【正文】 理可知，每組至多取出 4 個數(shù)，一共至多取出 4k+r4k+r+1=g(n)+1個數(shù)，矛盾。 只需分 m=6k+1, 6k+3, 6k+5 三類討論即可。 答案： 首先，在 2， 3， 4，?， n+1中能被 2 或 3或除的有 ???????? ???????? ???????? ? 6 13 12 1 nnn個，記為 g(n)，其中任意 3 個中必有 2 個不互質(zhì)，所以 f(n)g(n)。 所以 a 的取值范圍是 11 ??? a 。 （ 2）若（ A∪ B） ∩C含有 3 個元素，由（ 1）知只有222 111 2 aaaa ????， 即 a2+2a1=0. 所以 a= .212 82 ????? 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 已知 BACaxyyxBxayyxA ??????? },),{(},),{( ，又 C為單元素集合，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。 解得 a=0 或 a=1。 在（ Ⅰ ）中將 ① 代入 ② 消去 y 得（ 1ax） 2+x2=1. 即（ a2+1） x22ax=0， 所以 x=0 或 x= 122?aa。因此對任意 n∈ N*，存在 m∈ N*， k∈ P，使得 f(m， k)=n。由 m1是正整數(shù)可知，對 i=1， 2， 3， 4，5，滿足這個條件的 m1的個數(shù)為 ????????11ikm。下面確定 n 與 m、 k的關(guān)系。 由于 A 是一個 無窮集，現(xiàn)將 A中的元素按從小到大的順序排成一個無窮數(shù)列。 證明：定義集合 A={ 1?km |m∈ N*， k∈ P}，其中 N*為正整數(shù)集。 答案： 設(shè)集合 P={1， 2， 3， 4， 5}，對任意 k∈ P 和正整數(shù) m，記 f(m， k)=?? ?????? ??51 11i ikm ，其中 [a]表示不大于 a 的最大整數(shù)。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：中檔 設(shè)集合 P={1， 2， 3， 4， 5}，對任意 k∈ P 和正整數(shù) m，記 f(m， k)=?? ?????? ??51 11i ikm ，其中 [a]表示不大于 a的最大整數(shù)。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 判斷以下命題是否正確：設(shè) A， B 是平面上兩個點(diǎn)集， }),{( 222 ryxyxC r ??? ，若對任何 0?r ，都有 BCAC rr ?? ? ，則必有 BA? ，證明你的結(jié)論。 . ∴ ? ? ? ?2, 3U AB?240。集合 A＝｛ x｜ x 2－ ax＋ a2－ 19＝ 0｝， B＝｛ x｜ x 2－ 5 x＋ 6＝ 0｝， C＝｛ x｜ x 2＋ 2 x－ 8＝0｝． （ 1） 若 A∩ B＝ A∪ B，求 a 的值； （ 2） 若 ? A∩ B， A∩ C＝ ? ，求 a 的值． 答案： 由已知，得 B＝｛ 2， 3｝， C＝｛ 2，－ 4｝ . (1) A∩ B＝ A∪ B， A＝ B 于是 2， 3 是一元二次方程 x2－ ax＋ a2－ 19＝ 0 的兩個根，由韋達(dá)定理知： ??? ??? ?? 1932 322aa 解之得 a＝ 5. (2)由 A∩ B ? A? ∩ ?B ? ，又 A∩ C＝ ? ，得 3∈ A， 2? A，－ 4? A，由 3∈ A， 得 32－ 3a＋ a2－ 19＝ 0，解得 a＝ 5 或 a=－ 2 當(dāng) a=5 時(shí)， A＝｛ x｜ x2－ 5x＋ 6＝ 0｝＝｛ 2， 3｝，與 2? A矛盾； 當(dāng) a=－ 2 時(shí)， A＝｛ x｜ x2＋ 2x－ 15＝ 0｝＝｛ 3，－ 5｝，符合題意 . 來源： 09 年湖北宜昌月考一 題型：解答題，難度：中檔 已知：集合 A={x| 532??xx ≤ 0}， B={x|x2－ 3x+20}，U=R， 求（ 1） A∪ B； （ 2）（ uA）∩ B. 答案： A={x| 532??xx ≤ 0}={x|－ 5x≤ 23 } B={x|x2－ 3x+20}={x|1x2} （ 1） A∪ B={x|－ 5x2} （ 2）（ uA） ={x|x≤ － 5 或 x23} （ uA） ∩ B={x|23x2} 來源： 09 年湖北襄樊月考一 題型：解答題，難度：中檔 已知全集 U?R ，不等式 2 02xx? ??的解集為 A ， 不等式 21x??的解集為 B ． （ I）求 A ， B ； （ II）求 ( )UAB240。 ． 答案： （Ⅰ）由 2 02? ??xx 得 22x? ? ? .∴ ? ?22A x x? ? ? ?. 由 21x??.得 13x??.∴ ? ?13B x x? ? ? . （Ⅱ）∵ ? ?22A x x? ? ? ?， U?R ， ∴ ? ? ? ?, 2 2 ,U A ? ?? ? ??240。 . 來源： 09 年北京海淀月考一 題型：解答題，難度：容易 設(shè) },{ 22 ZyxyxaaM ???? ，求證： （ 1） )(,12 ZkMk ??? ； （ 2） )(,24 ZkMk ??? ； （ 3）若 MqMp ?? , ，則 .Mpq? 答案： （ 1）因?yàn)?Zkk ??1, ，且 22 )1(12 ???? kkk ，所以 .12 Mk ?? （ 2）假設(shè) )(24 ZkMk ??? ，則存在 Zyx ?, ，使 2224 yxk ??? ，由于 yx? 和yx? 有相同的奇偶性，所以 ))((22 yxyxyx ???? 是奇數(shù)或 4 的倍數(shù)，不可能等于24 ?k ，假設(shè)不成立，所以 .24 Mk ?? （ 3）設(shè) Zbayxbaqyxp ????? , 2222 ，則 ))(( 2222 bayxpq ??? 22222222 aybxbyaa ???? Myaxbybxa ????? 22 )()( （因?yàn)?ZyaxbZyaxa ???? , ）。 答案： 不正確，取 }0,),{(},),{( ????? xxyyxBxyyxA 且滿足條件，但 BA? 。求證：對任意正整數(shù) n，存在 k∈ P 和正整數(shù) m，使得 f(m，k)=n。求證：對任意正整數(shù) n，存在 k∈ P 和正整數(shù) m，使得 f(m， k)=n。由于對任意 k、 i∈ P且 k≠i，11??ik是無理數(shù)，則對任意的 k k2∈ P和正整數(shù) m m2， 11 2211 ??? kmkm當(dāng)且僅當(dāng) m1=m2， k1=k2。對于任意的正整數(shù) n，設(shè)此數(shù)列中第 n 項(xiàng)為 1?km 。若 111 ??? kmim ，則111 ??? ikmm。從而 n=?? ????????51 11i ikm =f(m， k)。 來源： 07 年全國高中數(shù)學(xué)競賽 題型：解答題，難度：較難 已知集合 }1),{(},1),{(},1),{( 22 ????????? yxyxCayxyxByaxyxA ，問：當(dāng) a 取何值時(shí)， CBA ?? )( 為恰有 2個元素的集合？說明理由，若改為 3 個元素集合，結(jié)論如何？ 答案： 因?yàn)椋?A∪ B） ∩C=（ A∩C） ∪ （ B∩C），而 A∩C， B∩C分別為方程組??? ?? ?? 1122 yxyax ①②（ Ⅰ ）與??? ?? ?? 1122 yxayx ③④ （ Ⅱ ）的解集。 當(dāng) x=0 時(shí) y=1，當(dāng) x= 122?aa時(shí)， y= .1122aa?? 所以（ Ⅰ ）的解集為 .11,12),1,0( 222 ?????? ???????? ??? aaa a 在（ Ⅱ ）中將 ③ 代入 ④ 解（ Ⅱ ）得 ,1 2,11),0,1( 222?????? ???????? ??? aaaa （ 1）若（ A∪ B） ∩C含有 2 個元素，因?yàn)椋?0， 1），（ 1， 0） ?（ A∪ B） ∩C， 所以（ A∪ B） ∩C中只含有這兩個元素，從而 ????????????111012222aaaa或????????????011112222aaaa。 故當(dāng) a=0 或 a=1 時(shí)，（ A∪ B） ∩C 恰有 2 個元素。 答案： ?。┤?0?a ，則由 )}0,0{(0 ????? ?? BACxyy ?得； ⅱ）若 0?a ，由??????axyxay 得 )0(,)1( ??? xaxa 或 )0()1( ???? xaxa ； 所以當(dāng)且僅當(dāng) 11 ??? a 時(shí)， C 為單元素集。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：中檔 對于整數(shù) 4?n ，求出最小的整數(shù) )(nf ，使得對于任何正整數(shù) m ，集合}1,1,{ ??? nmmm ? 的任一個 )(nf 元子集中，均有至少 3 個兩兩互質(zhì)的元素。 引理：當(dāng) m 為奇數(shù)時(shí)，從 {m, m+1, m+2, m+3, m+4}中任意取出 4 個元素，必有 3 個兩兩互質(zhì)。 下面證明，當(dāng) f(n)=g(n)+1 時(shí)，題設(shè)條件成立。 （ 2）若 r=4,5，從 m, m+1 中的奇數(shù)開始分 組，最后余下至少 3 個數(shù)，且以奇數(shù)開頭。由引理可知一共至多取出4k+r14k+r=g(n)+1 個數(shù)，矛盾。由引理可知，每組至多取出 4 個數(shù)，一共至多取出 4(k+1)4k+5=g(n)+1 個數(shù)，矛盾。所以當(dāng) f(n)=g(n)+1= 16 13 12 1 ??????? ???????? ???????? ? nnn時(shí)，對于任意 m∈ N+，從 S 中任取 f(n)個元素，總有 3 個兩兩互質(zhì)。 答案： 構(gòu)造數(shù)表表 表 2 如下。顯然， 14個子集中每一個都不存在兩個元素滿足題中不等式。 42≤ 34 a. 綜上所述，所求 m 的最小正整數(shù)為 56。1 S? ）若 Sa ? ，則 Sa ??1 1 。 答案： 首先aa ??11（否則 012 ???aa ，但 041 ???? ），由 SaSa ??? 1 1,得Saa?????11111 1，且 aa??11（理由同上）。另一方面， }21,1,2{ ??S 滿足條件，故 S 至少含有 3 個元素。 答案： 若 1?AC? ，則有 741212 28 ???? C 種；若 2?AC? ，則有 411128212 ????C種；若 3?AC? ，則有 21011312 ???C 種，故滿足條件的 C 共有 1084 個。 答案： 若 1∈ S，則 (1)2=1∈ S 與已知矛盾，所以 1? S， 1∈ S。 所以若 r∈ Q,則設(shè) ,mnr? m,n∈ N+. 因?yàn)?n∈ S， m1 ∈ S，所以 r∈ S，所以 Q+? S。 所以 r∈ Q+,所以 S? Q+，所以 S=Q+. 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 求集合 B 和 C，使得 }10,2,1{ ?? ?CB ，并且 C 的元素乘積等于 B 的元素和。 （ 1） C由一個元素構(gòu)成，因?yàn)?C 的元素乘積不超過 10， B 的元素和至少為 5510=45。 （ 2） C由兩個元素 x,y構(gòu)成，設(shè) xy，則