【正文】 MN，所以當(dāng)PD＝MN時，四邊形MNPD為平行四邊形，根據(jù)該等量關(guān)系列出方程﹣2m2+4m＝，通過解方程求得m的值，易得點(diǎn)N、P的坐標(biāo)，然后推知PN＝MN是否成立即可；（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（n，﹣2n2+2n+4），P（n，﹣2n+4）．根據(jù)S四邊形BOAD＝S△BOA+S△ABD＝4+S△ABD，則當(dāng)S△ABD取最大值時，S四邊形BOAD最大．根據(jù)三角形的面積公式得到函數(shù)S△ABD＝﹣2（n﹣1）2+2．由二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值．【詳解】解：①如圖1，∵頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是，∴設(shè)拋物線解析式為y＝（a≠0）．∵直線y＝﹣2x+4交y軸于點(diǎn)B，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，4）．又∵點(diǎn)B在該拋物線上，∴＝4，解得a＝﹣2．故該拋物線的解析式為：y＝＝﹣2x2+2x+4；②不存在．理由如下：∵拋物線y＝的對稱軸是直線x＝，且該直線與直線AB交于點(diǎn)N，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)是．∴．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（m，﹣2m+4），則D（m，﹣2m2+2m+4），∴PD＝（﹣2m2+2m+4）﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m．∵PD∥MN．當(dāng)PD＝MN時，四邊形MNPD是平行四邊形，即﹣2m2+4m＝．解得 m1＝（舍去），m2＝．此時P（，1）．∵PN＝，∴PN≠M(fèi)N，∴平行四邊形MNPD不是菱形．∴不存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形；（2）存在，理由如下：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（n，﹣2n2+2n+4），∵點(diǎn)P在線段AB上且直線PD⊥x軸，∴P（n，﹣2n+4）．由圖可知S四邊形BOAD＝S△BOA+S△ABD．其中S△BOA＝OB?OA＝42＝4．則當(dāng)S△ABD取最大值時，S四邊形BOAD最大．S△ABD＝（yD﹣yP）（xA﹣xB）＝y(tǒng)D﹣yP＝﹣2n2+2n+4﹣（﹣2n+4）＝﹣2n2+4n＝﹣2（n﹣1）2+2．當(dāng)n＝1時，S△ABD取得最大值2，S四邊形BOAD有最大值．此時點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，4）．【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．6．已知二次函數(shù)的圖象以A（﹣1，4）為頂點(diǎn)，且過點(diǎn)B（2，﹣5）（1）求該函數(shù)的關(guān)系式；（2）求該函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）將該函數(shù)圖象向右平移，當(dāng)圖象經(jīng)過原點(diǎn)時，A、B兩點(diǎn)隨圖象移至A′、B′，求△O A′B′的面積．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）拋物線與x軸的交點(diǎn)為：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可用頂點(diǎn)式設(shè)該二次函數(shù)的解析式，然后將B點(diǎn)坐標(biāo)代入，即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)解析式，令x=0，可求得拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；令y=0，可求得拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）由（2）可知：拋物線與x軸的交點(diǎn)分別在原點(diǎn)兩側(cè)，由此可求出當(dāng)拋物線與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)平移到原點(diǎn)時，拋物線平移的單位，由此可求出A′、B′的坐標(biāo)．由于△OA′B′不規(guī)則，可用面積割補(bǔ)法求出△OA′B′的面積．【詳解】（1）設(shè)拋物線頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）2+4，將B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴該函數(shù)的解析式為：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此拋物線與y軸的交點(diǎn)為：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即拋物線與x軸的交點(diǎn)為：（﹣3，0），（1，0）；（3）設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)為M、N（M在N的左側(cè)），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），當(dāng)函數(shù)圖象向右平移經(jīng)過原點(diǎn)時，M與O重合，因此拋物線向右平移了3個單位，故A39?！唷鰾CD是直角三角形；（3）如圖，∵B（0，﹣3），C（3，0），∴直線BC解析式為y=x﹣3，∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，PM⊥x軸，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，∵點(diǎn)P在直線BC上，點(diǎn)M在拋物線上，∴P（t，t﹣3），M（t，），過點(diǎn)Q作QF⊥PM，∴△PQF是等腰直角三角形，∵PQ=，∴QF=1．①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M上方時，即0＜t＜3時，PM=t﹣3﹣（）=，∴S=PMQF==，②如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M下方時，即t＜0或t＞3時，PM=﹣（t﹣3）=，∴S=PMQF=（）=．綜上所述，S=．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；分類討論．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)交軸于點(diǎn)、交軸于點(diǎn)，在軸上有一點(diǎn)，連接. （1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)為拋物線在軸負(fù)半軸上方的一個動點(diǎn)，求面積的最大值；（3）拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形，若存在，請直接寫出所有點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請說明理由.【答案】（1）二次函數(shù)的解析式為；（2）當(dāng)時，的面積取得最大值；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為，.【解析】分析：（1）把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得出方程組求解即可； （2）根據(jù)函數(shù)解析式設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo)，過點(diǎn)D作DG⊥x軸，交AE于點(diǎn)F，表示△ADE的面積，運(yùn)用二次函數(shù)分析最值即可； （3）設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三種情況討論分析即可．詳解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），∴，解得：，所以二次函數(shù)的解析式為：y=；（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直線解析式為y=，過點(diǎn)D作DN⊥x軸，交AE于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥DF，垂足為H，如圖， 設(shè)D（m，），則點(diǎn)F（m，），∴DF=﹣（）=，∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=DFAG+DFEH =DFAG+DFEH =4DF =2（） =，∴當(dāng)m=時，△ADE的面積取得最大值為． （3）y=的對稱軸為x=﹣1，設(shè)P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三種情況討論：當(dāng)PA=PE時，=，解得：n=1，此時P（﹣1，1）； 當(dāng)PA=AE時，=，解得：n=，此時點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，）； 當(dāng)PE=AE時，=，解得：n=﹣2，此時點(diǎn)P坐標(biāo)為：（﹣1，﹣2）． 綜上所述：P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．點(diǎn)睛：本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會求拋物線解析式，會運(yùn)用二次函數(shù)分析三角形面積的最大值，會分類討論解決等腰三角形的頂點(diǎn)的存在問題時解決此題的關(guān)鍵．4．如圖1，二次函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，與軸交于點(diǎn).（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)。∴△PFD∽△BOC，∴，由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5，故△BOC的周長=12，∴，即L=﹣（m﹣2）2+，∴當(dāng)m=2時，L最大=；（3）存在這樣的Q點(diǎn)，使得四邊形CDPQ是菱形，如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q落在y軸上時，四邊形CDPQ是菱形，理由是：由軸對稱的性質(zhì)知：