三角形的重心定理及其證明-展示頁
2024-10-13 14:52本頁面
【正文】 三角形的外心。指三角形三條邊的垂直平分線的相交點。重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。重心的幾條性質(zhì)：重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。求證：F為AB中點。證明過程又是塞瓦定理的特例。.因此，我們令l=1m1l1m1l2，=，=m.解之得l1uuuruuuur=m==OG162。l2=1l1uuuruuuruuuruur因為L是BC的中點，所以GL=GA+AC+CLr2uuur1uuuruuurr1uuuruuur1uuur1uuu1uuu=(AB+AC)+AC+CB =AB+AC+(ABAC)332332uuur1uuur1uuur所以 l1=l2=，所以 AG=AB+3uuuruuurr1uuur1uuu=AB+AC，即AG=2GL66，所以A、G、BM、CN相交于一點G，且AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕1證明3（向量法）（如圖3）在VABC中，BC的中點Luuur1uuuruuur對應(yīng)于OL=(OB+OC)，中線AL上的任意一點G，有uuuruuuruuurOG=lOA+(1l)OLuuur1luuur1luuur=lOA+2OB+，AB的中線CN上的任意點G′，uuuuruuurOG162。uuur又因為AB、AC 不共線，所以 237。第一篇：三角形的重心定理及其證明三角形的重心定理及其證明積石中學王有華同學們在學習幾何時，？下面給出三種證明方法，你閱讀后想一想，：（如圖）設(shè)VABC中，L、M、N分別是BC、CA、：AL、BM、CN相交于一點G，且AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕（平面幾何法）：（如圖1）假設(shè)中線AL與BM交于G，而且假設(shè)C與G的連線與AB邊交于N，延長GL，并在延長線上取點D，使GL=LD。因為四邊形BDCG的對角線互相平分，BG∥DC，即GM∥，因此，GC∥BD，即NG∥，G是AD的中點，因此AG﹕GL=2﹕：BG﹕GM=2﹕1，CG﹕GN=2﹕（向量法）：（如圖2）在VABC中，設(shè)AB邊上的中1線為CN，AC邊上的中線為BM，其交點為G，邊BC的中點為L，連接AG和GL，因為B、G、M三點共線，且M是AC的中點，uuuruuuur所以向量BG∥BM，所以，存在實數(shù)l1CuuuruuuuruuuruuuruuuuruuurBG=l1BM，即 AGAB=l1(AMAB)uuuruuuuruuur所以，AG=l1AM+(1l1)AB，使得uuuruuur=l1AC+(1l1)AB同理，因為C、G、N三點共線，uuuruuuruuur以存在實數(shù)l2，使得 AG=l2AN+(1l2)ACuuuruuur1= l2AB+(1l2)AC2uuuruuuruuuruuur1所以l1AC+(1l1)AB = l2AB+(1l2)AC 22uuur236。1212l1=1l2238。=mOC+1muuur12A+muuurO2OB，求中線AL和CN的交點，就是要找一個l和一個m，使uuuruuuurOG=OG162。=1uuur1uuur1uuur3OA+3OB+，、CN、BM相交于一點G，且易證AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕1.第二篇：三角形重心重心是三角形三邊中線的交點，三線交一可用燕尾定理證明，十分簡單。已知：△ABC中，D為BC中點，E為AC中點，AD與BE交于O，CO延長線交AB于F。證明：根據(jù)燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再應(yīng)用燕尾定理即得AF=BF，命題得證。重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術(shù)平均，即其坐標為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空間直角坐標系——橫坐標：(X1+X2+X3)/3 縱坐標：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標：（z1+
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1