【正文】 綜合性強(qiáng)，難度較大．10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為A的拋物線與x軸交于B、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，已知A(1，4)，B(3，0)．(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式；(2)探究：如圖1，連接OA，作DE∥OA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OE交AD于點(diǎn)F，M是BE的中點(diǎn)，則OM是否將四邊形OBAD分成面積相等的兩部分？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)應(yīng)用：如圖2，P(m，n)是拋物線在第四象限的圖象上的點(diǎn)，且m+n＝﹣1，連接PA、PC，在線段PC上確定一點(diǎn)M，使AN平分四邊形ADCP的面積，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．提示：若點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，)．【答案】(1)y＝﹣x2+2x﹣3；(2)OM將四邊形OBAD分成面積相等的兩部分，理由見(jiàn)解析；(3)點(diǎn)N(，﹣)．【解析】【分析】(1)函數(shù)表達(dá)式為：y＝a(x﹣1)2+4，將點(diǎn)B坐標(biāo)的坐標(biāo)代入上式，即可求解；(2)利用同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等，即可求解；(3)由(2)知：點(diǎn)N是PQ的中點(diǎn)，根據(jù)C,P點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線PC的解析式，同理求出AC,DQ的解析式，并聯(lián)立方程求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，從而即可求N點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】(1)函數(shù)表達(dá)式為：y＝a(x﹣1)2+4，將點(diǎn)B坐標(biāo)的坐標(biāo)代入上式得：0＝a(3﹣1)2+4，解得：a＝﹣1，故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x﹣3；(2)OM將四邊形OBAD分成面積相等的兩部分，理由：如圖1，∵DE∥AO，S△ODA＝S△OEA，S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四邊形OMAD＝S△OBM，∴S△OME＝S△OBM，∴S四邊形OMAD＝S△OBM；(3)設(shè)點(diǎn)P(m，n)，n＝﹣m2+2m+3，而m+n＝﹣1，解得：m＝﹣1或4，故點(diǎn)P(4，﹣5)；如圖2，故點(diǎn)D作QD∥AC交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，由(2)知：點(diǎn)N是PQ的中點(diǎn)，設(shè)直線PC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)C(﹣1，0)、P(4，﹣5)的坐標(biāo)代入得：，解得：，所以直線PC的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣1…①，同理可得直線AC的表達(dá)式為：y＝2x+2，直線DQ∥CA，且直線DQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(0，3)，同理可得直線DQ的表達(dá)式為：y＝2x+3…②，聯(lián)立①②并解得：x＝﹣，即點(diǎn)Q(﹣，)，∵點(diǎn)N是PQ的中點(diǎn)，由中點(diǎn)公式得：點(diǎn)N(，﹣)．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、圖形面積的計(jì)算等，其中(3)直接利用(2)的結(jié)論，即點(diǎn)N是PQ的中點(diǎn)，是本題解題的突破點(diǎn)．11．如圖，拋物線經(jīng)過(guò)x軸上的點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B及y軸上的點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線為．①求拋物線的解析式．②點(diǎn)P從A出發(fā)，在線段AB上以每秒1個(gè)單位的速度向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從B出發(fā)，在線段BC上以每秒2個(gè)單位的速度向C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求t為何值時(shí)，△PBE的面積最大并求出最大值．③過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M，過(guò)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)N（不與點(diǎn)B、C重合）作直線AM的平行線交直線BC于點(diǎn)Q．若點(diǎn)A、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)．【答案】①；②當(dāng)時(shí)，△PBE的面積最大，最大值為；③點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為：4或或．【解析】【分析】①點(diǎn)B、C在直線為上，則B（﹣n，0）、C（0，n），點(diǎn)A（1，0）在拋物線上，所以，解得，因此拋物線解析式：；②先求出點(diǎn)P到BC的高h(yuǎn)為，于是，當(dāng)時(shí)，△PBE的面積最大，最大值為；③由①知，BC所在直線為：，所以點(diǎn)A到直線BC的距離，過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線交直線BC于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)H．設(shè)，則、易證△PQN為等腰直角三角形，即，Ⅰ．，所以解得（舍去），Ⅱ．，解得，（舍去），Ⅲ．，解得（舍去），．【詳解】解：①∵點(diǎn)B、C在直線為上，∴B（﹣n，0）、C（0，n），∵點(diǎn)A（1，0）在拋物線上，∴，∴，∴拋物線解析式：；②由題意，得，，由①知，∴點(diǎn)P到BC的高h(yuǎn)為，∴，當(dāng)時(shí)，△PBE的面積最大，最大值為；③由①知，BC所在直線為：，∴點(diǎn)A到直線BC的距離，過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線交直線BC于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)H．設(shè)，則、易證△PQN為等腰直角三角形，即，∴，Ⅰ．，∴解得，∵點(diǎn)A、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴；Ⅱ．，∴解得，∵點(diǎn)A、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴，Ⅲ．，∴，解得，∵點(diǎn)A、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴，綜上所述，若點(diǎn)A、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為：4或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．已知矩形ABCD中，AB=5cm，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，且AP=.如圖①，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，在矩形邊上沿著的方向勻速運(yùn)動(dòng)(不包含點(diǎn)C).設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，的面積為S(cm178。)，S與t的函數(shù)關(guān)系如圖②所示：(1)直接寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為 ，BC的長(zhǎng)度為 。(2)如圖③，動(dòng)點(diǎn)M重新從點(diǎn)A出發(fā)，在矩形邊上，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，在矩形邊上沿著的方向勻速運(yùn)動(dòng)，、N經(jīng)過(guò)時(shí)間在線段BC上相遇(不包含點(diǎn)C)，動(dòng)點(diǎn)M、N相遇后立即停止運(yùn)動(dòng)，記此時(shí)的面積為.①求動(dòng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)速度的取值范圍。②，求出的最大值并確定運(yùn)動(dòng)速度時(shí)間的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】(1)2，10；(2)①；②當(dāng)時(shí)，取最大值.【解析】【分析】（1）由題意可知圖像中0~，M在AB上運(yùn)動(dòng)，求出速度，~，M在BC上運(yùn)動(dòng)，求出BC長(zhǎng)度；（2）①分別求出在C點(diǎn)相遇和在B點(diǎn)相遇時(shí)的速度，取中間速度，注意C點(diǎn)相遇時(shí)的速度不能取等于；②過(guò)M點(diǎn)做MH⊥AC，則 得到S1，同時(shí)利用=15，得到S2，再得到關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求得最大值【詳解】(1)5247。=2；（）2=10 (2)①解：在C點(diǎn)相遇得到方程在B點(diǎn)相遇得到方程 ∴ 解得 ∵在邊BC上相遇，且不包含C點(diǎn) ∴②如下圖 =15過(guò)M點(diǎn)做MH⊥AC，則 ∴ ∴ = = 因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取最大值.【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，二次函數(shù)的應(yīng)用，求不規(guī)則圖形的面積等知識(shí)點(diǎn)，第一問(wèn)關(guān)鍵能夠從圖像中得到信息，第二問(wèn)第一小問(wèn)關(guān)鍵在理清楚運(yùn)動(dòng)過(guò)程，第二小問(wèn)關(guān)鍵在能夠用x表示出S1和S213．如圖，拋物線y=ax2+6x+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線y=x﹣5經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C．（1）求拋物線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)A的直線交直線BC于點(diǎn)M．①當(dāng)AM⊥BC時(shí)，過(guò)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P（不與點(diǎn)B，C重合），作直線AM的平行線交直線BC于點(diǎn)Q，若以點(diǎn)A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，