO A B O C CO A B A B? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 b ；② (2a－ b) b－ 15 b2=0， 7a2－ 30 a x＝ 2a－ b,y＝ 3b－ a，則 x 與 y 的夾角的余弦值為 2114? 【 范例 導(dǎo)析 】 例 a＝ ( 3 ，－ 1)， b＝ (21 , 23 ). (1) 若存在實(shí)數(shù) k 和 t，便得 x＝ a＋ (t2－ 3)b, y＝－ ka＋ tb，且 x⊥ y，試求函數(shù)的關(guān)系式 k＝ f（ t） ； (2) 根據(jù) (1)的結(jié)論，確定 k＝ f(t)的單調(diào)區(qū)間。＞ 0得 t＜－ 1或 t＞ 1. 故 k＝ f(t)的單調(diào)遞減區(qū)間是 (－ 1, 1 )，單調(diào)遞增區(qū)間是（－∞，－ 1）和（ 1，＋∞） . 點(diǎn)撥 :第 1問(wèn)中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見(jiàn)的方法：一是先利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別求得兩個(gè)向量的坐標(biāo)，再利用向量垂直的充要條件；二 是直接利用向量的垂直的充要條件，其過(guò)程要用到向量的數(shù)量積公式及求模公式，達(dá)到同樣的求解目的（但運(yùn)算過(guò)程大大簡(jiǎn)化，值得注意）。(t) ＝ 43 t2－ 43 , 令 k180。 點(diǎn)撥 :注意運(yùn)用不同章節(jié)知識(shí)綜合處理問(wèn)題 ,對(duì)于求二次函數(shù)得分最值問(wèn)題 ,注意分類討論 . 【 反饋練習(xí) 】 1． 已知向量 ( 5,6)a?? ， (6,5)b? ，則 a 與 b （ A） A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 a= 71,22??????b= ?????? 27,21的夾解相等，且模為 1的向量是 4 3 4 3,5 5 5 5? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?或 ( 4 , 6) , (3 , 5 ),O A O B??且 , // ,OC OA AC OB? 則向量 OC 等于 ?????? ?214,72 5( 1 , 2) , ( 2 , 4) , | | 5 , ( ) ,2a b c a b c a c? ? ? ? ? ? ? ?若 則 與 的 夾 角 為120176。（ 7a5b） =0，（ a－ 4b） ∴ 00( ) | | | | c o s 1 2 0 | | | | c o s 1 2 0 0? ? ? ? ? ? ? ? ?a b c a c b c a c b c ∴ ( ) 0? ? ?a b c （ 2）∵ | | 1? ? ?ka b c ，即 2| | 1? ? ?ka b c 也就是 2 2 2 2 2 2 2 1? ? ? ? ? ? ? ? ?k a b c k a b k a c b c ∵ 12? ? ? ? ? ? ?a b b c a c，∴ 022 ?? kk 所以 0?k 或 2?k ． 解 :對(duì)于有關(guān)向量的長(zhǎng)度、夾角的求解以及垂直關(guān)系的判斷通常是運(yùn)用平面向量的數(shù)量積解決 . 例 ，在直角△ ABC 中，已知 BC a? ，若長(zhǎng)為 2a 的線段 PQ 以點(diǎn) A 為中點(diǎn)，問(wèn) BCPQ與 的夾角 ?取 何值時(shí) CQBP? 的值最大？并求出這個(gè)最大值新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 分析 :本題涉及向量較多 ,可通過(guò)向量的加減法則得 ( ) ( )B P CQ A P A B A Q A C? ? ? ? ?,再結(jié)合直角三 角形和各線段長(zhǎng)度特征法解決問(wèn)題 解： , 0 .A B A C A B A C? ? ? ? , , ,( ) ( )A P A Q B P A P A B CQ A Q A CB P CQ A P A B A Q A C? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 222222()1212c o s .AP AQ AP AC AB AQ AB ACa AP AC AB APa AP AB ACa PQ BCa PQ BCaa ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 2c o s 0 , ( ) , . .2 P Q B C B P CQ a???? ? ? ?故 當(dāng) 即 與 方 向 相 同 時(shí) 最 大 其 最 大 值 為 點(diǎn)撥 :運(yùn)用向 量的方法解決幾何問(wèn)題 ,充分體現(xiàn)了向量的工具性 ,對(duì)于大量幾何問(wèn)題 ,不僅可以用向量語(yǔ)言加以敘述 ,而且完全可以借助向量的方法予以證明和求解 ,從而把抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的向量運(yùn)算 . 【 反饋練習(xí) 】 a,b 滿足 1 4 , 2a = , b a b??且 , 則 a 與 b 的夾角為 3? ，在四邊形 ABCD 中， | | | | | | 4 ,A B B D D C? ? ?? ? ? 0,AB BD BD D C? ? ? ?? ? ? ? ???? ???? 4|||||||| DCBDBDAB ，則 ??? ?? ACDCAB )( 的值為 4 a,b 滿足 =1a =b ,a,b 的夾角為 60176。 1. 向量是具有大小和和方向的量，具有“數(shù)”和“形”的特點(diǎn)，向量是數(shù)形結(jié)合的橋梁，在處理向量問(wèn)題時(shí)注意用數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 . 2. 平面向量基本定理是處理向量問(wèn)題的基礎(chǔ)，也是平面向量坐標(biāo)表 示的基礎(chǔ)，它表明同一平面內(nèi)任意向量都可以表示為其他兩個(gè)不共線向量的線性組合 . 3. 向量的坐標(biāo)表示實(shí)際上是向量的代數(shù)形式，引入坐標(biāo)表示，可以把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題解決 . 4. 要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解決平面幾何及解析幾何中的簡(jiǎn)單問(wèn)題的方法 . 第 1 課 向量的概念及基本運(yùn)算 【考點(diǎn) 導(dǎo)讀 】 1. 理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示 . 2. 掌握向量的加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義 . 3. 了解平面向量基本定理及其意義 . 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 ： ① 若 ?ab，則 ?ab； ② 若 A、 B、 C、 D 是不共線的四點(diǎn)， 則 DCAB? 是四邊形為平行四邊形的充要條件； ③ 若 ,??a b b c ，則 ?ac； ④ ?ab的充要條件是 ?ab且 //ab； ⑤ 若 //ab，//bc，則 //ac。 cos75176。 =___1___． 【范例解析】