【正文】 里），要安裝水管，從縣城送自來水供給各村，可以用粗細兩種水管．粗管足夠供應所有各村用水，細管只能供一個村用水．粗管每公遠輝教育里要用8000元，細管每公里要用2000元．把粗管和細管適當搭配、互相連接，可以降低工程的總費用．按你認為最節(jié)約的辦法，費用應是多少？分析 由題意可知，粗管每公里的費用恰好是細管每公里費用的4倍．因此，如果在同一段路上要安裝4根以上的細管，就應該用一根粗管來代替，便可降低工程的總費用．解：假設從縣城到每個村子都各接一根細管（如上圖），那么在BABABABABABA6之間各有5根細管，應該把B與A6之間都換裝粗管，工程的總費用將最低，這時的總費用是：a=8000（30+5+2+4+2+3）+2000（24+23+22+5）=414000（元）．說明：容易驗證，從縣城B起鋪設粗管到A6或A7或者A6A7之間任何一個地點都是最節(jié)約的辦法，總費用仍是414000元．下面詳細論證其他安裝方案的總費用都大于a．當粗管從縣城B鋪設到超過A7向A8移動一段路程d（0＜d≤2）公里時，粗管費用增加8000d（元），而細管費用僅減少2000d3=6000d（元）．這時總費用比 a多2000d（元）．當粗管從縣城B鋪設到超過A8向A9移動一段路程d（0＜d≤2）公里時，粗管費用增加8000（2+d）=16000+8000d（元），而細管增費用僅減少2000（23＋2d）=12000＋4000d（元）．這時總費用比a多4000+4000d（元）．當粗管從縣城B鋪設到超過A9向A10移動一段路程d（0＜d≤5）公里時，粗管費用增加8000（2+2+d）=32000+8000d（元）．而細管費用僅減少2000（23+22+d）=20000+2000d（元）．這時總費用比a多12000＋6000d（元）．綜上所述，從縣城B鋪設粗管到超過A7點以東的任何地點的安裝總費用都大于a．類似地，可以驗證從縣城鋪設粗管到A6點以西的任何地點的總費用也都大于a． 例6 有1993名少先隊員分散在一條公路上值勤宣傳交通法規(guī)，問完成任務后應該在公路的什么地點集合，可以使他們從各自的宣傳崗位沿公路走到集合地點的路程總和最小？ 分析 由于1993數(shù)目較大，不易解決．我們先從人數(shù)較小的情況入手．當只有2個人時，設2人宣傳崗位分別為A1和A2（如上圖），顯然集合地點選在A1點或A2點或者A1A2之間的任何一個地點都可以．因為由AA2出發(fā)的人走過的路程總和都等于A1A2．當有3個人時，則集合地點應該選在A2點（如右圖）．因為若集合地點選在A1A2之間的B點，那時3個人所走的路程總和是A1B+A2B+A3B=（A1B+A3B）+A2B=A1A3+A2B；若集合地點選在A2A3之間的C點，那時3個人所走的路程總和是：A1C+A2C+A3C=（A1C+A3C）+A2C=A1A3+A2C；而集合地點選在A2點時，3個人所走路程總和僅是A1A3．當然A1A3比A1A3+A2B及A1A3+A2C都?。h輝教育當有4個人時，由于集合地點無論選在A1A4之間的任何位置，對AA4崗位上的人來說，這2人走的路程和都是A1A4（如下圖）．因此，集合地點的選取只影響AA3崗位上的人所走的路程，這就是說，問題轉(zhuǎn)化為“2個人站在A2和A3崗位的情形”．根據(jù)上面已討論的結(jié)論可知，集合地點應選在A2或A3或者A2A3之間任何地點．當有5個人時，類似地可把問題轉(zhuǎn)化為“ 3個人站在AAA4崗位的情形”（如下圖）根據(jù)已討論的結(jié)論可知，集合地點應選在A3點．依此遞推下去，我們就得到一個規(guī)律：當有偶數(shù)（2n）個人時，集合地點應選在中間一段 AnAn+1之間的任何地點（包括An和An+1點）；當有奇數(shù)（2n+1）個人時，集合地點應選在正中間崗位An+1點．本題有1993=2996+1（奇數(shù)）個人，因此集合地點應選在從某一端數(shù)起第997個崗位處．說明：本題的解題思路值得掌握，那就是先從簡單的較少的人數(shù)入手，通過逐步遞推，探索一般規(guī)律，從而解決某些數(shù)字較大的問題．模擬測試1．媽媽殺好魚后，讓小明幫助燒魚．他洗魚、切魚、切姜片蔥花、洗鍋煎燒，各道工序共花了17分鐘（如下圖），請你設計一個順序，使花費的時間最少．2．用一只平底鍋煎餅，每次能同時放兩個餅．如果煎一個餅需要4分鐘（假定正、反面各需2分鐘），問煎m個餅至少需要幾分鐘？3．小明、小華、小強同時去衛(wèi)生室找張大夫治病．小明打針要5分鐘．小華換紗布要3分鐘，小強點眼藥水要1分鐘．問張大夫如何安排治病次序，才能使他們耽誤上課的時間總和最少？并求出這個時間．4．趙師傅要加工某項工程急需的5個零件，如果加工零件A、B、C、D、E所需時間分別是5分鐘、3分鐘、4分鐘、7分鐘、6分鐘．問應該按照什么次序加工，使工程各部件組裝所耽誤的時間總和最少？這個時間是多少？5．某水池可以用甲、乙兩個水管注水，單放甲管需12小時注滿，單放乙管需24小時注滿．若要求10小時注滿水池，并且甲、乙兩管合放的時間盡可能地少，則甲、乙兩管合放最少需要多少小時？6．山區(qū)有一個工廠．它的十個車間分散在一條環(huán)行的鐵道上．四列貨車在鐵道上轉(zhuǎn)圈，貨車到了某一車間，就要有裝卸工裝上或卸下貨物．當然，裝卸工可以固定在車間等車（各車間所需裝卸工人數(shù)如圖所示）；也可以坐在貨車到各車間去；也可以一部分裝卸工固定在車間，另一部分坐車．問怎樣安排才能使裝卸工的總?cè)藬?shù)最少？最少需多少名工人？遠輝教育答案：1．12分鐘．2．若m＝1時，至少需要4分；若m≥2時，至少需要2m分鐘．3．按小強、小華、小明的順序安排，耽誤上課的時間總和為：13+32+5=14（分鐘）．4．按B、C、A、E、D的順序加工，耽誤時間總和最少為：35+44+53+62+7=65（分鐘）．6．464+4+2+6+11=207（人）．遠輝教育附加：速算與巧算（1）678+(354+322)（4）29041327173（7）235180。2=995（次）煎完，共需要2995=1990（分鐘）；這樣總共需要3+1990=1993（分鐘）．說明：通過本例可以看出，掌握優(yōu)化的思想，合理統(tǒng)籌安排操作程序，就能夠節(jié)省時間，提高效率． 例3 5個人各拿一個水桶在自來水龍頭前等候打水，他們打水所需的時間分別是1分鐘、2分鐘、3分鐘、4分鐘和5分鐘．如果只有一個水龍頭，試問怎樣適當安排他們的打水順序，才能使每個人排隊和打水時間的總和最??？并求出最小值．分析 5個人排隊一共有54321=120種順序，把所有情形的時間總和都計算出來，就太繁瑣了．憑直覺，應該把打水時間少的人排在前面所費的總時間會省些．考慮用“逐步調(diào)整”法來嚴格求解． 解：首先證明要使所費總時間最省，應該把打水時間需1分鐘的人排在第一位置．假如第一位置的人打水時間要a分鐘（其中2≤a≤5），而打水需1分鐘的人排在第b位（其中2≤b≤5）．我們將這兩個人位置交換，其他三人位置不變動．這樣調(diào)整以后第b位后面的人每人排隊打水所費的時間與調(diào)整前相同，并且前b個人每人打水所費時間也未受影響，但是第二位至第b位的人排隊等候的時間都減少了（a1）分鐘，這說明調(diào)整后五個人排隊和打水時間的總和減少了．換言之，把打水需1分鐘的人排在第一位置所費總時間最?。浯?，根據(jù)同樣道理，再將打水需2分鐘的人調(diào)整到第二位置；將打水需5分鐘的人逐次調(diào)整到第三、四、五位．所以將五人按照打水所需時間由少到多的順序排隊，所費時間最?。@樣得出5人排隊和打水時間總和的最小值是15+24+33+42+51=35（分鐘）．說明：本題涉及到排序不等式，有興趣的讀者可參閱高年級的數(shù)學奧林匹克教材．排隊提水的問題，在其他一些場合也是會遇到的．例如，有一臺機床要加工n個工件，每個工件需要的加工時間不一樣，問應該按照什么次序加工，才能使總的等待時間最短．例4 有157噸貨物要從甲地運往乙地，大卡車的載重量是5噸，小卡車的載重量是2噸，大卡車與小卡車每車次的耗油量分別是10公升與5公升．問如何選派車輛才能使運輸耗油量最少？這時共需用油多少公升？解：依題意，大卡車每噸耗油量為10247?？偣灿脮r(2＋1)＋(6＋2)＋2＝13分鐘?！痉治觥浚阂惯^河時間最少，應抓住以下兩點：(1)同時過河的兩頭牛過河時間差要盡可能小(2)過河后應騎用時最少的?；貋?。所以花費的總時間為：2＋1＋10＋2＋2＝17分鐘。那么就應該讓甲和乙先過橋，用時2分鐘，再由甲返回送手電筒，需要1分鐘，然后丙、丁搭配過橋，用時10分鐘。而他們只有一個手電筒，每次又只能過兩個人，所以每次過橋后，還得有一個人返回送手電筒?，F(xiàn)在希望可以用最短的時間過橋，怎樣才能做到最短呢？你來幫他們安排一下吧。統(tǒng)籌規(guī)劃問題（三）【試題】甲、乙、丙、丁四個人過橋，分別需要1分鐘，2分鐘，5分鐘，10分鐘。雅智教育 立德樹人 傳道解惑 啟發(fā)思維 成就英才解：應按丙，乙，甲，丁順序用水。統(tǒng)籌規(guī)劃問題（二）【試題】甲、乙、丙、丁四人同時到一個小水龍頭處用水，甲洗拖布需要3分鐘，乙洗抹布需要2分鐘，丙用桶接水需要1分鐘，丁洗衣服需要10分鐘，怎樣安排四人的用水順序，才能使他們所花的總時間最少，并求出這個總時間。為了節(jié)省汽油應盡量選派大卡車運貨，又由于137=527+2，因此，最優(yōu)調(diào)運方案是：選派27車次大卡車及1車次小卡車即可將貨物全部運完，且這時耗油量最少，只需用油1027+51=275(公升)【試題】用一只平底鍋烙餅，鍋上只能放兩個餅，烙熟餅的一面需要2分鐘，兩面共需4分鐘，現(xiàn)在需要烙熟三個餅，最少需要幾分鐘？【分析】：一般的做法是先同時烙兩張餅，需要4分鐘，之后再烙第三張餅，還要用4分鐘，共需8分鐘，但我們注意到，在單獨烙第三張餅的時候，另外一個烙餅的位置是空的，這說明可能浪費了時間，怎么解決這個問題呢？我們可以先烙第一、二兩張餅的第一面，2分鐘后，拿下第一張餅，放上第三張餅，并給第二張餅翻面，再過兩分鐘，第二張餅烙好了，這時取下第二張餅，并將第三張餅翻過來，同時把第一張餅未烙的一面放上。5=2(公升)；小卡車每噸耗油量為5247。共需要1+10=11分鐘。第一篇：四年級奧數(shù) 統(tǒng)籌規(guī)劃問題(教師用)雅智教育 立德樹人 傳道解惑 啟發(fā)思維 成就英才小學四年級奧數(shù)題：統(tǒng)籌規(guī)劃（一）【試題】燒水沏茶時，洗水壺要用1分鐘，燒開水要用10分鐘，洗茶壺要用2分鐘，洗茶杯用2分鐘，拿茶葉要用1分鐘，如何安排才能盡早喝上茶?！痉治觥浚合认此畨?然后燒開水，在燒水的時候去洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉?！驹囶}】有137噸貨物要從甲地運往乙地，大卡車的載重量是5噸，小卡車的載重量是2噸，大卡車與小卡車每車次的耗油量分別是10公升和5公升，問如何選派車輛才能使運輸耗油量最少？這時共需耗油多少升？【分析】：依題意，大卡車每噸耗油量為10247。2=(公升)。兩分鐘后，第一張和第三張餅也烙好了，整個過程用了6分鐘?！痉治觥浚核ǖ目倳r間是指這四人各自所用時間與等待時間的總和，由于各自用水時間是固定的，所以只能想辦法減少等待的時間，即應該安排用水時間少的人先用。丙等待時間為0，用水時間1分鐘，總計1分鐘乙等待時間為丙用水時間1分鐘，乙用水時間2分鐘，總計3分鐘甲等待時間為丙和乙用水時間3分鐘，甲用水時間3分鐘，總計6分鐘丁等待時間為丙、乙和甲用水時間共6分鐘，丁用水時間10分鐘，總計16分鐘，總時間為1＋3＋6＋16＝26分鐘。因為天黑，必須借助于手電筒過橋，可是他們總共只有一個手電筒，并且橋的載重能力有限，最多只能承受兩個人的重量，也就是說，每次最多過兩個人。最短時間是多少分鐘呢？【分析】：大家都很容易想到，讓甲、乙搭配，丙、丁搭配應該比較節(jié)省時間。為了節(jié)省時間，肯定是盡可能讓速度快的人承擔往返送手電筒的任務。接下來乙返回，送手電筒，用時2分鐘，再和甲一起過橋，又用時2分鐘。解：2＋1＋10＋2＋2＝17分鐘【試題】小明騎在牛背上趕牛過河，共有甲乙丙丁四頭牛，甲牛過河需1分鐘，乙牛需2分鐘，丙牛需5分鐘，丁牛需6分鐘，每次只能騎一頭牛，趕一頭牛過河。解：小明騎在甲牛背上趕乙牛過河后，再騎甲牛返回，用時2＋1＝3分鐘然后騎在丙牛背上趕丁牛過河后，再騎乙牛返回，用時6＋2＝8分鐘最后騎在甲牛背上趕乙牛過河，不用返回，用時2分鐘。第二篇：四年級奧數(shù)第十二講——簡單統(tǒng)籌規(guī)劃(教師用)遠輝教育遠輝教育奧數(shù)班第十二講——簡單統(tǒng)籌規(guī)劃主講人：楊老師學生：四年級電話：62379828一、學習要點：最優(yōu)化概念反映了人類實踐活動中十分普遍的現(xiàn)象，即要在盡可能節(jié)省人力、物力和時間的前提下，努力爭取獲得在允許范圍內(nèi)的最佳效益．因此，最優(yōu)化問題成為現(xiàn)代應用數(shù)學的一個重要研究對象，它在生產(chǎn)、科學研究以及日常生活中都有廣泛的應用．作為數(shù)學愛好者，接觸一些簡單的實際問題，了解一些優(yōu)化的思想是十分有益的．二、典例剖析：例1 媽媽讓小明給客人燒水沏茶．洗開水壺要用1分鐘，燒開水要用15分鐘．洗茶壺要用1分鐘，洗茶杯要用1分鐘，拿茶葉要用2分鐘．小明估算了一下，完成這些工作要20分鐘．為了使客人早點喝上茶，按你認為最合理的安排，多少分鐘就能沏茶了？分析 本題取自華羅庚教授1965年發(fā)表的《統(tǒng)籌方法平話》．燒水沏茶的情況是：開水要燒，開水壺要洗，茶壺茶杯要洗