【正文】 ?????? ? ? ?cos2 1cos2????． 7．求證： 2 2 2s in 2 2 c o s c o s 2 2 c o sx x x x??． 證明：左邊 = 2 2 24 sin c o s 2 c o s c o s 2x x x x? 2 2 2 22 c o s ( 2 s i n 1 2 c o s ) 2 c o sx x x x? ? ? ?=右邊． 8．化簡： 22s i n s i n 2 s i n s i n c o s ( )? ? ? ? ? ?? ? ?． 解：原 式 = 22s i n s i n 2 s i n s i n ( c o s c o s s i n s i n )? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 2 2 2s i n s i n 2 s i n s i n c o s c o s 2 s i n s i n? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 2 2 2s i n ( 1 s i n ) s i n ( 1 s i n ) 2 s i n s i n c o s c o s? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 2 2 2s i n c o s s i n c o s 2 s i n s i n c o s c o s? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2( s i n c o s s i n c o s )? ? ? ??? 2sin ( )????． 第 4 課 兩角和與差及倍角公式（二） 【考點導(dǎo)讀】 ，二倍角公式求三角函數(shù)值； ：“給角求值”，“給值求值”，“給值求角” ． 【基礎(chǔ)練習(xí) 】 1．寫出 下列各式 的值： )3,4( ?? 12 23 （ 1） 2 sin15 cos15? ??_________； （ 2） 22cos 15 sin 15?? ? ?_________； （ 3） 22sin 15 1?? ?_________； （ 4） 22sin 15 cos 15?? ? ?____1_____． 2．已知 3( , ), sin ,25?? ? ???則 tan( )4???=_________． 3． 求值：（ 1） 1 tan151 tan15?????_______；（ 2） 5cos cos12 12???_________． 4． 求值： ta n 10 ta n 20 3 ( ta n 10 ta n 20 )? ? ? ? ? ? ? ?____1____． 5． 已知 tan 32??，則 cos?? ________． 6．若 cos 2 2π 2sin4???????????，則 cos sin????_________． 【范例解析】 例 ：（ 1） sin 40 (ta n 10 3 )? ??； （ 2） 2 s in 5 0 s in 8 0 (1 3 ta n 1 0 )1 c o s 1 0? ? ? ? ???． 分析：切化弦，通分 ． 解：（ 1）原式 = si n 10si n 40 ( 3 )c os 10 ????= si n 10 3 c os 10si n 40 c os 10? ? ??? ? 2 si n( 10 60 )si n 40 c os 10? ? ?? ?? ? 2 c os 40sin 40 c os 10 ?? ? ?? ?sin 80 1cos10??? ? ?? ． （ 2） si n 10 c os 10 3 si n 10 2 si n 401 3 ta n 10 1 3 c os 10 c os 10 c os 10? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?，又 1 cos10 2 cos 5? ? ? ?． 原式 = 2 s i n 4 02 s i n 5 0 s i n 8 0 2 ( s i n 5 0 s i n 4 0 )c o s 1 02 c o s 5 2 c o s 5?? ? ? ? ? ? ?????2 2 cos 5 22 cos 5 ???? ． 點評：給角求值，注意尋找所給角與特殊角的聯(lián)系，如互余，互補等，利用誘導(dǎo)公式，和與差公式，二倍角公式進行轉(zhuǎn)換． 例 4cos( ) 5??? ? ?， 12cos( ) 13????，且 ( , )2?? ? ??? ， 3( , 2 )2?? ? ??? ，求 cos2? ，cos2? ． 分析： 2 ( ) ( )? ? ? ? ?? ? ? ?， 2 ( ) ( )? ? ? ? ?? ? ? ?． 解：由 4cos( ) 5??? ? ?， ( , )2?? ? ??? ，得 3sin( ) 5????，同理，可得 5sin ( ) 13??? ? ? 32? 17 14 33 －54 12 33c os 2 c os [ ( ) ( ) ] 65? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?，同理，得 63cos2 65? ?? ． 點評：尋求“已知角”與“未知角”之間的聯(lián)系，如： 2 ( ) ( )? ? ? ? ?? ? ? ?， 2 ( ) ( )? ? ? ? ?? ? ? ?等． 例 3cos( )45x? ??， 17 712 4x????，求 2sin 2 2 sin1 tanxxx?? 的值． 分析一： ()44xx??? ? ?． 解法一： 17 712 4x???? ， 5 234x?? ?? ? ? ?， 又 3cos( )45x? ??， 4si n( )45x?? ? ? ?， 4tan( )43x? ? ? ?． 2c os c os[ ( ) ]4 4 10xx??? ? ? ? ?， 72sin 10x? ? ? ， tan 7x? ． 所以，原式 = 27 2 2 7 22 ( ) ( ) 2 ( ) 281 0 1 0 1 01 7 7 5? ? ? ? ? ? ? ???． 分析二： 2 2( )42xx??? ? ?． 解法二：原式 = si n 2 si n 2 tan1 tanx x xx??? sin 2 (1 ta n ) sin 2 ta n( )1 ta n 4xx xxx ??? ? ? ?? 又 2 7sin 2 sin [ 2( ) ] c os 2( ) [ 2 c os ( ) 1 ]4 2 4 4 25x x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以，原式 7 4 28()25 3 75? ? ? ? ?． 點評：觀察“角”之間的聯(lián)系以尋找解題思路． 【 反饋演練 】 1． 設(shè) )2,0( ??? ，若 3sin 5?? ，則 )4cos(2 ?? ? =__________． 2． 已知 tan 2? =2，則 tanα的值為 _______， tan()4??? 的值為 ___________ ． 3．若316sin ??????? ???，則 ?????? ? ?? 232cos=___________． 51 43? 17? 97? 12 4． 若 13c os ( ) , c os ( )55? ? ? ?? ? ? ?，則 tan tan??? ． 5．求值： 11si n 20 tan 40????_________． 6． 已知232,534c os ????? ????????? ?． 求 ?????? ? 42cos ??的 值 奎屯王新敞 新疆 解： ? ?.2s in2c o s2 24s in2s in4c o s2c o s42c o s ???????? ?????????? ? 又 3 c os 0 ,2 2 4? ? ?????? ? ? ?????且 ,47443 ???? ??? 544c o s14s in 2 ???????? ?????????? ?? ????奎屯王新敞 新疆 從而25244c os4s in222s in2c os ???????? ??????? ???????? ?? ???????， 2574c os2122c os2s in 2 ??????? ????????? ??? ?????奎屯王新敞 新疆 50 23125725242 242c o s ???????? ?????????? ?? ??奎屯王新敞 新疆 2020 高中數(shù)學(xué) 精講精練 第四章 平面向量與復(fù)數(shù) 【 知識 圖解】 Ⅰ .平面向量知識結(jié)構(gòu)表 Ⅱ .復(fù)數(shù)的知識結(jié)構(gòu)表 3 向量 向量的概念 向量的運算 向量的運用 向量的加、減法 實數(shù)與向量的積 向量的數(shù)量積 兩個向量平行的充要條件件件 兩個向量垂直的充要條件件件 數(shù)系的擴充與 復(fù)數(shù)的引入 復(fù)數(shù)的概念 復(fù)數(shù)的運算 數(shù)系的擴充 O A P Q B a b 第 4 題 【 方 法點撥 】 由于向量融形、數(shù)于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，使它成為了中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個重要交匯點，成為聯(lián)系眾多知識內(nèi)容的媒介。 1. 向量是具有大小和和方向的量，具有“數(shù)”和“形”的特點，向量是數(shù)形結(jié)合的橋梁，在處理向量問題時注意用數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 . 2. 平面向量基本定理是處理向量問題的基礎(chǔ)，也是平面向量坐標(biāo)表 示的基礎(chǔ)，它表明同一平面內(nèi)任意向量都可以表示為其他兩個不共線向量的線性組合 . 3. 向量的坐標(biāo)表示實際上是向量的代數(shù)形式，引入坐標(biāo)表示，可以把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決 . 4. 要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解決平面幾何及解析幾何中的簡單問題的方法 . 第 1 課 向量的概念及基本運算 【考點 導(dǎo)讀 】 1. 理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示 . 2. 掌握向量的加法、減法、數(shù)乘的運算，并理解其幾何意義 . 3. 了解平面向量基本定理及其意義 . 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 ： ① 若 ?ab，則 ?ab； ② 若 A、 B、 C、 D 是不共線的四點， 則 DCAB? 是四邊形為平行四邊形的充要條件； ③ 若 ,??a b b c ，則 ?ac； ④ ?ab的充要條件是 ?ab且 //ab； ⑤ 若 //ab，//bc，則 //ac。 【 范例導(dǎo)析 】 第 6 題 例 a 與 b 的夾角為 0120 ，若 2 , 3? ? ? ?c a b d b a，試求 c 與 d 的夾角的余弦值。 ∴ 00( ) | | | | c o s 1 2 0 | | | | c o s 1 2 0 0? ? ? ? ? ? ? ? ?a b c a c b c a c b c ∴ ( ) 0? ? ?a b c （ 2）∵ | | 1? ? ?ka b c ，即 2| | 1? ? ?ka b c 也就是 2 2 2 2 2 2 2 1? ? ? ? ? ? ? ? ?k a b c k a b k a c b c ∵ 12? ? ? ? ? ? ?a b b c a c，∴ 022 ?? kk 所以 0?k 或 2?k ． 解 :對于有關(guān)向量的長度、夾角的求解以及垂直關(guān)系的判斷通常是運用平面向量的數(shù)量積解決 . 例 ，在直角△ ABC 中，已知 BC a? ，若長為 2a 的線段 PQ 以點 A 為中點，問 BCPQ與 的夾角 ?取 何值時 CQBP? 的值最大？并求出這個最大值新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 分析 :本題涉及向量較多 ,可通過向量的加減法則得 ( ) ( )B P CQ A P A B A Q A C? ? ? ? ?,再結(jié)合直角三 角形和各線段長度特征法解決問題 解： , 0 .A B A C A B A C? ? ? ? , , ,( ) ( )A P A Q B P A P A B CQ A Q A CB P CQ A P A B A Q A C? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 222222()1212c o s .AP AQ AP AC AB AQ AB ACa AP AC AB APa AP AB ACa PQ BCa PQ BCaa ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 2c o s 0 , ( ) , . .2 P Q B C B P CQ a???? ? ? ?故 當(dāng) 即 與 方 向 相 同 時 最 大 其 最 大 值 為 點撥 :運用向 量的方法解決幾何問題 ,充分體現(xiàn)了向量的工具性 ,對于大量幾何問題 ,不僅可以用向量語言加以敘述 ,而且完全可以借助向量的方法予以證明和求解 ,從而把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的向量運算 . 【 反饋練習(xí) 】