【正文】 tan 7x? ． 所以，原式 = 27 2 2 7 22 ( ) ( ) 2 ( ) 281 0 1 0 1 01 7 7 5? ? ? ? ? ? ? ???． 分析二： 2 2( )42xx??? ? ?． 解法二：原式 = si n 2 si n 2 tan1 tanx x xx??? sin 2 (1 ta n ) sin 2 ta n( )1 ta n 4xx xxx ??? ? ? ?? 又 2 7sin 2 sin [ 2( ) ] c os 2( ) [ 2 c os ( ) 1 ]4 2 4 4 25x x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以，原式 7 4 28()25 3 75? ? ? ? ?． 點評：觀察“角”之間的聯(lián)系以尋找解題思路． 【 反饋演練 】 1． 設(shè) )2,0( ??? ，若 3sin 5?? ，則 )4cos(2 ?? ? =__________． 2． 已知 tan 2? =2，則 tanα的值為 _______， tan()4??? 的值為 ___________ ． 3．若316sin ??????? ???，則 ?????? ? ?? 232cos=___________． 51 43? 17? 97? 12 4． 若 13c os ( ) , c os ( )55? ? ? ?? ? ? ?，則 tan tan??? ． 5．求值： 11si n 20 tan 40????_________． 6． 已知232,534c os ????? ????????? ?． 求 ?????? ? 42cos ??的 值 奎屯王新敞 新疆 解： ? ?.2s in2c o s2 24s in2s in4c o s2c o s42c o s ???????? ?????????? ? 又 3 c os 0 ,2 2 4? ? ?????? ? ? ?????且 ,47443 ???? ??? 544c o s14s in 2 ???????? ?????????? ?? ????奎屯王新敞 新疆 從而25244c os4s in222s in2c os ???????? ??????? ???????? ?? ???????， 2574c os2122c os2s in 2 ??????? ????????? ??? ?????奎屯王新敞 新疆 50 23125725242 242c o s ???????? ?????????? ?? ??奎屯王新敞 新疆 2020 高中數(shù)學(xué) 精講精練 第四章 平面向量與復(fù)數(shù) 【 知識 圖解】 Ⅰ .平面向量知識結(jié)構(gòu)表 Ⅱ .復(fù)數(shù)的知識結(jié)構(gòu)表 3 向量 向量的概念 向量的運算 向量的運用 向量的加、減法 實數(shù)與向量的積 向量的數(shù)量積 兩個向量平行的充要條件件件 兩個向量垂直的充要條件件件 數(shù)系的擴(kuò)充與 復(fù)數(shù)的引入 復(fù)數(shù)的概念 復(fù)數(shù)的運算 數(shù)系的擴(kuò)充 O A P Q B a b 第 4 題 【 方 法點撥 】 由于向量融形、數(shù)于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，使它成為了中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個重要交匯點，成為聯(lián)系眾多知識內(nèi)容的媒介。 復(fù)習(xí)鞏固相關(guān)的平面向量知識，既要注重回顧和梳理基礎(chǔ)知識，又要注意平面向量與其他知識的綜合運用，滲透用向量解決問題的思想方法，從而提高分析問題與綜合運用知識解決問題的能力，站在新的高度來認(rèn)識和理解向量。 b－ 3|b|2=2 42+5（－ 10）－ 3 52=－ 93. a 與 b 都是非零向量 ，且 a+3b 與 7a5b 垂直， a－ 4b 與 7a－ 2b 垂直，求 a 與 b 的夾角 . 解：∵且 a+3b 與 7a5b 垂直， a－ 4b 與 7a－ 2b 垂直， ∴（ a+3b）＝ f180。 分析 :利用向量知識轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解 . 解 :（ 1）法一：由題意知 x＝ ( 2 3322 ??t , 2 2323 2 ??t ), y＝ (21 t－ 3 k， 23 t＋ k)，又 x⊥ y 第 9 題 故 x (a+3b) 解：（ 1） |a+b|2=（ a+b） 2=a2+2ab+b2=|a|2+2a =___1___． 【范例解析】 例 8cos( ) 17????， 求 sin( 5 )??? ， tan(3 )??? 的值 ． 分析：利用誘導(dǎo)公式結(jié)合同角關(guān)系，求值． 解：由 8cos( ) 17????，得 8cos 017? ? ? ?， ?? 是第二，三象限角． 若 ? 是第二象限角，則 15sin( 5 ) sin 17? ? ?? ? ? ? ?， 15ta n( 3 ) ta n 8? ? ?? ? ? ?； 若 ? 是第三象限角，則 15sin ( 5 ) sin 17? ? ?? ? ? ?， 15ta n( 3 ) ta n 8? ? ?? ? ?． 點評：若已知正弦，余弦，正切的某一三角函數(shù)值，但沒有確定角所在的象限，可按角的象限進(jìn)行分類，做到不漏不重復(fù)． 例 ? 是三角形的內(nèi)角，若 1sin cos 5????，求 tan? 的值． 分析：先求出 sin cos??? 的值，聯(lián)立方程組 求解． 解：由 1sin cos 5????兩邊平方，得 11 2 sin c os 25??? ? ?，即 242 si n c os 025??? ? ? ? ?． 又 ? 是三角形的內(nèi)角， cos 0???， 2? ??? ? ? ． 由 2 49(sin c os ) 25????，又 sin cos 0????，得 7sin cos 5????． 聯(lián)立方程組1sin cos57sin cos5????? ?????? ????，解得4sin53cos5??? ????? ????，得 4tan 3??? ． 點評：由于 2( s i n c o s ) 1 2 s i n c o s? ? ? ?? ? ? ?，因此式子 sin cos??? ， sin cos??? ， sin cos???三者之間有密切的聯(lián)系，知其一，必能求其二． 【反饋演練】 1．已知 5sin 5?? ,則 44sin cos??? 的值為 _____． 3 513? － 3 53? 2．“21sin ?A”是“ A=30186。 1. 向量是具有大小和和方向的量，具有“數(shù)”和“形”的特點，向量是數(shù)形結(jié)合的橋梁，在處理向量問題時注意用數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 . 2. 平面向量基本定理是處理向量問題的基礎(chǔ)，也是平面向量坐標(biāo)表 示的基礎(chǔ)，它表明同一平面內(nèi)任意向量都可以表示為其他兩個不共線向量的線性組合 . 3. 向量的坐標(biāo)表示實際上是向量的代數(shù)形式，引入坐標(biāo)表示，可以把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決 . 4. 要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解決平面幾何及解析幾何中的簡單問題的方法 . 第 1 課 向量的概念及基本運算 【考點 導(dǎo)讀 】 1. 理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示 . 2. 掌握向量的加法、減法、數(shù)乘的運算，并理解其幾何意義 . 3. 了解平面向量基本定理及其意義 . 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 ： ① 若 ?ab，則 ?ab； ② 若 A、 B、 C、 D 是不共線的四點， 則 DCAB? 是四邊形為平行四邊形的充要條件； ③ 若 ,??a b b c ，則 ?ac； ④ ?ab的充要條件是 ?ab且 //ab； ⑤ 若 //ab，//bc，則 //ac。（ 7a5b） =0，（ a－ 4b）(t) ＝ 43 t2－ 43 , 令 k180。 x＝ 2a－ b,y＝ 3b－ a，則 x 與 y 的夾角的余弦值為 2114? 【 范例 導(dǎo)析 】 例 a＝ ( 3 ，－ 1)， b＝ (21 , 23 ). (1) 若存在實數(shù) k 和 t，便得 x＝ a＋ (t2－ 3)b, y＝－ ka＋ tb，且 x⊥ y，試求函數(shù)的關(guān)系式 k＝ f（ t） ； (2) 根據(jù) (1)的結(jié)論，確定 k＝ f(t)的單調(diào)區(qū)間。 b ；② (2a－ b) sin105176。其中，正確命題材的序號是 ② ③ 2. 化簡 AC? BD? CD? AB 得 0 ABCD 中， AB =a+2b， BC =－ 4a－ b， CD =－ 5a－ 3b，其中 a、 b 不共線，則四邊形 ABCD 為梯形 ，設(shè)點 P、 Q 是線段 AB 的三等分點， 若 OA＝ a， OB ＝ b，則 OP ＝ 2133?ab， OQ ＝ 1233?ab (用 a、 b 表示 ) 【 范例導(dǎo)析 】 例 1 .已知任意四邊形 ABCD 的邊 AD 和 BC 的中點分別為 E、 F， 求證： 2AB DC EF?? . 分析 :構(gòu)造三角形 ,利用向量的三角形法則證明 . 證 明：如圖，連接 EB 和 EC ， 由 EA AB EB??和 EF FB EB??可得， EA AB EF FB? ? ? （ 1） 由 ED DC EC??和 EF FC EC??可得， ED DC EF FC? ? ? （ 2） （ 1） +（ 2）得， 2E A E D A B D C E F F B F C? ? ? ? ? ? （ 3） ∵ E、 F 分別為 AD 和 BC 的中點， ∴ 0EA ED??， 0FB FC??， 代入（ 3）式得， 2AB DC EF?? 點撥 :運用向量加減法解決幾何問題時 ,需要發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造三角形或平行四邊形 . 例 ,OAOB 不共線， OP aOA bOB??,求證： A,P,B 三點共線的充要條件是 1ab?? 分析：證明三點共線可以通過向量共線來證明 . 解：先證必要性：若 A,P,B 三點共線，則存在實數(shù) ? ，使得 AP AB?? ,即 ? ?O P O A O B O A?? ? ?,∴? ?1,O P O A O B??? ? ?∵ OP aOA bOB??,∴ 1,ab??? ? ? ，∴ ?? 再證充分性：若 ?? 則 AP OP OA??=? ? ? ?1a O A b O B b O B O A? ? ? ?=bAB ,∴ AP 與 AB 共線，∴ A,P,B三點共線 . 點撥 :向量共線定理是向量知識中的一個基本定理 ,通?？梢宰C明三點共線、直線平行等問題 . 【 反饋練習(xí) 】 1．已知向量 a和 b反向，則下列等式成立的是（ C） A. |a|－ |b|=|a－ b| B. |a|－ |b|=|a+b| C.|a|＋ |b|=|a－ b| D. |a|＋ |b|=|a+b| ABCD 中，有 1 ,2D C A B A D B C??則這個四邊形是（ C） A、 B、 C、 D、 O是平面上的任意五點，試化簡： ① AB BC CD??， ② DB AC BD??， ③ OA OC OB CO? ? ? ?。（ 7a－ 2b） =0 ∴ 7a2＋ 16 a＜ 0得－ 1＜ t＜ 1；令 k180。 (1, 2 ), ( 2 , 3 ), ( 2 , 5 )A B C ?，試判斷則 △ ABC 的形狀 ____直角三角形 _____ (cos ,sin )a ??? ，向量 ( 3, 1)b??，則 2ab? 的最大值是 4 新疆源頭學(xué)子小屋特級教師王新敞htp::/ ,ab是非零向量且滿足 ( 2 )a b a??， ( 2 )b a b?? ，則 a 與 b 的夾角是 3? ： a 、 b 、 c 是同一平面內(nèi)的三個向量，其中 a =（ 1， 2） （ 1）若 |c | 52? ，且 //ca，求 c 的坐標(biāo)； （ 2）若 |b |= ,25 且 2ab? 與 2ab? 垂直，求 a 與 b 的夾角 ? . 解：（ 1）設(shè) ()c? x,y ，由 //ca和 25c? 可得： ??? 2002122 ?????? yx xy ∴ ??? 42??yx 或 ??? 42????yx ∴ (2,4)c? ，或 ( 2, 4)c? ? ? （ 2） ( 2 ) ( 2 ) ,a b a b? ? ?( 2 ) ( 2 ) 0a b a b? ? ? ? 即 222 3 2 0 ,a a b b? ? ? ? 222 | | 3 2 | | 0a a b b? ? ? ? ? ∴ 52 5 3 2 04ab? ? ? ? ? ?， 所以 52ab? ?? ∴ c o s 1 ,| | | |abab? ?? ? ??