高等數(shù)學(xué)證明題-展示頁
2024-10-29 10:54本頁面
【正文】 , x∈(0,1)因為n≥2,可知f(x)為單調(diào)遞增的 凹函數(shù)，(如上圖所示）則有：1n1n1)] 242。設(shè)f(x)=xn(其中x= ，,……,）可看出：x∈(0,1)則不等式的和為242。利用定積分的有關(guān)知識進行不等式的證明在不等式的證明中，我們經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)，有些不等式是求和的形式，這里我們可以利用定積分的定義或是利用積分的關(guān)的性質(zhì)使問題得以解決，下面的分析不難發(fā)現(xiàn)這一點。(x)=cosx 則拉格朗日中值定理知，存在一點ξ∈（a,b)使得： f 39。證明：若a＝b,則等號成立。ba例3：證明：| sinbsina | ≤| ba | 分析：我們知道| sinx | ≤1, | cosx |≤1 ,而a,b我們可以假設(shè)其中一個為較大者，則a,b可組成一個區(qū)間。下面利用高等數(shù)學(xué)中的拉格朗中值定理進行不等式的證明，下面引入拉格朗日中值定理： 定理2：若函數(shù)f(x)滿足下列條件：（1）f(x)在[a,b]并閉區(qū)間上連續(xù)；（2）f(x)在(a,b)開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)； 則至少存在一點ξ∈（a,b),使得 f 39。(x)。這樣只要說明：g(ln2)0即可。(x)=ex2x+2a 又知：g39。(x)=ex2 所以現(xiàn)在只需證：g39。(x)0 設(shè)g(x)=F39。(x)=ex2x+2a 現(xiàn)在只需證明：F39。如果不等式中的次數(shù)較高，形式也比較復(fù)雜，這可能需要多次轉(zhuǎn)化，才能達(dá)到目標(biāo)，通過下面的例子不難看出這一點。(0)所以根據(jù)定理1有：f(x)g(x)即：ex1x 這樣通過高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的基本性質(zhì)就可以證明。(0)=1 即：f39。(x)=1(當(dāng)x0)并有 ：f39。證明：設(shè)f(x)=ex1,g(x)=x 并且知：f(x),g(x)在[0,∞)連續(xù)，并在(0,∞)可導(dǎo) 有：f39。例1：求證：ex1x(當(dāng)x0時)從例題可以看出，在不等式的中有ex形式的指數(shù)形式，如用初等代數(shù)來證明則有一定的難度，如用高等數(shù)學(xué)中上面的定理則非常直觀。(x)(或 f39。利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，首先引入下面的定理： 定理1：設(shè)有兩個函數(shù)f(x)與g(x),滿足：（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a,b)內(nèi)可導(dǎo)有f39。第一篇：高等數(shù)學(xué)證明題正文: 不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，也是解題的一種十分重要的思想方法。在中學(xué)證明不等式一般有比較法，綜合法，分析法，反證法，判別法，放縮法，數(shù)學(xué)歸納法，利用二項式定理和變量代換法等等，其中包含了很多的技巧，從而證明的難度也比較大，下面就利用高等數(shù)學(xué)知識進行不等式的證明，從中也可看出不等式的證明具有很大的靈活性。(x)g39。(x)g(x)成立。分析1：要證ex1x，可以設(shè)f(x)=ex1,g(x)=x 這樣就轉(zhuǎn)化成定理1的形式。(x)=ex g39。(0)=e0=1 g39。(0)=g39。另外，也可以將不等式轉(zhuǎn)化成：exx10，證明方法同上（略）。例2：設(shè)aln21為任一常數(shù)，求證：當(dāng)x0時,有x22ax+10 不妨設(shè)：F(x)=exx2+2ax1 有：F(0)=0 則：F39。(x)0即可證明F(x)0 下面分析證明：F39。(x)=ex2x+2a 有：g(0)=e0+2a1+2(ln2
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