【文章內(nèi)容簡介】 件件件 數(shù)系的擴充與 復(fù)數(shù)的引入 復(fù)數(shù)的概念 復(fù)數(shù)的運算 數(shù)系的擴充 O A P Q B a b 第 4 題 【 方 法點撥 】 由于向量融形、數(shù)于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，使它成為了中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個重要交匯點，成為聯(lián)系眾多知識內(nèi)容的媒介。所以，向量成為了“在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計試題”的很好載體。從高考新課程卷來看，對向量的考查 力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，將向量與解析幾何、向量與三角等內(nèi)容相結(jié)合，在知識交匯點處命題，既是當(dāng)今高考的熱點，又是重點。 復(fù)習(xí)鞏固相關(guān)的平面向量知識，既要注重回顧和梳理基礎(chǔ)知識，又要注意平面向量與其他知識的綜合運用，滲透用向量解決問題的思想方法，從而提高分析問題與綜合運用知識解決問題的能力，站在新的高度來認(rèn)識和理解向量。 1. 向量是具有大小和和方向的量，具有“數(shù)”和“形”的特點，向量是數(shù)形結(jié)合的橋梁，在處理向量問題時注意用數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 . 2. 平面向量基本定理是處理向量問題的基礎(chǔ)，也是平面向量坐標(biāo)表 示的基礎(chǔ)，它表明同一平面內(nèi)任意向量都可以表示為其他兩個不共線向量的線性組合 . 3. 向量的坐標(biāo)表示實際上是向量的代數(shù)形式，引入坐標(biāo)表示，可以把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決 . 4. 要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解決平面幾何及解析幾何中的簡單問題的方法 . 第 1 課 向量的概念及基本運算 【考點 導(dǎo)讀 】 1. 理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示 . 2. 掌握向量的加法、減法、數(shù)乘的運算，并理解其幾何意義 . 3. 了解平面向量基本定理及其意義 . 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 ： ① 若 ?ab，則 ?ab； ② 若 A、 B、 C、 D 是不共線的四點， 則 DCAB? 是四邊形為平行四邊形的充要條件； ③ 若 ,??a b b c ，則 ?ac； ④ ?ab的充要條件是 ?ab且 //ab； ⑤ 若 //ab，//bc，則 //ac。其中，正確命題材的序號是 ② ③ 2. 化簡 AC? BD? CD? AB 得 0 ABCD 中， AB =a+2b， BC =－ 4a－ b， CD =－ 5a－ 3b，其中 a、 b 不共線，則四邊形 ABCD 為梯形 ，設(shè)點 P、 Q 是線段 AB 的三等分點， 若 OA＝ a， OB ＝ b，則 OP ＝ 2133?ab， OQ ＝ 1233?ab (用 a、 b 表示 ) 【 范例導(dǎo)析 】 例 1 .已知任意四邊形 ABCD 的邊 AD 和 BC 的中點分別為 E、 F， 求證： 2AB DC EF?? . 分析 :構(gòu)造三角形 ,利用向量的三角形法則證明 . 證 明：如圖，連接 EB 和 EC ， 由 EA AB EB??和 EF FB EB??可得， EA AB EF FB? ? ? （ 1） 由 ED DC EC??和 EF FC EC??可得， ED DC EF FC? ? ? （ 2） （ 1） +（ 2）得， 2E A E D A B D C E F F B F C? ? ? ? ? ? （ 3） ∵ E、 F 分別為 AD 和 BC 的中點， ∴ 0EA ED??， 0FB FC??， 代入（ 3）式得， 2AB DC EF?? 點撥 :運用向量加減法解決幾何問題時 ,需要發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造三角形或平行四邊形 . 例 ,OAOB 不共線， OP aOA bOB??,求證： A,P,B 三點共線的充要條件是 1ab?? 分析：證明三點共線可以通過向量共線來證明 . 解：先證必要性：若 A,P,B 三點共線，則存在實數(shù) ? ，使得 AP AB?? ,即 ? ?O P O A O B O A?? ? ?,∴? ?1,O P O A O B??? ? ?∵ OP aOA bOB??,∴ 1,ab??? ? ? ，∴ ?? 再證充分性：若 ?? 則 AP OP OA??=? ? ? ?1a O A b O B b O B O A? ? ? ?=bAB ,∴ AP 與 AB 共線，∴ A,P,B三點共線 . 點撥 :向量共線定理是向量知識中的一個基本定理 ,通?？梢宰C明三點共線、直線平行等問題 . 【 反饋練習(xí) 】 1．已知向量 a和 b反向，則下列等式成立的是（ C） A. |a|－ |b|=|a－ b| B. |a|－ |b|=|a+b| C.|a|＋ |b|=|a－ b| D. |a|＋ |b|=|a+b| ABCD 中，有 1 ,2D C A B A D B C??則這個四邊形是（ C） A、 B、 C、 D、 O是平面上的任意五點，試化簡： ① AB BC CD??， ② DB AC BD??， ③ OA OC OB CO? ? ? ?。 D C E F A B 例 1 解析：①原式 = ()A B B C CD A C CD A D? ? ? ? ?； ②原式 = ( ) 0D B B D A C A C A C? ? ? ? ?； ③原式 = ( ) ( ) ( ) 0O B O A O C CO A B O C CO A B A B? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 x 為未知向量， a 、 b 為已知向量， x 滿足方程 2x ?(5a +3x ?4b )+21 a?3b =0， 則 x = 92ab??（用 a 、 b 表示） OABC 中， O A , O B , O C , Da b c? ? ?為 BC 的中點， E 為 AD 的中點，則 OE = 1 1 12 4 4a b c??（用 a， b， c 表示） 6 如圖平行四邊形 OADB 的對角線 OD,AB 相交于點 C，線段 BC上有一點 M 滿足 BC=3BM,線段 CD上有一點 N 滿足 CD＝ 3CN,設(shè) O A , O B , , O M , O N , M Na b a b?? 試 用 表 示 解： ? ? ? ?1 1 1 1 1B M = B C= B A , B M = B A = O A O B =3 6 6 6 6 ab?? 15O M = O B+ B M 66ab? ? ? . ODCDONCDCN 3234,31 ????? ? ? ? ?2 2 2O N = O D = O A + O B3 3 3 ab? ? ? 11MN = O N O M 26ab? ? ? 第 2 課 向量的數(shù)量積 【考點 導(dǎo)讀 】 1. 理解平面向量數(shù)量積的含義及幾何意義 . 2. 掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算律 . 3. 掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式 . 4. 能用平面向量數(shù)量積處理有關(guān)垂直、角度、長度的問題 . 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 ,ab均為單位向量，它們的夾角為 060 ，那么 3??ab13 xOy 中， ,ij分別是與 x 軸， y 軸平行的單位向量，若直角三角形 ABC 中， 2??AB i j ，3??AC i kj ，則 k 的可能值 個數(shù)為 2 個 3. 若 1?a , 2?b ， a 與 b 的夾角為 060 ， 若 (3 +5 )?ab ()?ma b ，則 m 的值為 238 | | 1, | | 2 ,? ? ? ?a b c a b，且 ?ca，則向量 a 與 b 的夾角為 120176。 【 范例導(dǎo)析 】 第 6 題 例 a 與 b 的夾角為 0120 ，若 2 , 3? ? ? ?c a b d b a，試求 c 與 d 的夾角的余弦值。 分析 :利用 2 2?aa及 cos? ???abab求解 . 解：由題意， 1??ab ，且 a 與 b 的夾角為 0120 ，所以， 1c os 12 02? ? ? ? ?a b a b，? ? ? ?2 222 2 4 4 7? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?c c c a b a b a a b b7??c ，同理可得 2 4 13? ? ?d b ac 而 ??cd 22 17( 2 ) ( 3 ) 7 3 2 2? ? ? ? ? ? ? ? ?a b b a a b b a，設(shè) ? 為 c 與 d 的 夾 角 ， 則1 7 1 7 9 1c o s 1822 7 1 3? ? ? ? ? 點評：向量的模的求法和向量間的乘法計算可見一斑。 例 a 、 b 、 c 的模均為 1，它們相互之間的夾角均為 120176。， （ 1）求證： ()?ab⊥ c ；（ 2）若 | | 1? ? ?ka b c )( Rk? ， 求 k 的取值范圍 . 分析 :問題（ 1）通過證明 ( ) 0? ? ?a b c 證明 ()??a b c ,問題（ 2）可以利用 ? ? 22||? ? ? ? ?k a b c k a b c 解：（ 1）∵ | | | | | | 1? ? ?a b c ，且 a 、 b 、 c 之間的夾角均為 120176。， ∴ 00( ) | | | | c o s 1 2 0 | | | | c o s 1 2 0 0? ? ? ? ? ? ? ? ?a b c a c b c a c b c ∴ ( ) 0? ? ?a b c （ 2）∵ | | 1? ? ?ka b c ，即 2| | 1? ? ?ka b c 也就是 2 2 2 2 2 2 2 1? ? ? ? ? ? ? ? ?k a b c k a b k a c b c ∵ 12? ? ? ? ? ? ?a b b c a c，∴ 022 ?? kk 所以 0?k 或 2?k ． 解 :對于有關(guān)向量的長度、夾角的求解以及垂直關(guān)系的判斷通常是運用平面向量的數(shù)量積解決 . 例 ，在直角△ ABC 中，已知 BC a? ，若長為 2a 的線段 PQ 以點 A 為中點，問 BCPQ與 的夾角 ?取 何值時 CQBP? 的值最大？并求出這個最大值新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/ 分析 :本題涉及向量較多 ,可通過向量的加減法則得 ( ) ( )B P CQ A P A B A Q A C? ? ? ? ?,再結(jié)合直角三 角形和各線段長度特征法解決問題 解： , 0 .A B A C A B A C? ? ? ? , , ,( ) ( )A P A Q B P A P A B CQ A Q A CB P CQ A P A B A Q A C? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 222222()1212c o s .AP AQ AP AC AB AQ AB ACa AP AC AB APa AP AB ACa PQ BCa PQ BCaa ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 2c o s 0 , ( ) , . .2 P Q B C B P CQ a???? ? ? ?故 當(dāng) 即 與 方 向 相 同 時 最 大 其 最 大 值 為 點撥 :運用向 量的方法解決幾何問題 ,充分體現(xiàn)了向量的工具性 ,對于大量幾何問題 ,不僅可以用向量語言加以敘述 ,而且完全可以借助向量的方法予以證明和求解 ,從而把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的向量運算 . 【 反饋練習(xí) 】 a,b 滿足 1 4 , 2a = , b a b??且 , 則 a 與 b 的夾角為 3? ，在四邊形 ABCD 中， | | | | | | 4 ,A B B D D C? ? ?? ? ? 0,AB BD BD D C? ? ? ?? ? ? ? ???? ???? 4|||||||| DCBDBDAB ，則 ??? ?? ACDCAB )( 的值為 4 a,b 滿足 =1a =b ,a,b 的夾角為 60176。，則 aa+ab =32 1 2 , 2a = , b a b??且 ,則 ab?+ 6 | a|=4,|b|=5,|a+b|= 21 ,求：① a b ；② (2a－ b) (a+3b) 解：（ 1） |a+b|2=（ a+b） 2=a2+2ab+b2=|a|2+2a b+|b|2，∴ 2 2 2 102a b a bab ? ? ?? ? ? （ 2）（ 2a－ b）（ a+3b） =2a2+5a b－ 3b2=2|a|2+5a b－ 3|b|2=2 42+5（－ 10）－ 3 52=－ 93. a 與 b 都是非零向量 ，且 a+3b 與 7a5b 垂直， a－ 4b 與 7a－ 2b 垂直，求 a 與 b 的夾角 . 解：∵且 a+3b 與 7a5b 垂直， a－ 4b 與 7a－ 2b 垂直， ∴（ a+3b）（ 7a5b） =0，（ a－ 4b）（ 7a－ 2b） =0