【正文】 x∈R}＝{y|y≤7}．　已知集合{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R}中有且僅有一個元素，則a的值是　　　　?。馕觥∫沟眉蟵x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R}中有且僅有一個元素，則a＝0或Δ＝22－4a＝0，所以，a＝0或a＝1．　關于x的不等式x－(a＋1)22≤(a－1)22的解集是A，關于x的不等式x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0 (其中a∈R)的解集是B，求使A?B的a的取值范圍．解析　不等式x－(a＋1)22≤(a－1)22的解集A＝[2a，a2＋1]．不等式x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0即為(x－2)(x－3a－1)≤0．若a≥13，則B＝[2，3a＋1]；若a13，則B＝[3a＋1，2]．由A?B得a≥13， 2≤2a， a2＋1≤3a＋1或a13， 3a＋1≤2a，a2＋1≤2， 解得1≤a≤3或a＝－1．所以，a的取值范圍是a＝－1或1≤a≤3．　已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0，x∈R}，若B?A，C?A，求實數(shù)a，b應滿足的條件．解析　集合A＝{1，2}，而x2－ax＋(a－1)＝0即為(x－1)(x－a＋1)＝0，若a－1＝1，即a＝2，則B＝{1}滿足；若a－1≠1，即a≠2，則B＝{1，a－1}，由B?A知a－1＝2，即a＝3．對于集合C，由C?A知，若C＝?，則Δ＝(－b)2－80，解得－22b22；若C為單元集，則Δ＝(－b)2－8＝0，此時C＝{2}或C＝{－2}，與C?A矛盾；若C＝{1，2}，即C中方程兩根為1和2，則b＝3．所以，a，b應滿足的條件是a＝2或a＝3而 －22b22或b＝3．　已知集合A＝{(x，y)|y＝－x2＋mx－1}，B＝{(x，y)|x＋y＝3，0≤x≤3}，若有且僅有一個點同時屬于集合A和B，求實數(shù)m的取值范圍．解析　由已知得拋物線與線段有且僅有一個交點．由y＝－x2＋mx－1，x＋y＝3， 得x2－(1＋m)x＋4＝0，該方程在區(qū)間[0，3]上只有一個解．若Δ＝(m＋1)2－16＝0，則m＝3或m＝－5，如果m＝3，解得x＝2；如果m＝－5，解得x＝－2?[0，3]，于是m＝－5舍去．若Δ0，則記f(x)＝x2－(1＋m)x＋4，此時，只需f(3)0，即9－3(m＋1)＋40，解得m103．所以，m的取值范圍是m103或m＝3．　設集合M＝{1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，Sk都是M的含兩個元素的子集，且滿足：對任意的Si＝{ai，bi}，Sj＝{aj，bj}(i≠j，i，j∈{1，2，3，…，k})，都有minaibi，biai≠minajbj，bjaj(min{x，y}表示兩個數(shù)x，y中的較小者)，則k的最大值是(　)．(A) 10 (B) 11　(C) 12 (D) 13解析　集合M的所有兩元子集是{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共計15個，其中，不同minaibi，biai (i＝1，2，…，15)有12，13，14，15，16，23，25，34，35，45，56共11個，所以，答案為B．　設P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，ab∈P (除數(shù)b≠0)，則稱P是一個數(shù)域．例如有理數(shù)集Q是數(shù)域；數(shù)集F＝{a＋b2|a，b∈Q}也是數(shù)域．有下列命題：① 整數(shù)集是數(shù)域； ② 若有理數(shù)集Q?M，則數(shù)集M必為數(shù)域；③ 數(shù)域必為無限集； ④ 存在無窮多個數(shù)域．其中正確的命題的序號是　　　　　　(把你認為正確的命題的序號填上)．解析　因為任意兩個整數(shù)的商不一定是整數(shù)，故命題①不正確；當集合M＝Q∪{2}時，由于1∈Q，而12 ?M，故命題②不正確；由數(shù)域P的定義知，必有bb＝1∈P，從而2∈P，則3∈P，…，所以，整數(shù)集Z?P，故數(shù)域P中必有無窮多個元素，命題③正確；由于數(shù)集F＝{a＋b2|a，b∈Q}是數(shù)域，則將其中的2換成3，5，…等仍為數(shù)域，所以數(shù)域有無窮多個，命題④正確．所以，在上述四個命題中，正確命題的序號是③，④．　非空集合G關于運算⊕滿足：(1) 對任意a，b∈G，都有a⊕b∈G；(2) 存在e∈G，使得對一切a∈G，都有a⊕e＝e⊕a＝a，則稱G關于運算⊕為“融洽集”．現(xiàn)給出下列集合和運算：① G＝{非負整數(shù)}，⊕為整數(shù)的加法；② G＝{偶數(shù)}，⊕為整數(shù)的乘法；③ G＝{平面向量}，⊕為平面向量的加法；④ G＝{二次三項式}，⊕多項式的乘法；⑤ G＝{虛數(shù)}，⊕為復數(shù)的乘法．其中G關于運算⊕為“融洽集”的是　　　　　(寫出所有“融洽集”的序號)．解析　對于非負整數(shù)集以及加法運算，兩個非負整數(shù)之和一定是非負整數(shù)，其中e＝0；對于偶數(shù)集和乘法運算，其中不存在滿足要求的元素e；對于平面向量集合以及向量的加法運算，任意兩個平面向量之和仍為該平面內的向量，e＝0；對于二次三項式集合以及多項式的乘法，其中不存在滿足要求的元素e；對于虛數(shù)集和復數(shù)的乘法運算，其中不存在滿足要求的元素e，所以，集合G關于運算⊕為“融洽集”的是①和③．　已知集合S＝{x|x＝m2＋n2，m，n∈Z}．求證：若a，b∈S，則ab∈S．解析　由a，b∈S得存在整數(shù)p，q，r，s，使得a＝p2＋q2，b＝r2＋s2，則ab＝(p2＋q2)(r2＋s2)＝p2r2＋q2s2＋p2s2＋q2r2＝(pr＋qs)2＋(ps－qr)2，其中pr＋qs和ps－qr都是整數(shù)，所以，ab∈S．　已知集合A＝{x|x＝12a＋8b，a，b∈Z}，B＝{y|y＝20c＋16d，c，d∈Z}．判斷集合A與集合B之間存在什么關系，并說明理由．解析　若y∈B，即y＝20c＋16d＝12c＋8(c＋2d)，因為c，d∈Z，則有c＋2d∈Z，得y∈A，于是B?A；若x∈A，則x＝12a＋8b＝60a－48a＋40b－32b＝20(3a＋2b)＋16(－3a－2b)，因為a，b∈Z，則有3a＋2b，－3a－2b∈Z，于是A?B．所以，A＝B．　若f(x)＝x2＋ax＋b，a，b∈R，A＝{x|x＝f(x)，x∈R}，B＝{x|x＝f[f(x)]，x∈C}．(1) 寫出集合A與B之間的關系，并證明；(2) 當A＝{－1，3}時，用列舉法表示集合B．解析　(1) 任取x∈A，則f(x)＝x，于是，f [ f(x)]＝f(x)＝x，即有x∈B，所以有A?B，但由于x＝f[f(x)]必為四次方程，在復數(shù)集C上有4個根，所以AB．(2) 當A＝{－1，3}時，即方程x2＋ax＋b＝x的兩根為－3，于是－1＋3＝－(a－1)，(－1)3＝b，所以a＝－1，b＝－3，即f(x)＝x2－x－3，此時，集合B中的方程為(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3＝x，即(x2－x－3)2－x2＝0，(x2－3)(x2－2x－3)＝0，所以，B＝{－1，3，3，－3}．　已知A＝{(x，y)|x2＋y2＋4x＋4y＋7＝0，x，y∈R}，B＝{(x，y)|xy＝－10，x，y∈R}．(1) 對于直線m和直線外的一點P，用“m上的點與點P距離的最小值”定義點P到直線m的距離與原有的點線距離概念是等價的．試以類似的方式給出一個點集A與B的“距離”的定義；(2) 依照(1)中的定義求出A與B的“距離”．解析　(1) 定義：在點集A，B中分別任取一點，所取兩點間的距離若有最小值，則此最小值稱為點集A與B的“距離”．(2) 集合A中的點構成一個圓，其方程是(x＋2)2＋(y＋2)2＝1，圓心C(－2，－2)，半徑為1，設P(x，y)為曲線xy＝－10上任意一點，則|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＝x2＋y2＋4(x＋y)＋8＝(x＋y)2－2xy＋4(x＋y)＋8＝(x＋y)2＋4(x＋y)＋28＝(x＋y＋2)2＋24．當且僅當x＋y＋2＝0，xy＝－10 ，即x＝－1＋11，y＝－1－11 或x＝－1－11，y＝－1＋11 時，|PC|最小值2＝24，|PC|最小值＝26，所以，A與B的“距離”為26－1．二、集合的運算　已知全集I＝{a1，a2，a3，a4，a5，a6}，集合A＝{a1，a3，a4，a5}，B＝{a1，a4}，則A∩?IB＝(　)．(A) {a1，a4} (B) {a2，a6}(C) {a3，a5} (D) {a2，a3，a5，a6}解析　?IB＝{a2，a3，a5，a6}，所以，A∩?IB＝{a3，a5}，答案為C．　若集合M＝{x||x|≤2}，N＝{x|x2－3x＝0}，則M∩N＝(　)．(A) {3} (B) {0} (C) {0，2} (D) {0，3}解析　M＝[－2，2]，N＝{0，3}，所以M∩N＝{0}，答案為B．　設A，B，I均為非空集合，且滿足A?B?I，則下列各式中錯誤的是(　)．(A) (?IA)∪B＝I(B) (?IA)∪(?IB)＝I(C) A∩(?IB)＝?(D) (?IA)∩(?IB)＝(?IB)解析　集合A，B，I的關系如圖所示，可知(?IA)∪(?IB)＝?IA≠I，所以，答案為B．　設全集I＝{2，3，5}，A＝{|a－5|，2}，?IA＝{5}，則a的值為(　)．(A) 2 (B) 8 (C) 2或8 (D) －2或8解析　由A∪?IA＝I得|a－5|＝3，所以a＝2或8，答案為C．　設集合M＝{x|a1x2＋b1x＋c1＝0}，N＝{x|a2x2＋b2x＋c2＝0}，則方程(a1x2＋b1x＋c1)(a2x2＋b2x＋c2)＝0的解集是(　)．(A) M∩N (B) M∪N (C) N (D) M解析　由(a1x2＋b1x＋c1)(a2x2＋b2x＋c2)＝0可得(a1x2＋b1x＋c1)＝0或(a2x2＋b2x＋c2)＝0，所以，該方程的解集是M∪N，答案為B．　若集合M＝{(x，y)|x＋y＝0}，P＝{(x，y)|x－y＝2}，則M∩P＝(　)．(A) (1，－1) (B) {x＝1}∪{y＝－1}　(C) {1，－1} (D) {(1，－1)}解析　由x＋y＝0，x－y＝2，得x＝1， y＝－1，所以，M∩P＝{(1，－1)}，答案為D．　滿足M?{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的個數(shù)是(　)．(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解析　由M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}知aa2∈M，a3?M，a4可以在集合M也可以不在集合M中，所以，滿足要求的集合M的個數(shù)是2個．答案為B．　若A，B，C為三個集合，A∪B＝B∩C，則一定有(　)．(A) A?C (B) C?A　(C) A≠C (D) A＝?解析　任取x∈A，則x∈A∪B＝B∩C，于是，x∈B∩C，則x∈C，所以，A?C，答案為A．　已知A＝{x|x≤7}，B＝{x|x2}，C＝{x|x5}，則A∩B＝　　?。籄∪C＝　　?。籄∩B∩C＝　　　?。馕觥∮梢阎肁∩B＝{x|x2}，A∪C＝R，A∩B∩C＝?．　若集合A＝{x|－2x1或x1}，B＝{x|a≤x≤b}滿足A∪B＝{x|x－2}，A∩B＝{x|1x≤3}，則a＝　　 ；b＝　　 ．解析　在數(shù)軸上畫出集合A∪B和A∩B可得a＝1，b＝3．　全集U的子集A、B、C的關系如圖所示：其中三個圓分別表示集合A、B、C，試用集合A、B、C的運算結果表述圖中的陰影所代表的集合：　　　　?。馕觥D中的陰影部分表示集合?UA∩B∩C．　已知ab0，全集I＝R，集合M＝xbxa＋b2，N＝xab≤x≤a，P＝{x|bxab}，則下列關系式中正確的是(　)．(A) P＝M∩?IN (B) P＝?IM∩N　(C) P＝M∪N (D) P＝M∩N解析　由ab0得baba＋b2a，將集合M，N表示在數(shù)軸上可知P＝ M∩?IN，答案為A．　對于集合A，B，C，“A∩C＝B∩C”是“A＝B”的(　)．(A) 充分不必要條件 (B) 必要不充分條件(C) 充要條件 (D) 既不充分也不必要條件解析　若A＝B，則顯然有A∩C＝B∩C；反之，若C＝{1}，A＝{1，2}，B＝{1，3}，此時A∩C＝B∩C＝{1}，但A≠B，所以，“A∩C＝B∩C”是“A＝B”的必要不充分條件，答案為B．　設全集I＝{(x，y)|x，y∈R}，集合M＝(x，y)|y－3x－2＝1，N＝{(x，y)|y≠x＋1}，那么?I(M∪N)＝(　)．(A) ? (B) {(2，3)}(C) (2，3) (D) {(x，y)|y＝x＋1}解析　集合I表示平面上所有的點，集合M表示直線y＝x＋1上除(2，3)外的所有點，集合N表示不在直線y＝x＋1上的所有點，所以M∪N表示平面上除(2，3)外的所有點，所以，?I(M∪N)是集合{(2，3)}，答案為B．　若全集I＝R，f(x)，g(x)都是定義域為R的函數(shù)，P＝{x|f(x)0}，Q＝{x|g(x)≥0}，則不等式組f(x)0，g(x)0 的解集用P，Q表示為　　　　?。馕觥∮梢阎傻貌坏仁絞(x)0的解集是?IQ，所以，不等式組的解集是P∩?IQ．　設P表示△ABC所在平面上的點，則集合{P|PA＝PB}∩{P|PB＝PC}＝　　?。馕觥∮梢阎命cP到△ABC三頂點等距，所以，{