【正文】 多屬性決策的簡單加性加權(quán)法 在某些情況下可以采用簡單加性加權(quán)法對方案進行排隊，該方法是較為常用的多目標(biāo)決策方法之一。如果用來選拔人才，則有一技之長的人被保留下來。 采用該方法進行篩選，如果標(biāo)準(zhǔn)值規(guī)定的太低，會使留下的方案數(shù)目太多，達不到篩選 的目的；而如果標(biāo)準(zhǔn)值規(guī)定的太高，又會使留下的方案數(shù)目太少；一個比較可行的方式，是采用迭代的方法逐步提高標(biāo)準(zhǔn)值。 2. 滿意法 對每個屬性規(guī)定一個最低可以接受的值，即規(guī)定 yij ?yj0 ,j = 1, 2, ?， n 。如果方案 A 和 B 相比較，方案 A 的某個屬性值優(yōu)越于方案 B ，且方案 A 在其他屬性值上均不劣于方案 B ，則我們應(yīng)當(dāng)認為方案 A 是優(yōu)于方案 B 的，方案 B 被篩選掉，留下了方案 A ；如果方案 A 與另一個方案 C 比較，方案 A 劣于方案 C ，則篩選的結(jié)果是留下方案 C 。 13 篩選方案的幾種方法 如果在決策問題一開始所擁有的行動方案太多，那么就應(yīng)該采取一定的方法進行篩選，以減少進一步分析中所擁有的方案的數(shù)量。 ? 往往采用下列變換方式進行規(guī)范化： 11 決策矩陣規(guī)范化 1. 向量規(guī)范化 令 Zij ＝ yij ??miijy12 這種變換把所有屬性值均化為無量綱的量，且均處于【 0 ， 1 】范圍內(nèi)，但這種變換是非線性的，有時不便于屬性間的比較。若用目標(biāo)函數(shù)來表示屬性，則屬性 yij為 yij = fj ( xi) ， i = 1 ， 2, ?， m ； j = 1 ， 2 ，?， n 各方案的屬性值可用矩陣表示， 這個矩陣稱為決策矩陣，它提供了分析決策問題的基本信息 。這類問題的特點是對各備選方案進行評價，排定各方案的優(yōu)先次序。 8 有限個方案多目標(biāo)決策 ? 多屬性決策問題，也稱為有限個方案的多目標(biāo)決策問題，如：某人擬從 n處房屋中選購一所作為自己的住處，某企業(yè)欲從 n個地點中選擇一處建立新廠。 7 非劣解的概念 定義 （非劣解）對于一個多目標(biāo)決策問題的解來說，如果不存在另外一個可行解，在任何一個目標(biāo)上均不劣于該解的相應(yīng)目標(biāo)值，且至少在某個目標(biāo)上優(yōu)于該解，則稱該解為該多目標(biāo)決策問題的非劣解。我們說方案集 X 中的方案 x 和 y 在同一無差異類，當(dāng)且僅當(dāng) x?y 和 y?x 。 我們研究多屬性價值函數(shù)的存在性，設(shè)優(yōu)先序 ? 是方案集 X 上的一個弱序，即滿足 （ 1 ）對 ? x ， y ， z ? X ， 若 x?y ， y?z ，有 x?z ； （ 2 ）對 ? x ， y ? X ，有 x?y 或者 y?x 。因此決策過程就是一個逐步尋優(yōu)、確定最優(yōu)方案的過程。 ? 在多目標(biāo)決策中 (第一類 )，有限個方案一般事先是知道的，然后根據(jù)多個準(zhǔn)則去選擇最優(yōu)的方案。后一種又稱為多屬性決策 (multiple attribute decision making)，又稱為多準(zhǔn)則決策 (multicriteria decision making) 。 ? 有限個方案多目標(biāo)決策問題，又可以分為兩類，一個是多個目標(biāo)、多種方案之間的優(yōu)化決策。 2 ．目標(biāo)排序， 所謂目標(biāo)排序，就是決策者根據(jù)目標(biāo)的重要程度排成一個次序，最重要的目標(biāo)排在第一位，在選擇方案時，必須先達到重要目標(biāo)后才能再考慮下一個目標(biāo)，然后再進行選擇，做出決策。我們可以 把幾個目標(biāo)，通過同度量、平均或構(gòu)成函數(shù)的辦法構(gòu)成一個綜合目標(biāo)。根據(jù)各個目標(biāo)的重要性，分清主次關(guān)系，把本質(zhì)的主要目標(biāo)列為目標(biāo)，而把其余的非主要、非本質(zhì)的列為約束條件。 多目標(biāo)決策問題由于目標(biāo)之間有明顯的客觀聯(lián)系，故可以把類似的幾個目標(biāo)合并為一個目標(biāo)來解決。 如果決策的各目標(biāo)中，包括兩個對立而無法協(xié)調(diào)的目標(biāo)，經(jīng)過決策者權(quán)衡之后， 在必要時，就應(yīng)犧牲其中的一個。我們通常的做法有如下幾種： （ 1 ）剔除那些不必要和從屬性的目標(biāo)。 4 多目標(biāo)決策問題兩個基本原則 1 ．化多為少原則 在實際問題中，決策目標(biāo)數(shù)越多，選擇標(biāo)準(zhǔn)就越多，比較和選擇各種不同方案就越困難。人們所要達到的目的稱為目標(biāo)，為了具體化，便于計算和度量，常把總目標(biāo)分解為中目標(biāo)，小目標(biāo)。在多目標(biāo)決策過程中，決策人，決策分析人員和計算機等結(jié)合起來構(gòu)成決策單元，其主要作用是：收集并處理各種信息，制定決策規(guī)則，作出決定等。決策人對風(fēng)險的態(tài)度，或者說，對某一個目標(biāo)的偏好不同，都會影響決策的結(jié)果。 ? 決策人偏好的差異性。 ? 目標(biāo)之間的矛盾性。 2 多目標(biāo)決策特點 ? 目標(biāo)之間的不可公度性。 ? 一個人選購?fù)庖?，要?quán)衡式樣、尺寸、顏色、質(zhì)地、價格等。 ? 確定新產(chǎn)品開發(fā)策略，必須考慮企業(yè)的投資能力、市場引力、潛在獲利、營銷能力、風(fēng)險程度等。預(yù)測與決策分析 Forecasting and Decision Analysis 多目標(biāo)決策分析 ? 在現(xiàn)實中，有許多決策問題需要考慮多個目標(biāo)。要滿足兩個以上目標(biāo)的決策，我們稱之為多目標(biāo)決策。 ? 一個國家的經(jīng)濟既要求能夠持續(xù)發(fā)展，又要求有一定的發(fā)展速度，同時還要求能各部門協(xié)調(diào)的健康發(fā)展。總之，無論是大的決策還是小的決策，都可能涉及多個目標(biāo)的問題。目標(biāo)之間的不可公度性是指各個目標(biāo)之間沒有一致的衡量標(biāo)準(zhǔn)，難于進行相互比較。多目標(biāo)問題之間常常是相互矛盾的，要提高一個目標(biāo)的值，常常要以犧牲另外一些目標(biāo)的值為代價。決策人的偏好不同、決策也不同。 3 多目標(biāo)決策兩個基本要素 ? 決策單元。 ? 目標(biāo)和屬性集。為了衡量目標(biāo)達到的程度，常采用一定的評價標(biāo)準(zhǔn)，稱為目標(biāo)的屬性，對屬性的要求是易于測量和理解。因此，應(yīng)將目標(biāo)化多為少，即在滿足決策的前提下，盡量減少目標(biāo)的個數(shù)。通過分析認為不必要和從屬性的目標(biāo)應(yīng)剔除。 （ 2 ）合并類似目標(biāo)。 （ 3 ）把次要目標(biāo)列為約束條件。 （ 4 ）構(gòu)成綜合、目標(biāo)。用模式表示為： ),( 21 npppfP ??，其中， P 表示綜合目標(biāo)，nppp , 21 ?表示子目標(biāo)。 5 多目標(biāo)決策問題的分類 ? 多目標(biāo)決策問題可分為有限個方案多目標(biāo)決策問題和無限個方案多目標(biāo)決策問題，后一類稱為多目標(biāo)規(guī)劃問題。還有一類是，雖然只有一個目標(biāo)，但評價這一個目標(biāo)有多種標(biāo)準(zhǔn)的，多種方案之間的優(yōu)化決策。 ? 多目標(biāo)規(guī)劃 (multiobjective programming)指無限個方案多目標(biāo)決策。而在多目標(biāo)規(guī)劃中，在給定的約束范圍內(nèi)方案數(shù)目是無限的，因而事先不能一個一個列舉出來，各方案的屬性值也是一個連續(xù)變化量。 6 多目標(biāo)決策問題的價值函數(shù) 定義 （價值函數(shù)）一實值函數(shù) V 稱為 X 上的價值函數(shù)，如果當(dāng) x?y 當(dāng)且僅當(dāng) V （ x ） ? V （ y ）。 方案集 X 可以劃分為可數(shù)個無差異類。 定理 （價值函數(shù)的存在性）如?是 X 上的一弱序，且 X 的無差異類集是可數(shù)的，則存在一 X 上的價值函數(shù)。 下面我們給出一種求解非劣解的辦法――加權(quán)法： 求解加權(quán)和問題： ma x ??ni 1wi fi ( x1， x2， ?， xn) x ? X 步驟一： 分別優(yōu)化每一個目標(biāo)，即令權(quán) ( w1， w2, ，?， wn) 分別為 (1 ， 0 ，?， 0) ，（ 0 ， 1 ， 0 ，?， 0 ），?， (0 ， 0 ，?， 1) ，求解加權(quán)和問題，得原問題非劣解集的“極端點”； 步驟二： 逐步改變權(quán)，使用一事先規(guī)定的步長，每個權(quán)從 0 改變到它的上限，對每組權(quán)分別求解加權(quán)和問題，產(chǎn)生原問題得非劣解； 步驟三： 從所求得的解中排除劣解。 ? 在選擇住房時要考慮到多個因素，如價格，使用面積，距工作地點的距離，設(shè)備，環(huán)境等，因此這是一個多目標(biāo)決策問題。 9 多屬性決策問題決策矩陣 用 X ＝ { x1, x2, ?， xm} 記可供選擇的行動方案的集合，用 Yi = { yi 1,yi2, … yi n} 記第 i 個行動方案的各屬性值，其中 yij表示第 i 個方案的第 j 個屬性的值。 決策矩陣 屬性 行動方案 y1 y2 ? yn x1 y11 y12 ? y1n x2 y21 y22 ? y2n ? ? ? ? ? xm ym1 ym2 ? ymn 10 決策矩陣規(guī)范化 ? 在這個決策矩陣中，如果采用原來的屬性值，往往不便于進行分析，這是由于各屬性所采用的量綱不同，且在數(shù)值上可能有很大的差異，因而常常需要把各屬性的值進行規(guī)范化，即把各屬性的值統(tǒng)一變化到 【 0， 1】 范圍內(nèi)。 2. 線性變換 如果目標(biāo)是效益值（屬性值越大越好），可令 Zi j ＝ iijijyym a x 由于ijiym a x是決策矩陣第 j 列的最大元素，我們就有 0 ? Zij ?1 如果目標(biāo)是成本值（屬性越小越好），可令 Zij ＝ 1 － iijijyym a x 也有 0 ? Zij ?1 12 決策矩陣規(guī)范化 3. 其他變換 對于效益，令 Zij ＝ iijijiiijijyyyy)( m i n)( m a xm i n?? 對于成本，令 Zij ＝ iijijiijiijyyyy)( m i n)( m a xm a x?? 這種變換能把屬性的最大值或最小值統(tǒng)一為 0 和 1 ，但是這種變換不成比例。 1. 優(yōu)選法 這是根據(jù)非劣 解 概念進行篩選的方法。 采用這一方法使得我們可以留下那些非劣方案。要求方案的每個屬性的值都必須超過這個最低值，只要有一個屬性的值達不到要求，該方案就被剔除。 3. 分離法 如果我們對方案的每個屬性值規(guī)定一個最低標(biāo)準(zhǔn)值，但 是并不要求所有的屬性值均達到這個標(biāo)準(zhǔn)，而只是要求有一個屬性值達到要求就可以了。如果在決策問題一開始所擁有的行動方案太多，那么就應(yīng)該采取一定的方法進行篩選，以減少進一步分析中所擁有的方案的數(shù)量。在知道了各目標(biāo)的權(quán)之后，對每個方案求各屬性值的加權(quán)和。 這里 wk, k = 1, ? , m 是第 k 個屬性的權(quán)，而 zij, j = 1,2, ?， m 是第 i 個方案的第 j 個屬性值。 權(quán)是目標(biāo)重要性的數(shù)量化表示，決策者可以按目標(biāo)的重要程度給各個目標(biāo)賦予不同的權(quán)重值，但在目標(biāo)較多的情況下，這種直接賦值難于進行，一般來說是把各目標(biāo)進行兩兩對比，但這種對比可能不夠準(zhǔn)確或者前后不一致。因此，需要采用一定的方法把目標(biāo)之間兩兩重要性對比的結(jié)果綜合起來確定一組權(quán)系數(shù)，常有下列兩種方法： 15 最小二乘法 首先，決策者把 m 個目標(biāo) f1,f2, … ， fm的重要性進行兩兩對比，根據(jù)組合原理共需比較 m ( m 1) / 2 次，把 fi對 fj的相對重要性記為 aij，這里 aij ?wi/wj, wi,wj分別表示目標(biāo) fi和 fj的權(quán)重，則兩兩對比的結(jié)果的判斷矩陣可表示為 f1 f2 ? fm f1 a11 a12 ? a1m f2 a21 a22 ? a2m ? ? ? ? ? fm am1 am2 ? amm 16 最小二乘法 A =????????????mmmmmmaaaaaaaaa???????212222111211???????????