7學習數學史的感受-展示頁
2024-09-19 18:43本頁面
【正文】 克爾的改進，形成了一個無矛盾的集合論公理系統(tǒng)（即所謂 zf公理系統(tǒng)），這場數學危機到此緩和下來。因此可以明確了，實質上，羅素悖論就是一個以否定形式陳述的最大集合悖論。這樣看來，羅素悖論中所定義的一切 rr 的集合，就應該是一切合法集合的集合， 第 4 頁 共 16 頁 也就是所有集合的集合，這就是同類事物包含所有的同類事物，必會引出最大的這類事物。因為既要 r 有異于 r 的元素，又要r 與 r 是相同的，這顯然 是不可能的。這是由于 r是集合，若 r含有自身作為元素，就有 rr，那么從集合的角度就有 rr。 羅素在該悖論中所定義的集合 r，被幾乎所有集合論研究者都認為是在樸素集合論中可以合法存在的集合。柯西認為把無窮小量作為確定的量，即使是零，都說不過去，它會與極限的定義發(fā)生矛盾。如果不是零，又怎么能把包含著無窮小量的那些項去掉呢。微積分的主要創(chuàng)始人牛頓在一些典型的 第 3 頁 共 16 頁 推導 過程中，第一步用了無窮小量作分母進行除法，當然無窮小量不能為零；第二步牛頓又把無窮小量看作零，去掉那些包含它的項，從而得到所要的公式，在力學和幾何學的應用證明了這些公式是正確的，但它的數學推導過程卻在邏輯上自相矛盾 .焦點是：無窮小量是零還是非零。十七世紀微積分誕生后，由于推敲微積分的理論基礎問題，數學界出現混亂局面，即第二次數學危機。很顯然，只要承認不可通約量的存在使幾何量不再受整數的限制，所謂的數學危機也就不復存在了。兩個幾何線段，如果存在一個第三線段能同時量盡它們，就稱這兩個線段是可通約的，否則稱為不可通約的。使當時希臘數學家們深感不安，相傳希伯索斯因這一發(fā)現被投入海中淹死，這就是第一次數學危機。希伯索斯的發(fā)現被認為是 “ 荒謬 ” 和違反常識的事。當時人們對有理數的認識還很有限，對于無理數的概 第 2 頁 共 16 頁 念更是一無所知，畢達哥拉斯學派所說的數，原來是指整數，他們不把分數看成一種數，而僅看作兩個整數之比，他們錯誤地認為，宇宙間的一切現象都歸結為整數或整數之比。 第一次危機發(fā)生在公元前 580～ 568 年之間的古希臘，數學家畢達哥拉斯建立了畢達哥拉斯學派。作為人類智慧的結晶，數學不僅是人類文化的重要組成部分，而且始終 是推動人類文明進步的重要力量。發(fā)現數學的發(fā)展伴隨著人類的發(fā)展，上下五千年的人類文明蘊藏著十分豐富的數學史料。你能列舉幾位著名中國籍的數學家。 第 1 頁 共 16 頁 學習數學史的感受 學習《數學史》的心得體會 你知道畢達哥拉斯何許人。 你能列舉《幾何原本》與《九章算術》的不同風格。 這些問題讓我們學了十幾年數學的學生不知所答，但隨著上學期對《數學史》進行整合學習，對這些問題逐漸明朗與了解。通過學習讓我們更加深入地了解數學的發(fā)展歷程，歷經數學萌芽期、初等數學時期、變量數學時期、近代數學時期、現代數學時期，這如同胎兒的發(fā)育過程，大體要經過從單細胞生物到人類的進化過程，要經過類似原生動物、腔腸動物、脊椎動物、靈長類等各階段，最后才長成人類的樣子。 在數學那漫漫長河中，三次數學危機掀起的巨浪，真正體現了數學長河般雄壯的氣勢。這個學派集宗教、科學和哲學于一體，該學派人數固定，知識保密，所有發(fā)明創(chuàng)造都歸于學派領袖。該 學派的成員希伯索斯根據勾股定理（西方稱為畢達哥拉斯定理）通過邏輯推理發(fā)現，邊長為 1 的正方形的對角線長度既不是整數，也不是整數的比所能表示。它不僅嚴重地違背了畢達哥拉斯學派的信條，也沖擊了當時希臘人的傳統(tǒng)見解。 最后，這場危機通過在幾何學中引進不可通約量概念而得到解決。正方 形的一邊與對角線，就不存在能同時量盡它們的第三線段，因此它們是不可通約的。 第二次數學危機發(fā)生在十七世紀。其實我翻了一下有關數學史的資料，微積分的雛形早在古希臘時期就形成了，阿基米德的逼近法實際上已經掌握了無限小分析的基本要素，直到 2100 年后，牛頓和萊布尼茲開辟了新的天地 —— 微積分。如果是零，怎么能用它做除數。 直到 19 世紀，柯西詳細而有系統(tǒng)地發(fā)展了極限理論。無窮小量應該是要怎樣小就怎樣小的量，因此本質上 它是變量，而且是以零為極限的量，至此柯西澄清了前人的無窮小的概念，另外 weistrass 創(chuàng)立了極限理論，加上實數理論，集合論的建立，從而把無窮小量從形而上學的束縛中解放出來，第二次數學危機基本解決。事實雖是這樣但原因卻又是什么呢。一個集合真包含它自己
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