【正文】 里），要安裝水管，從縣城送自來(lái)水供給各村，可以用粗細(xì)兩種水管．粗管足夠供應(yīng)所有各村用水，細(xì)管只能供一個(gè)村用水．粗管每公遠(yuǎn)輝教育里要用8000元，細(xì)管每公里要用2000元．把粗管和細(xì)管適當(dāng)搭配、互相連接，可以降低工程的總費(fèi)用．按你認(rèn)為最節(jié)約的辦法，費(fèi)用應(yīng)是多少？分析 由題意可知，粗管每公里的費(fèi)用恰好是細(xì)管每公里費(fèi)用的4倍．因此，如果在同一段路上要安裝4根以上的細(xì)管，就應(yīng)該用一根粗管來(lái)代替，便可降低工程的總費(fèi)用．解：假設(shè)從縣城到每個(gè)村子都各接一根細(xì)管（如上圖），那么在BABABABABABA6之間各有5根細(xì)管，應(yīng)該把B與A6之間都換裝粗管，工程的總費(fèi)用將最低，這時(shí)的總費(fèi)用是：a=8000（30+5+2+4+2+3）+2000（24+23+22+5）=414000（元）．說(shuō)明：容易驗(yàn)證，從縣城B起鋪設(shè)粗管到A6或A7或者A6A7之間任何一個(gè)地點(diǎn)都是最節(jié)約的辦法，總費(fèi)用仍是414000元．下面詳細(xì)論證其他安裝方案的總費(fèi)用都大于a．當(dāng)粗管從縣城B鋪設(shè)到超過(guò)A7向A8移動(dòng)一段路程d（0＜d≤2）公里時(shí)，粗管費(fèi)用增加8000d（元），而細(xì)管費(fèi)用僅減少2000d3=6000d（元）．這時(shí)總費(fèi)用比 a多2000d（元）．當(dāng)粗管從縣城B鋪設(shè)到超過(guò)A8向A9移動(dòng)一段路程d（0＜d≤2）公里時(shí)，粗管費(fèi)用增加8000（2+d）=16000+8000d（元），而細(xì)管增費(fèi)用僅減少2000（23＋2d）=12000＋4000d（元）．這時(shí)總費(fèi)用比a多4000+4000d（元）．當(dāng)粗管從縣城B鋪設(shè)到超過(guò)A9向A10移動(dòng)一段路程d（0＜d≤5）公里時(shí)，粗管費(fèi)用增加8000（2+2+d）=32000+8000d（元）．而細(xì)管費(fèi)用僅減少2000（23+22+d）=20000+2000d（元）．這時(shí)總費(fèi)用比a多12000＋6000d（元）．綜上所述，從縣城B鋪設(shè)粗管到超過(guò)A7點(diǎn)以東的任何地點(diǎn)的安裝總費(fèi)用都大于a．類(lèi)似地，可以驗(yàn)證從縣城鋪設(shè)粗管到A6點(diǎn)以西的任何地點(diǎn)的總費(fèi)用也都大于a． 例6 有1993名少先隊(duì)員分散在一條公路上值勤宣傳交通法規(guī)，問(wèn)完成任務(wù)后應(yīng)該在公路的什么地點(diǎn)集合，可以使他們從各自的宣傳崗位沿公路走到集合地點(diǎn)的路程總和最?。?分析 由于1993數(shù)目較大，不易解決．我們先從人數(shù)較小的情況入手．當(dāng)只有2個(gè)人時(shí)，設(shè)2人宣傳崗位分別為A1和A2（如上圖），顯然集合地點(diǎn)選在A1點(diǎn)或A2點(diǎn)或者A1A2之間的任何一個(gè)地點(diǎn)都可以．因?yàn)橛葾A2出發(fā)的人走過(guò)的路程總和都等于A1A2．當(dāng)有3個(gè)人時(shí)，則集合地點(diǎn)應(yīng)該選在A2點(diǎn)（如右圖）．因?yàn)槿艏系攸c(diǎn)選在A1A2之間的B點(diǎn)，那時(shí)3個(gè)人所走的路程總和是A1B+A2B+A3B=（A1B+A3B）+A2B=A1A3+A2B；若集合地點(diǎn)選在A2A3之間的C點(diǎn)，那時(shí)3個(gè)人所走的路程總和是：A1C+A2C+A3C=（A1C+A3C）+A2C=A1A3+A2C；而集合地點(diǎn)選在A2點(diǎn)時(shí)，3個(gè)人所走路程總和僅是A1A3．當(dāng)然A1A3比A1A3+A2B及A1A3+A2C都小．遠(yuǎn)輝教育當(dāng)有4個(gè)人時(shí)，由于集合地點(diǎn)無(wú)論選在A1A4之間的任何位置，對(duì)AA4崗位上的人來(lái)說(shuō)，這2人走的路程和都是A1A4（如下圖）．因此，集合地點(diǎn)的選取只影響AA3崗位上的人所走的路程，這就是說(shuō)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“2個(gè)人站在A2和A3崗位的情形”．根據(jù)上面已討論的結(jié)論可知，集合地點(diǎn)應(yīng)選在A2或A3或者A2A3之間任何地點(diǎn)．當(dāng)有5個(gè)人時(shí)，類(lèi)似地可把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“ 3個(gè)人站在AAA4崗位的情形”（如下圖）根據(jù)已討論的結(jié)論可知，集合地點(diǎn)應(yīng)選在A3點(diǎn)．依此遞推下去，我們就得到一個(gè)規(guī)律：當(dāng)有偶數(shù)（2n）個(gè)人時(shí)，集合地點(diǎn)應(yīng)選在中間一段 AnAn+1之間的任何地點(diǎn)（包括An和An+1點(diǎn)）；當(dāng)有奇數(shù)（2n+1）個(gè)人時(shí)，集合地點(diǎn)應(yīng)選在正中間崗位An+1點(diǎn)．本題有1993=2996+1（奇數(shù)）個(gè)人，因此集合地點(diǎn)應(yīng)選在從某一端數(shù)起第997個(gè)崗位處．說(shuō)明：本題的解題思路值得掌握，那就是先從簡(jiǎn)單的較少的人數(shù)入手，通過(guò)逐步遞推，探索一般規(guī)律，從而解決某些數(shù)字較大的問(wèn)題．模擬測(cè)試1．?huà)寢寶⒑敏~(yú)后，讓小明幫助燒魚(yú)．他洗魚(yú)、切魚(yú)、切姜片蔥花、洗鍋煎燒，各道工序共花了17分鐘（如下圖），請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)順序，使花費(fèi)的時(shí)間最少．2．用一只平底鍋煎餅，每次能同時(shí)放兩個(gè)餅．如果煎一個(gè)餅需要4分鐘（假定正、反面各需2分鐘），問(wèn)煎m個(gè)餅至少需要幾分鐘？3．小明、小華、小強(qiáng)同時(shí)去衛(wèi)生室找張大夫治病．小明打針要5分鐘．小華換紗布要3分鐘，小強(qiáng)點(diǎn)眼藥水要1分鐘．問(wèn)張大夫如何安排治病次序，才能使他們耽誤上課的時(shí)間總和最少？并求出這個(gè)時(shí)間．4．趙師傅要加工某項(xiàng)工程急需的5個(gè)零件，如果加工零件A、B、C、D、E所需時(shí)間分別是5分鐘、3分鐘、4分鐘、7分鐘、6分鐘．問(wèn)應(yīng)該按照什么次序加工，使工程各部件組裝所耽誤的時(shí)間總和最少？這個(gè)時(shí)間是多少？5．某水池可以用甲、乙兩個(gè)水管注水，單放甲管需12小時(shí)注滿(mǎn)，單放乙管需24小時(shí)注滿(mǎn)．若要求10小時(shí)注滿(mǎn)水池，并且甲、乙兩管合放的時(shí)間盡可能地少，則甲、乙兩管合放最少需要多少小時(shí)？6．山區(qū)有一個(gè)工廠(chǎng)．它的十個(gè)車(chē)間分散在一條環(huán)行的鐵道上．四列貨車(chē)在鐵道上轉(zhuǎn)圈，貨車(chē)到了某一車(chē)間，就要有裝卸工裝上或卸下貨物．當(dāng)然，裝卸工可以固定在車(chē)間等車(chē)（各車(chē)間所需裝卸工人數(shù)如圖所示）；也可以坐在貨車(chē)到各車(chē)間去；也可以一部分裝卸工固定在車(chē)間，另一部分坐車(chē)．問(wèn)怎樣安排才能使裝卸工的總?cè)藬?shù)最少？最少需多少名工人？遠(yuǎn)輝教育答案：1．12分鐘．2．若m＝1時(shí)，至少需要4分；若m≥2時(shí)，至少需要2m分鐘．3．按小強(qiáng)、小華、小明的順序安排，耽誤上課的時(shí)間總和為：13+32+5=14（分鐘）．4．按B、C、A、E、D的順序加工，耽誤時(shí)間總和最少為：35+44+53+62+7=65（分鐘）．6．464+4+2+6+11=207（人）．遠(yuǎn)輝教育附加：速算與巧算（1）678+(354+322)（4）29041327173（7）235180。2=995（次）煎完，共需要2995=1990（分鐘）；這樣總共需要3+1990=1993（分鐘）．說(shuō)明：通過(guò)本例可以看出，掌握優(yōu)化的思想，合理統(tǒng)籌安排操作程序，就能夠節(jié)省時(shí)間，提高效率． 例3 5個(gè)人各拿一個(gè)水桶在自來(lái)水龍頭前等候打水，他們打水所需的時(shí)間分別是1分鐘、2分鐘、3分鐘、4分鐘和5分鐘．如果只有一個(gè)水龍頭，試問(wèn)怎樣適當(dāng)安排他們的打水順序，才能使每個(gè)人排隊(duì)和打水時(shí)間的總和最?。坎⑶蟪鲎钚≈担治?5個(gè)人排隊(duì)一共有54321=120種順序，把所有情形的時(shí)間總和都計(jì)算出來(lái)，就太繁瑣了．憑直覺(jué)，應(yīng)該把打水時(shí)間少的人排在前面所費(fèi)的總時(shí)間會(huì)省些．考慮用“逐步調(diào)整”法來(lái)嚴(yán)格求解． 解：首先證明要使所費(fèi)總時(shí)間最省，應(yīng)該把打水時(shí)間需1分鐘的人排在第一位置．假如第一位置的人打水時(shí)間要a分鐘（其中2≤a≤5），而打水需1分鐘的人排在第b位（其中2≤b≤5）．我們將這兩個(gè)人位置交換，其他三人位置不變動(dòng)．這樣調(diào)整以后第b位后面的人每人排隊(duì)打水所費(fèi)的時(shí)間與調(diào)整前相同，并且前b個(gè)人每人打水所費(fèi)時(shí)間也未受影響，但是第二位至第b位的人排隊(duì)等候的時(shí)間都減少了（a1）分鐘，這說(shuō)明調(diào)整后五個(gè)人排隊(duì)和打水時(shí)間的總和減少了．換言之，把打水需1分鐘的人排在第一位置所費(fèi)總時(shí)間最?。浯危鶕?jù)同樣道理，再將打水需2分鐘的人調(diào)整到第二位置；將打水需5分鐘的人逐次調(diào)整到第三、四、五位．所以將五人按照打水所需時(shí)間由少到多的順序排隊(duì)，所費(fèi)時(shí)間最?。@樣得出5人排隊(duì)和打水時(shí)間總和的最小值是15+24+33+42+51=35（分鐘）．說(shuō)明：本題涉及到排序不等式，有興趣的讀者可參閱高年級(jí)的數(shù)學(xué)奧林匹克教材．排隊(duì)提水的問(wèn)題，在其他一些場(chǎng)合也是會(huì)遇到的．例如，有一臺(tái)機(jī)床要加工n個(gè)工件，每個(gè)工件需要的加工時(shí)間不一樣，問(wèn)應(yīng)該按照什么次序加工，才能使總的等待時(shí)間最短．例4 有157噸貨物要從甲地運(yùn)往乙地，大卡車(chē)的載重量是5噸，小卡車(chē)的載重量是2噸，大卡車(chē)與小卡車(chē)每車(chē)次的耗油量分別是10公升與5公升．問(wèn)如何選派車(chē)輛才能使運(yùn)輸耗油量最少？這時(shí)共需用油多少公升？解：依題意，大卡車(chē)每噸耗油量為10247?？偣灿脮r(shí)(2＋1)＋(6＋2)＋2＝13分鐘?！痉治觥浚阂惯^(guò)河時(shí)間最少，應(yīng)抓住以下兩點(diǎn)：(1)同時(shí)過(guò)河的兩頭牛過(guò)河時(shí)間差要盡可能小(2)過(guò)河后應(yīng)騎用時(shí)最少的牛回來(lái)。所以花費(fèi)的總時(shí)間為：2＋1＋10＋2＋2＝17分鐘。那么就應(yīng)該讓甲和乙先過(guò)橋，用時(shí)2分鐘，再由甲返回送手電筒，需要1分鐘，然后丙、丁搭配過(guò)橋，用時(shí)10分鐘。而他們只有一個(gè)手電筒，每次又只能過(guò)兩個(gè)人，所以每次過(guò)橋后，還得有一個(gè)人返回送手電筒?，F(xiàn)在希望可以用最短的時(shí)間過(guò)橋，怎樣才能做到最短呢？你來(lái)幫他們安排一下吧。統(tǒng)籌規(guī)劃問(wèn)題（三）【試題】甲、乙、丙、丁四個(gè)人過(guò)橋，分別需要1分鐘，2分鐘，5分鐘，10分鐘。雅智教育 立德樹(shù)人 傳道解惑 啟發(fā)思維 成就英才解：應(yīng)按丙，乙，甲，丁順序用水。統(tǒng)籌規(guī)劃問(wèn)題（二）【試題】甲、乙、丙、丁四人同時(shí)到一個(gè)小水龍頭處用水，甲洗拖布需要3分鐘，乙洗抹布需要2分鐘，丙用桶接水需要1分鐘，丁洗衣服需要10分鐘，怎樣安排四人的用水順序，才能使他們所花的總時(shí)間最少，并求出這個(gè)總時(shí)間。為了節(jié)省汽油應(yīng)盡量選派大卡車(chē)運(yùn)貨，又由于137=527+2，因此，最優(yōu)調(diào)運(yùn)方案是：選派27車(chē)次大卡車(chē)及1車(chē)次小卡車(chē)即可將貨物全部運(yùn)完，且這時(shí)耗油量最少，只需用油1027+51=275(公升)【試題】用一只平底鍋烙餅，鍋上只能放兩個(gè)餅，烙熟餅的一面需要2分鐘，兩面共需4分鐘，現(xiàn)在需要烙熟三個(gè)餅，最少需要幾分鐘？【分析】：一般的做法是先同時(shí)烙兩張餅，需要4分鐘，之后再烙第三張餅，還要用4分鐘，共需8分鐘，但我們注意到，在單獨(dú)烙第三張餅的時(shí)候，另外一個(gè)烙餅的位置是空的，這說(shuō)明可能浪費(fèi)了時(shí)間，怎么解決這個(gè)問(wèn)題呢？我們可以先烙第一、二兩張餅的第一面，2分鐘后，拿下第一張餅，放上第三張餅，并給第二張餅翻面，再過(guò)兩分鐘，第二張餅烙好了，這時(shí)取下第二張餅，并將第三張餅翻過(guò)來(lái)，同時(shí)把第一張餅未烙的一面放上。5=2(公升)；小卡車(chē)每噸耗油量為5247。共需要1+10=11分鐘。第一篇：四年級(jí)奧數(shù) 統(tǒng)籌規(guī)劃問(wèn)題(教師用)雅智教育 立德樹(shù)人 傳道解惑 啟發(fā)思維 成就英才小學(xué)四年級(jí)奧數(shù)題：統(tǒng)籌規(guī)劃（一）【試題】燒水沏茶時(shí)，洗水壺要用1分鐘，燒開(kāi)水要用10分鐘，洗茶壺要用2分鐘，洗茶杯用2分鐘，拿茶葉要用1分鐘，如何安排才能盡早喝上茶?！痉治觥浚合认此畨?然后燒開(kāi)水，在燒水的時(shí)候去洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉?！驹囶}】有137噸貨物要從甲地運(yùn)往乙地，大卡車(chē)的載重量是5噸，小卡車(chē)的載重量是2噸，大卡車(chē)與小卡車(chē)每車(chē)次的耗油量分別是10公升和5公升，問(wèn)如何選派車(chē)輛才能使運(yùn)輸耗油量最少？這時(shí)共需耗油多少升？【分析】：依題意，大卡車(chē)每噸耗油量為10247。2=(公升)。兩分鐘后，第一張和第三張餅也烙好了，整個(gè)過(guò)程用了6分鐘。【分析】：所花的總時(shí)間是指這四人各自所用時(shí)間與等待時(shí)間的總和，由于各自用水時(shí)間是固定的，所以只能想辦法減少等待的時(shí)間，即應(yīng)該安排用水時(shí)間少的人先用。丙等待時(shí)間為0，用水時(shí)間1分鐘，總計(jì)1分鐘乙等待時(shí)間為丙用水時(shí)間1分鐘，乙用水時(shí)間2分鐘，總計(jì)3分鐘甲等待時(shí)間為丙和乙用水時(shí)間3分鐘，甲用水時(shí)間3分鐘，總計(jì)6分鐘丁等待時(shí)間為丙、乙和甲用水時(shí)間共6分鐘，丁用水時(shí)間10分鐘，總計(jì)16分鐘，總時(shí)間為1＋3＋6＋16＝26分鐘。因?yàn)樘旌?，必須借助于手電筒過(guò)橋，可是他們總共只有一個(gè)手電筒，并且橋的載重能力有限，最多只能承受兩個(gè)人的重量，也就是說(shuō)，每次最多過(guò)兩個(gè)人。最短時(shí)間是多少分鐘呢？【分析】：大家都很容易想到，讓甲、乙搭配，丙、丁搭配應(yīng)該比較節(jié)省時(shí)間。為了節(jié)省時(shí)間，肯定是盡可能讓速度快的人承擔(dān)往返送手電筒的任務(wù)。接下來(lái)乙返回，送手電筒，用時(shí)2分鐘，再和甲一起過(guò)橋，又用時(shí)2分鐘。解：2＋1＋10＋2＋2＝17分鐘【試題】小明騎在牛背上趕牛過(guò)河，共有甲乙丙丁四頭牛，甲牛過(guò)河需1分鐘，乙牛需2分鐘，丙牛需5分鐘，丁牛需6分鐘，每次只能騎一頭牛，趕一頭牛過(guò)河。解：小明騎在甲牛背上趕乙牛過(guò)河后，再騎甲牛返回，用時(shí)2＋1＝3分鐘然后騎在丙牛背上趕丁牛過(guò)河后，再騎乙牛返回，用時(shí)6＋2＝8分鐘最后騎在甲牛背上趕乙牛過(guò)河，不用返回，用時(shí)2分鐘。第二篇：四年級(jí)奧數(shù)第十二講——簡(jiǎn)單統(tǒng)籌規(guī)劃(教師用)遠(yuǎn)輝教育遠(yuǎn)輝教育奧數(shù)班第十二講——簡(jiǎn)單統(tǒng)籌規(guī)劃主講人：楊老師學(xué)生：四年級(jí)電話(huà)：62379828一、學(xué)習(xí)要點(diǎn)：最優(yōu)化概念反映了人類(lèi)實(shí)踐活動(dòng)中十分普遍的現(xiàn)象，即要在盡可能節(jié)省人力、物力和時(shí)間的前提下，努力爭(zhēng)取獲得在允許范圍內(nèi)的最佳效益．因此，最優(yōu)化問(wèn)題成為現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)重要研究對(duì)象，它在生產(chǎn)、科學(xué)研究以及日常生活中都有廣泛的應(yīng)用．作為數(shù)學(xué)愛(ài)好者，接觸一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，了解一些優(yōu)化的思想是十分有益的．二、典例剖析：例1 媽媽讓小明給客人燒水沏茶．洗開(kāi)水壺要用1分鐘，燒開(kāi)水要用15分鐘．洗茶壺要用1分鐘，洗茶杯要用1分鐘，拿茶葉要用2分鐘．小明估算了一下，完成這些工作要20分鐘．為了使客人早點(diǎn)喝上茶，按你認(rèn)為最合理的安排，多少分鐘就能沏茶了？分析 本題取自華羅庚教授1965年發(fā)表的《統(tǒng)籌方法平話(huà)》．燒水沏茶的情況是：開(kāi)水要燒，開(kāi)水壺要洗，茶壺茶杯要洗