【正文】 數(shù)學第二輪復習第3講 不等式一、本章知識結構：實數(shù)的性質二、高考要求（1）理解不等式的性質及其證明。（2）掌握兩個（不擴展到三個）正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理，并會簡單應用。（4）掌握某些簡單不等式的解法。三、熱點分析，：解不等式，證明不等式，涉及不等式應用題，涉及不等式的綜合題，?？汲Ｐ拢瑒?chuàng)意不斷，設問方式不斷創(chuàng)新，圖表信息題，多選型填空題等情景新穎的題型受到命題者的青瞇，綜合考查，在知識與方法的交匯點處設計命題，在不等式問題中蘊含著豐富的函數(shù)思想，不等式又為研究函數(shù)提供了重要的工具，不等式與函數(shù)既是知識的結合點，又是數(shù)學知識與數(shù)學方法的交匯點，將不等式的重點知識以及其他知識有機結合，進行綜合考查，強調(diào)知識的綜合和知識的內(nèi)在聯(lián)系，加大數(shù)學思想方法的考查力度，、論證能力的考查力度，——函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列及其交叉綜合部分為知識背景，并與高等數(shù)學知識及思想方法相銜接，立意新穎，抽象程度高，、低設問、深入淺出的特點，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，,考查的重點是不等式的性質、證明、解法及最值方面的應用。第1頁（共6頁）（2）選擇題,填空題和解答題三種題型中均有各種類型不等式題，特別是應用題和壓軸題幾乎都與不等式有關。四、典型例題不等式的解法【例1】 解不等式：解：原不等式可化為：a1a x2(a1)x+(2a)＞0，即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞當a＞1時，原不等式與(x－a2a2a2)(x－2)＞≥2，即0≤a＜1時，原不等式無解；若a1a1a1a2)∪(2，+∞).a1＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1時原不等式的解為(－∞，當a＜1時，若a＜0，解集為（a2a2，2)；若0＜a＜1，解集為(2，)a1a1綜上所述：當a＞1時解集為(－∞，a2a2)∪(2，+∞)；當0＜a＜1時，解集為(2，)； a1a1a2，2).a1當a=0時，解集為198。［1，4］，求實數(shù)a的取值：M205。此時Δ＜0；其二是M≠198。［1，4］(2)當Δ=0時，a=－=－1時M={－1}［1，4］；當a=2時，m={2}［1，4］.(3)當Δ＞0時，a＜－1或a＞(x)=0的兩根x1，x2，且x1＜x2，236。f(1)0,且f(4)0239。187a0那么M=［x1，x2］，M205。1≤x1＜x2≤4219。即237。1163。4,且D0239。238。［1，4］時，a的取值范圍是(－1，18).7不等式的證明【例1】 已知a2，求證：log(a1)aloga(a+1) 解1：log(a1)aloga(a+1)=1(loga(a1))(loga(a+1))1． loga(a+1)=logaa1logaa1因為a2，所以，loga(a1)0,loga(a+1)0，所以，loga(a1)+loga(a+1)249。233。求證：(a+2511)(b+)≥.ab4證：(分析綜合法)：欲證原式，即證4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即證4(ab)2－33(ab)+8≥0，即證ab≤或ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2ab，∴ab≤，12+13+L+1n2n(n∈N)*【例3】 證明不等式1+證法一：(1)當n等于1時，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；(2)假設n=k(k≥1)時，不等式成立，即1+12+1+L+1＜2k，則1++3+L+1k+12k+1k+1=2k(k+1)+1k+1k+(k+1)+1k+112+1+L+=2k+1,1∴當n=k+1時，(1)、(2)得：當n∈N*時，都有1+另從k到k+1時的證明還有下列證法：＜(k+1)12k(k+1)=k2(k+1)+(k+1)=(kk+1)20,\2k(k+1)+12(k+1),Qk+10,\2k+又如:Q2k+12k=\2k+1k+12k++12k+1.=1k+1,2k+1+k2k+1+k+1證法二：對任意k∈N*，都有：=2(kk1),+kk+k1因此1+++L+2+2(21)+2(2)+L+2(nn1)==概念、方法、題型、易誤點及應試技巧總結不等式一．不等式的性質：1．同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若ab,cd，則a+cb+d（若ab,cd，則acbd），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若ab0,cd0，則acbd（若ab0,0cd，則ab； ）cdnn3．左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方：若ab0，則ab4．若ab0，ab，則1；若ab0，ab，則。cacbab其中正確的命題是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知1163。1，1163。3，則3xy的取值范圍是______（答：1163。7）；（3）已知abc，且a+b+c=0,則1246。的取值范圍是______（答：231。）2248。二．不等式大小比較的常用方法：1．作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果； 2．作商（常用于分數(shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）； 3．分析法； 4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函數(shù)的單調(diào)性； 7．尋找中間量或放縮法 ；8．圖象法。如1t+1的大小 logat和loga21t+11t+1（答：當a1時，logat163。loga（t=12222（1）設a0且a185。1)的大小4（答：當0x1或x時，1+logx3＞2logx2；當1x時，1+logx3＜2logx2；當x=3時，1+logx3＝2logx2）三．利用重要不等式求函數(shù)最值時，你是否注意到：“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”這17字方針。179。(根據(jù)目標不等式左右的運算結構選用)；2+222a、b、c206。ab+bc+ca（當且僅當a=b=c時，取等號）；（3）若ab0,m0，則bb+m（糖水的濃度問題）。)）五．證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然后作出結論。R，求證：ab+bc+ca179。R，且,xy，求證：； x+ay+baba+bb+cc+a(4)若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：lg+lg+lglga+lgb+lgc；222222222（5）已知a,b,c206。abc(a+b+c)；常用的放縮技巧有：*(6)若n206。|ab||a+b|1（8）求證：1+2+2+L+22。|b|，求證：六．簡單的一元高次不等式的解法：標根法：其步驟是：（1）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正；（2）將每一個一次因式的根標在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)f(x)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。0。1或x=2}）；（2）不等式(x179。3或x=1}）；（3）設函數(shù)f(x)、g(x)的定義域都是R，且f(x)179。x2}，g(x)179。則不等式f(x)gg(x)0的解集為______（答：(165。)）；（4）要使?jié)M足關于x的不等式2x9x+a0（解集非空）的每一個x的值至少滿足不等式x24x+30和x26x+80中的一個，則實數(shù)a的取值范圍是______.（答：[7,81)）8七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正，最后用標根法求解。如（1）解不等式5x； 1（答：(1,1)U(2,3)）x22x3ax+b0的解集為x2（2）關于x的不等式axb0的解集為(1,+165。,1)U(2,+165。2|x+|（答：x206。,1)U(2,+165。|2x+a|對x206。（答：}）九．含參不等式的解法：求解的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎，分類討論