【正文】 ???? ?????起 始 條 件 ：k k00k() ()( 0 ) 0 , 0 , 1 , 2 , ,nmzskkkkkkzxkd y t d x tabdt dtdy kndt???? ????????起 始 條 件 ： 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 一般的情況，設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為： 方程的解（時(shí)間響應(yīng)）為通解 （即自由響應(yīng)）與特解 （即強(qiáng)迫響應(yīng)）所組成， 若式（ ）的齊次方程的特征根 各相同，則 而 又分為兩部分，即 第一項(xiàng) :初態(tài)引起的自由響應(yīng)；第二項(xiàng) :輸入 x(t)引起的自由響應(yīng)， ( ) ( 1 )1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnna y t a y t a y t a y t x t??? ? ? ? ?（ ） 12( ) ( ) ( )y t y t y t??ist11( ) en iiy t A?? ?2 ( ) ( )y t B t?iis t s t1 1 211( ) e enniiiiy t A A??????（ ） （ ） 1()yt2()yt( 1, ..., )is i n?1()yt 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 全解 : 其中 :n和 si只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)。 將式（ ）代入式 ()，有 化簡得， 式中 于是，式（ ）的完全解為 12( ) ( ) ( )y t y t y t??1()yt2()yt1 ( ) sin c osnny t A t B t????（ ） （ ） （ ） 2( ) c os c osm k Y t F t? ? ?? ? ?211FYk ??? ?/ n? ? ??（ ） 21( ) si n c os c os1nnFy t A t B t tk? ? ??? ? ? ? ?（ ） /n km? ? 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 求解常數(shù) A與 B：將上式對 t求導(dǎo)，有 設(shè) 時(shí)， ，代入式（ ）與（ ），聯(lián)立解得： 代入式（ ），整理得通解： 第一、二項(xiàng) :初始條件（初始狀態(tài)）引起自由響應(yīng)，第三項(xiàng) :作用力引起的自由響應(yīng)，其振動(dòng)頻率均為 ，幅值受到 F的影響。如圖， 質(zhì)量為 m與彈簧剛度為 k的單自由度系統(tǒng)在外力 Fcos?t的作用下，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為 : 圖 單自由度的 mk系統(tǒng) （ ） ( ) ( ) c osy t k y t F t??? 時(shí)間響應(yīng)及其組成 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 這一非齊次常微分方程的完全解由兩部分組成： 式中， 是齊次微分方程的通解； 是其一個(gè)特解。 典型輸入信號(hào)便于進(jìn)行時(shí)間響應(yīng)分析；任何高階系統(tǒng)均可化為零階、一階、二階系統(tǒng)等的組合；任何輸入產(chǎn)生的時(shí)間響應(yīng)均可由典型輸入信號(hào)產(chǎn)生的典型時(shí)間響應(yīng)而求得； 。 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 。中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 第 3章 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析 在建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（包括微分方程與傳遞函數(shù)）之后，就可以采用不同的方法，通過系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型來分析系統(tǒng)的特性。時(shí)間響應(yīng)分析是重要的方法之一。及一階、二階系統(tǒng)的典型時(shí)間響應(yīng)。 因?yàn)檫@是正確進(jìn)行時(shí)間響應(yīng)分析的基礎(chǔ)；所謂系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及其組成就是指描述系統(tǒng)的微分方程的解與其組成，它們完全反映系統(tǒng)本身的固有特性與系統(tǒng)在輸入作用下的動(dòng)態(tài)歷程； 本章主要內(nèi)容 ∶ 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 首先來分析最簡單的振動(dòng)系統(tǒng)，即無阻尼的單自由度系統(tǒng)。由理論力學(xué)與微分方程中解的理論知： 式中， ，為系統(tǒng)的無阻尼固有頻率。第四項(xiàng) :作用力引起的強(qiáng)迫響應(yīng)，其振動(dòng)頻率為作用力頻率 . 2( ) c os si n si n1n n n nFy t A t B t tk?? ? ? ? ??? ? ? ? ?（ ） (0) ,nyA?? 21( 0) 1FBy k ??? ? 22( 0) 1 1( ) si n ( 0) c os c os c os11n n nny F Fy t t y t t tkk? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???（ ） 0t? ( ) ( 0) , ( ) ( 0)y t y y t y??自由響應(yīng) 強(qiáng)迫響應(yīng) 零輸入響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng) n?? 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 零輸入響應(yīng) （ “初態(tài) ”引起的自由響應(yīng)）是輸入信號(hào)為零，僅由系統(tǒng)的起始狀態(tài)作用所引起的響應(yīng) .為齊次方程 零狀態(tài)響應(yīng) （僅由輸入引起的響應(yīng)）是系統(tǒng)的起始狀態(tài)為零，即系統(tǒng)的起始貯能為零時(shí)，僅由激勵(lì)信號(hào)作用所引起的響應(yīng) . 為非齊次方程 控制工程主要研究 :零狀態(tài)響。 當(dāng)輸入函數(shù)有導(dǎo)數(shù)項(xiàng) :方程為： 利用線性原理 :利用方程 ()的解 (),可分別求出 作用時(shí)的響應(yīng)函數(shù)，然后疊加，就可以求得方程（ ）的解，即系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)。 iis t s t1211( ) e e ( )nniiiiy t A A B t??? ? ???( ) ( 1 )1 1 0( ) ( ) ( ) ( )nnnna y t a y t a y t a y t??? ? ? ?( ) ( 1 )1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ,mmmmb x t b x t b x t b x t n m??? ? ? ? ? ?（ ） （ ） 1( ) [ Y ( ) ]y t L s??()( ) , ( ) , , ( )mx t x t x t自由響應(yīng) 強(qiáng)迫響應(yīng) 零輸入響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng) 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 若所有的 ，自由響應(yīng)隨著時(shí)間逐漸衰減 , 當(dāng) 時(shí)自由響應(yīng)則趨于零 , 系統(tǒng)穩(wěn)定 , 自由響應(yīng)稱為瞬態(tài)響應(yīng) . 反之，只要有一個(gè) ，即傳遞函數(shù)的相應(yīng)極點(diǎn) 在復(fù)數(shù) [s]平面右半平面，自由響應(yīng)隨著時(shí)間逐漸增大，當(dāng) 時(shí)，自由響應(yīng)也趨于無限大 ,系統(tǒng)不穩(wěn)定，自由響應(yīng)就不是瞬態(tài)響應(yīng)。 穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 穩(wěn)定性、響應(yīng)快速性、響應(yīng)準(zhǔn)確性 :與自由響應(yīng)密切相關(guān)的。 ReisImis系統(tǒng) 穩(wěn)定性 、 響應(yīng)快速性 、 響應(yīng)準(zhǔn)確性 Reis 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 確定性信號(hào)： 變量和自變量之間的關(guān)系能夠用一確定性函數(shù)描述。 分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng) :采用典型輸入信號(hào)，比較其時(shí)間響應(yīng)。 12( ) ( )()( ) ( )ooiiX s X sGsX s X s??. 02 2 1( ) * ( ) ( ) * ( )il i ox t x t x t x t? 典型輸入信號(hào) 確定性信號(hào)和非確定性信號(hào) : 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 輸入信號(hào)： 正常工作輸入信號(hào)；外加測試信號(hào) 。 a單位脈沖函數(shù) b單位階躍函數(shù) c單位斜坡函數(shù) d單位拋物線函數(shù) e正弦函數(shù) f隨機(jī)函數(shù) 圖 典型輸入信號(hào) 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 單位階躍函數(shù) :其導(dǎo)數(shù)為零，對控制系統(tǒng)只給出了位置，故稱位置輸入信號(hào)； 單位斜坡函數(shù) :其導(dǎo)數(shù)為常數(shù)，一般稱為恒速輸入信號(hào)或速度輸入信號(hào)； 單位拋物線函數(shù) :其二次導(dǎo)數(shù)為常數(shù)，稱為加速度輸入信號(hào)。 () ( ) ( )ooidx tT x t x tdt ??0 () 1()( ) 1iXsGsX s T s?? ? 一階系統(tǒng) 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 輸入信號(hào) 是理想的單位脈沖函數(shù) 時(shí)，系統(tǒng)輸出 稱為單位脈沖響應(yīng)函數(shù)或簡稱為單位脈沖響應(yīng)，記為 而 所以 單位脈沖響應(yīng)函數(shù) :系統(tǒng)傳遞函數(shù)的 Laplace逆變換，即 所以 0( ) ( ) ( ) ( )iW s X s G s X s??( ) [ ( ) ] 1iX s L t???( ) ( )s G s?11 1( ) [ ( ) ] [ ]1w t L G s L Ts???/1( ) ( 0)tTt e tT???（ ） ()ixt()t? ()oxt() 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 w(t)只有瞬態(tài)項(xiàng)，而 B(t)為零。 過渡過程： 將指數(shù)曲衰減到初值的 2%之前的過程定義為過渡過程，相應(yīng)的時(shí)間為 4T。 系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù) T愈小 , 愈短 , 系統(tǒng)的慣性愈小，反應(yīng)的快速性能愈好。 實(shí)際脈沖信號(hào) : 具有一定的脈沖寬度和有限的幅度的來代替理想的脈沖信號(hào) , 脈沖寬度與系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù) T比，一般為 : 0. 1hT? 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)時(shí)，即 響應(yīng)函數(shù)的 Laplace變換式為： 其時(shí)間響應(yīng)函數(shù) [記為 ]為： 由式（ ）和式（ ）可知， 中 是瞬態(tài)項(xiàng)， 1是穩(wěn)態(tài)項(xiàng) B(t) 1( ) ( ) , [ ( ) ]ix t u t L u t s??0 11( ) ( ) ( ) 1iX s G s X s T s s? ? ??1/( ) [ ( ) ] 1 ( 0)tTou ox t L X s e t??? ? ? ?()ouxt()ou /tTe??（ ） 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 t 0 0 T 2T 4T 1 0 ()ouxt()ou1T T T T由式（ ）可得表 表 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 如圖 ，式（ ）表示的一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是一條單調(diào)上升指數(shù)曲線，穩(wěn)態(tài)值為 。 A點(diǎn)： 其對應(yīng)的時(shí)間 t=T時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng) 達(dá)到了穩(wěn)態(tài)值的 %； 零點(diǎn)： 其對應(yīng)的 t=0時(shí)， 的切線斜率（響應(yīng)速度）等于 1/T。 ()oux ?ouxt()ouxtou? 4tT? 4atT? 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 輸入單位階躍信號(hào)，并測出它的響應(yīng)曲線，及穩(wěn)態(tài)值 ； 從響應(yīng)曲線上找出 （即特征點(diǎn) A）所對應(yīng)的時(shí)間 t, 或 t=0點(diǎn)的切線斜率 。 ()oux ?()oux ?()ouxt( ) ( )ouw t x t?()wt( ) [ ( ) ]G s L w t?Gs()Gs實(shí)驗(yàn)法求一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 1 2 3 4 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 式中， 為無阻尼固有頻率；為阻尼比。 由式（ ）可見，隨著阻尼比 ξ取值的不同，二階系統(tǒng)的特征根也不同。 （ 2） 當(dāng) ξ=0時(shí) ，兩特征根為共軛純虛根，即 系統(tǒng)為無阻尼系統(tǒng)。 （ 4） 當(dāng) ξ1時(shí) ，特征方程有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根 系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)。 臨界阻尼的二階系統(tǒng)： 傳遞函數(shù)可分解為兩個(gè)相同的一階慣性環(huán)節(jié)相乘 ,但考慮負(fù)載效應(yīng) ,是不能等價(jià)為兩個(gè)相同的一階慣性環(huán)節(jié)串、并聯(lián)。 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 輸入信號(hào)是理想的單位脈沖函數(shù) 時(shí)，系統(tǒng)的輸出 稱為單位脈沖響應(yīng)函數(shù)，特別記為 。 ( ) ( ) ( )oiX s G s X s?( ) [ ( ) ] 1i s L t???( ) ( )W s G s?21122w ( ) [ ( ) ] [ ]2nnnt L G s L ss ?? ? ????? ??() d?()t? 0() 二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) ????????