第2章理論分布與抽樣分布-展示頁
2025-01-19 06:23本頁面
【正文】 21)( 222)(dxexPx???? 正態(tài)分布的分布函數(shù) F(x)為： ? ?dxexFxx? ?? ??? 22221)( ???? 二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 由于正態(tài)分布是依賴于參數(shù) μ 和 σ 2 的一簇分布，正態(tài)曲線的位置由于上述參數(shù)的變化而不同。 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 的概率密度函數(shù)記為 (u)： 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 的概率分布函數(shù)記為 φ (u)： ? ? 2221 ueu?? ?? ? dueu u u????? 2221?? 對稱隨機變量 u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作 u～ N（ 0， 1），其密度曲線如圖。 按標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)公式計算，對不同的 u值編成函數(shù)表，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表（附表 1），從中可以查到任意一個區(qū)間內(nèi)曲線下的面積概率值。 ? ?因此概率的計算即正態(tài)分布概率密度函數(shù)的定積分計算。為了一般化的應(yīng)用，需將正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化。 由上述公式及正態(tài)分布的對稱性可推出下列關(guān)系式，再借助附表 1便能方便地計算有關(guān)概率： )()0( 11 ????? uuuP )()( 11 uuuP ???? )(2)( 11 uuu ???? )(21)( 11 uuu ????? )()()(1221 uuuuuP ?????? 例 1，已知 u～ N（ 0， 1），試求： P(u)=?,P(u≥ )=?, P(︱ u︱ ≥ )=?,P(≤ U)=? 利用公式，查附表 1得： P(u)＝ P(u≥ )=Φ ()= P(︱ u︱ ≥ )=2Φ () =2 = P(≤ u ) =Φ ()Φ () == 關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，以下幾種概率應(yīng)當(dāng)熟記： P(1≤ u1)= P(2≤ u2)= P(3≤ u3)= P(≤ u)= P(≤ u)= U變量在上述區(qū)間以外取值的概率分別為： P(︱ u︱ ≥1)=1 P(1≤u1)=1 = P(︱ u︱ ≥2)=1 P(2≤u2)=1 = P(︱ u︱ ≥3)=1 P(3≤u3)=1 = P(︱ u︱ ≥)=1 P(≤u) == P(︱ u︱ ≥)= 1 P(≤u) == 正態(tài)分布曲線和橫軸圍成的區(qū)域面積為 1，表明了隨機變量 x在（ ∞ ,+∞ ）之間取值，是一個必然事件，其概率為 1。 即： 對上式作變換 u＝（ xμ )/σ ，得 dx=σ du，故有： dxexxxPxxx22212)(21 21)( ? ?????????dueduedxexxxPuuuxxuxxx??????????????21221222212/)(/)(22)(21212121)(???????????? 由上述證明，服從正態(tài)分布的變量 x落在［ x1,x2）內(nèi)的概率，等于服從正態(tài)分布隨機變量 u落在［ （ x1 –μ ）/σ , （ x2 μ ） /σ ）即［ u1， u2）的概率。 例：已知 x~N(100,22)，求 P(100≤ x102)=? 由上述證明方法可得： P(100≤ x102) =P[(100100)/2≤(x 100)/2(102100)/2 ] =P(0≤ u1) =Ф (1)Ф (0) == 關(guān)于一般正態(tài)分布，以下幾個概念計算是經(jīng)常用到的： P(μ σ ≤ x μ +σ )= P(μ 2σ ≤ xμ +2σ )= P(μ 3σ ≤ xμ +3σ )= P(μ ≤ xμ + )= P(μ ≤ xμ + )= ?x小于 26： =(2630)/5= )()()26( ??????? uxp查附表 1, ? ????xu【例如】有一隨機變數(shù) X服從正態(tài)分布，平均數(shù) =30，標(biāo)準(zhǔn)差 =5，試計算 X小于 26，大于 40，介于 2640區(qū)間的概率。 統(tǒng)計學(xué)： 總體 樣本 抽樣分布 樣本 總體 統(tǒng)計推斷 一、樣本平均數(shù)的抽樣分布 復(fù)置抽樣 (返置抽樣 ) 不復(fù)置抽樣（不返置抽樣） 抽樣誤差 第二節(jié) 抽樣分布 總 體 (μ ,σ 2) ……. 樣本 1 樣本 2 樣本 n x x nx nxxxx n???? ?21 抽樣誤差：由同一總體進行抽樣獲得的多個
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