【正文】 ???? ?2221)1()( ?????nnnsL21 ??? ?? nd 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 （ 1） 當(dāng) 0ξ1，欠阻尼系統(tǒng)時(shí)，由式（ ）可得 （ 2） 當(dāng) ξ=0，系統(tǒng)為無阻尼系統(tǒng)時(shí)，由式（ ）可得 （ 3） 當(dāng) ξ=1，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)時(shí)，由式（ ）可得 1 nnn22w ( t) [ ] = si n t t 0nnL s ?? ? ??????2t12 nn2( t) [ ] = t 0()nnL tes ?? ?? ?? ?() () () ??????????????? ?222221)1()(11)(????????nnnnsLtw 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 （ 4） 當(dāng) ξ1，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)時(shí)，由式（ ）可得 由式（ ）可知，過阻尼系統(tǒng) w(t)可視為兩個(gè)并聯(lián)的一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的疊加。 ???????????????????????????????????? ??nnnsLsLtw????????)1(1)1(112)(21212() 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 欠阻尼系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線 :減幅的正弦振蕩曲線。故欠阻尼系統(tǒng)又稱為二階振蕩系統(tǒng)，其幅值衰減的快慢取決于 稱為時(shí)間衰減函數(shù)，記為 σ。 1 1 12 2 2 221()( ) ( )1ndon d n dsx t L L Ls s s? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ???? ???? ? ? ???????? ? ? ??? ??? ??21 e c os si n1n tddtt?? ????? ????? ? ????20 211( ) 1 e si n1n tdx t t arc tg?? ????? ?? ???? ? ?? ??( 0)t?（ ） 其響應(yīng)函數(shù)討論如下： 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 （ 2） 當(dāng) ξ=0， 系統(tǒng)為無阻尼系統(tǒng)時(shí)，由式 ()可知 （ 3） 當(dāng) ξ=1， 系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)時(shí)，由式（ ），有 其響應(yīng)的變化速度為： 由此式可知：當(dāng) t=0時(shí)， 時(shí)， ， ，這說明過渡過程在開始時(shí)刻和最終時(shí)刻的變化速度為零，過渡過程是單調(diào)上升的。xt? ? ?0 ( ) 0 。從 S平面看，愈靠近虛軸的根，衰減越慢，對(duì)過渡過程影響愈大，起主導(dǎo)作用。 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)函數(shù)過渡過程特性 0ξ1 :為衰減振蕩，隨著阻尼的減小，振蕩愈加強(qiáng)烈； ξ=0 :等幅振蕩； ξ=1和 ξ1時(shí) :單調(diào)上升。 設(shè)計(jì)： 二階系統(tǒng)一般工作在 ξ=~。 特征參數(shù) 與 ξ值 決定 瞬態(tài)響應(yīng) 決定 過渡過程。 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 二階系統(tǒng)響應(yīng)的性能指標(biāo) 考慮： ①產(chǎn)生階躍輸入比較容易，而且從單位階躍響應(yīng)也較容易求得任何其它輸入的響應(yīng)；②在實(shí)際中，許多輸入與階躍輸入相似，而且階躍輸入又往往是實(shí)際中最不利的輸入情況。 因?yàn)椋?無振蕩的單調(diào)過程的過渡時(shí)間太長(zhǎng)，故除了那些不允許產(chǎn)生振蕩的系統(tǒng)外，通常都允許系統(tǒng)有適度的振蕩，以獲得較短的過渡過程時(shí)間。 ~ ? ? 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 有關(guān)二階系統(tǒng)響應(yīng)的性能指標(biāo)的定義及計(jì)算公式除特別說明者外，都是針對(duì) 欠阻尼二階系統(tǒng) 而言的； 更確切地說，是針對(duì) 欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 的過渡過程而言的。 欠阻尼二階系統(tǒng)（ ），階躍響應(yīng)為： 根據(jù)定義， 時(shí)， 由式（ ），得 考慮 故有 令 得 o 2( t) 1 e c os si n1n tddx t t?? ????? ????? ? ????21 1 e ( c os si n ) ,1nrt d r d rtt?? ??? ??? ? ? ?d 2c os si n 0 。 ,drt? ? ???.r dt?????21dn? ? ??rtrt ()xt?() tp 響應(yīng)曲線達(dá)到第一個(gè)峰值所需的時(shí)間定義為峰值時(shí)間，將式（ ）對(duì)時(shí)間 t求導(dǎo)數(shù)，并令其為零，便可求得峰值時(shí)間即由 () 0pttdx tdt???si n 0dpt? ? 0 , , 2 ,dpt? ? ?整理得 因此 dpt???p dt???() 由定義取 因此 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 因?yàn)樽畲蟪{(diào)量發(fā)生在峰值時(shí)間， 時(shí)，故將式（ ）與 代入式（ ），可求得： 可見峰值時(shí)間是有阻尼振蕩周期 的一半，另外，由關(guān)系式 及式（ ）可知 :當(dāng) ξ一定時(shí)， 增大， 就減小 。 2/d?? 21dn? ? ???n?pt n?ptrt Mp 最大超調(diào)量定義，即 ( ) ( ) 100 % .16()ppx t xMx?? ?????/pdtt ????( ) 1x? ??() 2/2/1e c os si n 100%1: e 100% ndppMM? ? ? ?? ? ????????????? ? ? ????? ? ?即 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 式中， 為指定微小量，一般取 。所以， 的大小說明系統(tǒng)的阻尼特性。 pM n?p pMpM 25% ~ %p ?4. 調(diào)整時(shí)間 ts 在過渡過程中， 取的值滿足下面不等式時(shí)所需的時(shí)間，定義為調(diào)整時(shí)間 。此時(shí)不僅 小，而且起調(diào)量 也不大，取 的另一理由將在 。snt ??? 3 .snt ???,??,??0 ???st ?? , st? ? ??,? ?st 7? ?st pM 7（ ） （ ） st 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 具體設(shè)計(jì)： 根據(jù)最大超調(diào)量 的要求，確定阻尼 ξ，所以調(diào)整時(shí)間 主要是根據(jù)系統(tǒng)的 來確定的。 pM stn? n??和stPMsptM和,n??st 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 在過渡過程時(shí)間 內(nèi)， 穿越其穩(wěn)態(tài)值 的次數(shù)的一半定義為振蕩次數(shù)，從式（ ）可知，系統(tǒng)的振蕩周期是 所以其振蕩次數(shù)為： 因此，當(dāng) 時(shí)，由 與 ，得 當(dāng) 時(shí)，由 與 ，得 從式（ ）和式（ ）可以看出，振蕩次數(shù) N隨著 ξ的增大而 減小，它的大小直接反映了系統(tǒng)的阻尼特性。提高 ，可以提高二階系統(tǒng)的響應(yīng)速度，減少上升時(shí)間 、峰值時(shí)間 和調(diào)整時(shí)間 ；增大 ξ，可以減弱系統(tǒng)的振蕩性能，降低 ，減小 N，但增加上升時(shí)間 和峰值時(shí)間 。要兼顧系統(tǒng)的振蕩性能和響應(yīng)速度，就要選取合適的 ξ和 值。當(dāng)有一單位階躍信號(hào)作用于系統(tǒng)時(shí)，求其性能指標(biāo) 和 。 pt 12 41 ???? snd ???故由式（ ），得 stdp ?? ??（ 2）求 。由式（ ）與式（ ）的近似式，得 st?????????????)(4)(13??ststnsns????)2( 2 nnss ????)(sX i )( sX o)(sE+圖 例 1框圖 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 解 由圖 (a)可知， 是階躍力輸入， ＝ ， 是輸出位移。 Ntxi )( ?)(txo ()ixt)(txo )(?ox式中： 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 （ 1）求 k 。 其實(shí)，根據(jù) Hooker定律很容易直接計(jì)算 k。 由 ，求得 （ 2）求 m。 將 代入 中，得 。 29 100 % % ? ? ?? ? 2 , ??? 21p d nt??? ???? ? 6n s? ?? 2/nkm ?2/n cm?? ?18 1. 8 /c N s m?? 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 【 例 3】 有一位置隨動(dòng)系統(tǒng)，其方框圖為圖 (a)。 （ 1）校核該系統(tǒng)的各參數(shù)是否滿足要求； （ 2）在原系統(tǒng)中增加一微分負(fù)反饋，如圖 (b)所示，求微分反饋的時(shí)間常數(shù) 。將 ξ值代入式（ ）得 但 ，故不能滿足本題要求?，F(xiàn)因 ，而 ，從而求得 。 2250 1000() ( 1 50 ) 50 20( 1 50 ) 1000B ss ??? ? ? ? ? ?5%pM ?? ? 131. 62n s? ?20 (1 50 ) 2 n? ????0. 02 36 s?pMn? 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 實(shí)際上，大量的系統(tǒng)，特別是機(jī)械系統(tǒng)，都可以用高階微分方程來描述。 對(duì)高階系統(tǒng)的研究和分析，一般是比較復(fù)雜的。 因此，本節(jié)將著重闡明高階系統(tǒng)過渡過程的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念，并利用這一概念，將高階系統(tǒng)簡(jiǎn)化為二階振蕩系統(tǒng)。也就是說，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有 n1個(gè)實(shí)極點(diǎn) pj及 n2對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn) 21k nk nk kj? ? ? ?? ? ? 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的 m個(gè)零點(diǎn)為 zi（ i=1,2， … ， m），那么系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可寫為 在單位階躍輸入 Xi(s)=1/s的作用下，輸出為 對(duì)上式按部分分式展開，得 1212211()()( ) ( 2 )miinnj k nk nkjkK s zGss p s s? ? ??????? ? ????（ ） 1212211()1( ) ( )( ) ( 2 )miio nnj k nk nkjkK s zX s G sss s p s s? ? ?????? ? ?? ? ????（ ） 1202211() 2nnj kkojk j k nk nkAA B s CXss s p s s? ? ????? ? ?? ? ???（ ） 中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院 由以上分析可知，在系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的極點(diǎn)中，如果距虛軸最近的一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的附近沒有零點(diǎn)，而其他的極點(diǎn)距虛軸的距離都在這對(duì)極點(diǎn)距虛距離的五