山西省太原市20xx屆高三上學期期末數(shù)學試卷理科word版含解析-展示頁
2024-12-12 19:23本頁面
【正文】 時， f（ x） =2；當 ＜ x≤ π﹣ arctan2 時，同理可得 f（ x） =2﹣ ．當 π﹣ arctan2＜ x≤ π時， f（ x） =4﹣ =4+ ．即可判斷出． 【解答】 解：當 0≤ x≤ arctan2 時， f（ x） = = ； 當 arctan2＜ x＜ ，在 △ OBE 中， f（ x） =S 矩形 OABM﹣ S△ OME=2﹣ =2﹣ ； 當 x= 時， f（ x） =2； 當 ＜ x≤ π﹣ arctan2 時，同理可得 f（ x） =2﹣ ． 當 π﹣ arctan2＜ x≤ π時， f（ x） =4﹣ =4+ ．于是可得： ① = = ，正確； ②由圖形可得： ? x∈ [0， π]）， f（ x） +f（ π﹣ x） =4， 因此對任意 x∈ [0， ]，都有 f（ ﹣ x） +f（ +x） =4，故正確； ③不妨設 x1＜ x2，則 ＜ 0?f（ x1） ＞ f（ x2），顯然不正確． 綜上只有： ①②正確． 故答案為： ①②． 三、解答題：本大題共 5 小題，共 70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17．設數(shù)列 {an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且 a1=3， a2+a3=36． （ 1）求數(shù)列 {an}的通項公式； （ 2）若數(shù)列 {bn}對任意的正整數(shù) n 都有 + + +…+ =2n+1，求 b1+b2+b3+…+b2021的值． 【考點】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式． 【分析】 （ 1）設等比數(shù)列 {an}的公比為 q＞ 0，由于 a1=3， a2+a3=36．根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可得出 an． （ 2）由于數(shù)列 {bn}對任意的正整數(shù) n 都有 + + +…+ =2n+1，當 n=1 時， =3，解得 b1．當 n≥ 2 時，可得 =2，再利用等比數(shù)列的前 n 項和公式即可得出． 【解答】 解：（ 1）設等比數(shù)列 {an}的公比為 q＞ 0， ∵ a1=3， a2+a3=36． ∴ 3（ q+q2） =36，解得 q=3． ∴ an=3n． （ 2） ∵ 數(shù)列 {bn}對任意的正整數(shù) n 都有 + + +…+ =2n+1， ∴ 當 n=1 時， =3，解得 b1=9． 當 n≥ 2 時， + + +…+ =2n﹣ 1， ∴ =2， ∴ bn=2an=2 3n． ∴ bn= ． ∴ b1+b2+b3+…+b2021=9+2（ 32+33+…+32021） =3+ =32021． 18．已知 a， b， c 分別為 △ ABC 內(nèi)角 A， B， C 的對邊，且 c?cosA﹣ acosC= b． （ 1）其 的值； （ 2）若 tanA， tanB， tanC 成等差數(shù)列，求 的值． 【考點】 余弦定理；正弦定理． 【分析】 （ 1）由正弦定理化簡已知等式可得： sinCcosA﹣ sinAcosC= sinB，整理可得：sinCcosA=5sinAcosC，利用同角三角函數(shù)基本關系式即可得解 的值； （ 2）利用等差數(shù)列的性質可得 2tanB=tanA+tanC，設 tanA=x，由（ 1）可得 tanC=5x，解得tanB=3x，由 tanB=﹣ tan（ A+C），可得 3x= ，解得 tanA的值，由題設可知， A為銳角，可求 cosA，利用余弦定理即可得解 的值． 【解答】 （本題滿分為 12 分） 解：（ 1） ∵ c?cosA﹣ acosC= b． ∴ 由正弦定理可得： sinCcosA﹣ sinAcosC= sinB= sin（ A+C） = （ sinAcosC+cosAsinC）， …3分 ∴ 整理可得： sinCcosA=5sinAcosC， ∴ = = …6 分 （ 2） ∵ tanA， tanB， tanC 成等差數(shù)列， ∴ 2tanB=tanA+tanC， 若設 tanA=x，由（ 1）可得 tanC=5x，可得： tanB=3x， ∵ tanB=﹣ tan（ A+C）， ∴ 3x= ，解得 x= ，即 tanA= ， …10 分 由題設可知， A最小，一定為銳角， ∴ cosA= ， ∴ =﹣ 2cosA=﹣ …12 分 19．已知平行四邊形 ABCD中， ∠ A=45176。且 AB=BD=1，將 △ ABD 沿 BD 折起，使得平面ABD⊥ 平面 BCD，如圖所示： （ 1）求證： AB⊥ CD； （ 2）若 M 為 AD 的中點，求二面角 A﹣ BM﹣ C 的余弦值． 20．某校高一年級開設 A， B， C， D， E五門選修課，每位同學須彼此獨立地選三門課程，其中甲同學必選 A課程，不選 B 課程，另從其余課程中隨機任選兩門課程．乙、丙兩名同學從五門課程中隨機任選三 門課程． （ Ⅰ ）求甲同學選中 C 課程且乙同學未選中 C 課程的概率； （ Ⅱ ）用 X 表示甲、乙、丙選中 C 課程的人數(shù)之和，求 X 的分布列和數(shù)學期望． 21．函數(shù) f（ x） =axn（ 1﹣ x）（ x＞ 0， n∈ N*），當 n=﹣ 2 時， f（ x）的極大值為 ． （ 1）求 a 的值； （ 2）求證： f（ x） +lnx≤ 0； （ 3）求證： f（ x） ＜ ． 請在 2 2 24三體中任選一題作答，注意：只能做選做給定的題目，如果多做，則按所做的第一個題目計分 [選修 41：幾何證明選講 ] 22．如圖，四邊形 ABCD 內(nèi)接于 ⊙ O， BA， CD 的延長線相交于 點 E， EF∥ DA，并與 CB的延長線交于點 F， FG 切 ⊙ O 于 G． （ 1）求證： BE?EF=CE?BF； （ 2）求證： FE=FG． [選修 44：坐標系與參數(shù)方程 ] 23．已知曲線 C1的參數(shù)方程為 ，當 t=﹣ 1 時，對應曲線 C1上一點A，且點 A關于原點的對稱點為 B．以原點為極點，以 x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 C2的極坐標方程為 ． （ 1）求 A， B 兩點的極坐標； （ 2）設 P 為曲線 C2上的動點，求 |PA|2+|PB|2的最大值． [選修 45：不等式選講 24．設函數(shù) f（ x） =|x﹣ 2|﹣ 2|x+1|． （ 1）求 f（ x）的最大值； （ 2）若 f（ x） ≤ mx+3+m 恒成立，求 m 的取值范圍． 20212021 學年山西省太原市高三（上）期末數(shù)學試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12小題，每小題 5分，共 60分，在每個小題給出的
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