環(huán)的運(yùn)算性質(zhì)-展示頁
2024-10-11 00:24本頁面
【正文】 有 , , ,a b c R? ( ) ,( ) ,a b c a b a cb c a b a c a? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?則稱 為一個(gè) 環(huán) (ring), 或簡(jiǎn)稱 為環(huán) . ( , , )R ?? R注 在對(duì)環(huán)作進(jìn)一步討論之前 , 先對(duì)環(huán)的定義作 一些說明 : 1. 由環(huán)的定義知 是一個(gè)交換群 , 稱為環(huán) ( , )R ? R的加法群 . 的加法單位元常用 表示 , 稱為環(huán) 的 零 0R R元 . 環(huán) 的元素 的加法逆元稱為 的負(fù)元 , 記作 . a a?R a前頁 后頁 返回 4 目錄后頁前頁 由群的性質(zhì)可知 , 的零元及每個(gè)元素的負(fù)元都 R是唯一的 . 2. 如果環(huán) 的乘法還滿足交換律 , 則稱 為 交換 R R環(huán) （ mutative ring） . 3. 如果環(huán) 中存在元素 , 使對(duì)任意的 , 有 R e aR?,a e ea a??則稱 是一個(gè)有單位元的環(huán) , 并稱 為 的 R e R單位元 （ unity） . 與群不同 , 一個(gè)環(huán)不一定有單位 元 , 但容易證明 , 如果環(huán) 有單位元 , 則單位元是惟一的 . R前頁 后頁 返回 5 目錄后頁前頁 4. 設(shè)環(huán) 是有單位元 的環(huán) , . 如果存在 R e aR?, 使 bR? ,ab ba e??則稱 是 的一個(gè) 可逆元 (invertible element)或 單位 a R(unit), 并稱 為 的逆元 (inverse element). 易知 如果 b a要注意的是 , 環(huán)的一個(gè)元素不一定是可逆的 .容易證明 , 可逆 , 則 的逆元是惟一的 .可逆元 的逆元記作 a a 1a?a 對(duì)于一個(gè)有單位元的環(huán) ， 其所有可逆元組成的集合 R關(guān)于環(huán) 的乘法構(gòu)成群 .這個(gè)群稱為環(huán) 的單位群 R R前頁 后頁 返回 6 目錄后頁前頁 (group of units), 記作 . ()UR前頁 后頁 返回 7 目錄后頁前頁 例 1 設(shè) 規(guī)定 則 構(gòu)成 {0},R ? 0 0 0 , 0 0 0 .? ? ? ?R環(huán) , 稱為零環(huán) . 零環(huán)是惟一的一個(gè)有單位元且單位元 等于零元 , 并且零元也可逆的環(huán) . 今后 , 如無特別聲明 , 凡提到有單位元的環(huán)時(shí) , 我們總假定這個(gè)環(huán)不是零環(huán) , 因此環(huán)的單位元也就不等于零元 . 前頁 后頁 返回 8 目錄后頁前頁 例 2 整數(shù)集 、有理數(shù)集 、 實(shí)數(shù)集 、復(fù)數(shù) Z Q R集 對(duì)于通常數(shù)的加法與乘法構(gòu)成有單位元 的交換 C 1環(huán) , 分別稱為整數(shù)環(huán)、有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域 (后 三個(gè)環(huán)稱為域的原因見下一節(jié)例 6). 它們的單位群 分別是 、 、 和 . {1, 1}? *Q *R *C前頁 后頁 返回 9 目錄后頁前頁 例 3 全體偶數(shù)的集合 2 { 2 | }zz??ZZ對(duì)于通常數(shù)的加法與乘法構(gòu)成一個(gè)沒有單位元的交 換環(huán) . 前頁 后頁 返回 10 目錄后頁前頁 例 4 數(shù)域 上全體 階方陣 的集合 F ( 1)nn? ()nMF關(guān)于矩陣的加法與乘法構(gòu)成一個(gè)有單位元 (單位矩陣 ) E的非交換環(huán) , 稱為數(shù)域 上的 階全矩陣環(huán) . 這個(gè)環(huán) F n的單位群是 . ()nGL F前頁 后頁 返回 11 目錄后頁前頁 { 1 , 2 , , 1 }m m? ? ?Z關(guān)于剩余類的加法和乘法構(gòu)成有單位元 的交換環(huán) , 1例 5 設(shè) 為大于 的正整數(shù) , 則 的模 剩余類 m1 Zm集 : 稱為模 剩余類環(huán) (residue class ring). 這個(gè)環(huán)的單位 m群
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