【正文】 固定的情況下，要把精度提高一個數(shù)量級，試驗次數(shù) N需增加兩個數(shù)量級。 ??? 減小方差的各種技巧 顯然，當給定置信度 α 后，誤差 ε 由 σ 和 N決定。 zN??? ?通常，蒙特卡羅方法的誤差 ε定義為 關于蒙特卡羅方法的誤差需說明兩點： 第一，蒙特卡羅方法的誤差為概率誤差，這與其他數(shù)值計算方法是有區(qū)別的。 基本思想： ，或者是某個隨機變量的期望，或與概率、數(shù)學期望有關的量時，通過某種試驗的方法，得出該事件發(fā)生的頻率，或該隨機變量若干個觀察值的算術平均值，根據(jù)大數(shù)定律得到問題的解； 2. 要生成分布函數(shù)為 F(x)的隨機數(shù)， 可先生成 U(0,1)隨機數(shù) F，則可得到隨機數(shù) X=F1(F) 。由于蒙特卡羅方法能夠比較逼真地描述事物的特點及物理實驗過程，解決一些數(shù)值方法難以解決的問題，因而該方法的應用領域日趨廣泛。 蒙特卡羅方法是一種計算方法，但與一般數(shù)值計算方法有很大區(qū)別。蒙特卡羅方法簡介 陳萍 目 錄 ? 第一章 蒙特卡羅方法概述 ? 第二章 隨機數(shù)的產(chǎn)生 ? 第三章 EM算法和 MCMC方法 參考書 : 1. 茆詩松等 , 高等數(shù)理統(tǒng)計 (第 6章 ), 高等教育出版社 ,1998。 ，蒙特卡羅方法，上海科學技術出版社 第一章 蒙特卡羅方法概述 蒙特卡羅方法又稱隨機抽樣技巧或統(tǒng)計試驗方法。它以概率統(tǒng)計理論為基礎。 思想 理論基礎 ：大數(shù)定律；中心極限定理； F(X)~U(0,1)。 例（利用 MC進行歐式期權定價）設股票價格 St服從風險中性測度下的幾何 Brown運動： t t t tdS rS dt S dB???其離散化形式為 1 ( 1 ) ~ ( 0 , 1 ) ( 1 )i i i i iS r S S B B N?? ? ? ? ? ?根據(jù)金融工程理論，設現(xiàn)在股票價格為 S0， T時刻到期（單位天），敲定價為 K的歐式看漲期權的價格為 ? ?rT TC e E S K ?? ??????MC方案：按照（ 1）遞推產(chǎn)生 n條風險中性測度下的軌道，提取出 ST (n)；（ 2） ? ?? ?11? n irTTiC e S Kn ??????2. 蒙特卡羅方法的 誤差 2 /202( ) 12z tNzP X E X e d tN?? ? ?????? ? ? ? ????? ?dtexXEXNP xxtNN?? ???????????? ?? 2/221)(lim??????? ? dxxfXEx )())((0 22?根據(jù)中心極限定理如果隨機變量序列 X1， X2， … ， XN獨立同分布，且具有有限非零的方差 σ2 ，即 則 當 N充分大時，有如下的近似式 它表明，誤差收斂速度的階為 以概率 1α成立 。 第二，誤差中的均方差 σ是未知的，必須使用其估計值 2112 )1(1? ??????NiiNii XNXN?來代替，在計算所求量的同時，可計算出 。要減小 ε ，或者是增大 N，或者是減小方差 σ 2。因此，單純增大 N不是一個有效的辦法。 一般來說，降低方差的技巧，往往會使觀察一個子樣的時間增加。所以，一種方法的優(yōu)劣，需要由方差和觀察一個子樣的費用（使用計算機的時間）兩者來衡量。 它定義為 其中 c是觀察一個子樣的平均費用。 2)受幾何條件限制小。 4)誤差容易確定。 ? 缺點 1)收斂速度慢。 第二章 隨機數(shù)的產(chǎn)生 1 ( ) inf{ : ( ) } , 0 1F y x F x y y? ? ? ? ? 逆變換法 設隨機變量 X的分布函數(shù)為 F(x),定義 定理 設隨機變量 U服從 U(0,1)分布，則 的分布函數(shù)為 F(x). 由定理 ,要生成分布函數(shù)為 F(x)的隨機數(shù)，可先生成 U(0,1)隨機數(shù) U，則可得到隨機數(shù) X=F1(U) ? ?1X F U?? 合成法 如果 X的密度函數(shù) p(x)難于抽樣 ,而 X關于 Y的條件密度函數(shù) p(x|y)以及 Y的密度函數(shù) g(y)均易于抽樣，則 X 的隨機數(shù)可如下產(chǎn)生： Step1 由 Y的分布 g(y)抽取 y。 2)取 ,確定 i，使 3) 由 pi(x)抽取 x. 0 0? ?100iijjjju????????? 篩選抽樣 當 p(x)難以直接抽樣時，如果可以將 p(x) 表示成p(x)=c?h(x)g(x),其中 h(.)是一密度函數(shù)且易于抽樣，而 0g(x)?1,c?1是常數(shù)，則 X~p(x)的抽樣可如下進行 1）由 U(0,1)抽取 u，由 h(y)抽取 y； 2）如果 u?g(y),則 x=y停止； 3）如果 ug(y),回到 1） 上述方法就是篩選抽樣法，它是一種非常重要的抽樣方法，可解決許多難以直接抽樣的分布的抽樣問題。一種直觀的方法是：如果存在一個函數(shù) M(x)，滿足 p(x)?M(x),且 令 h(x)=M(x)/c, 若 h(x)易于抽樣，則 篩選抽樣變?yōu)? 1）由 U(0,1)抽取 u，由 h(y)抽取 y； 2）如果 u?p(y)/M(y),則 x=y停止； 3）如果 u p(y)/M(y),回到 1）。 注意到 ? ?11~ ( ) , 0 0 1xX p x x e x? ????? ? ? ??? ?? ?? ?11011()1xxxxx e M xex????????????????? ?? ??? ??? ? ? ? ? ?110c M x d x e?????? ? ? ? ? ??取 ? ?11111011xxxehxexe?????????????? ?? ?? ?? ??則 ? ? 1 011xexgxxx???? ??? ???? ?,1??于是， 的隨機數(shù)可如下抽取 1）由 U(0,1) 抽取 u， 2）由 h(y)抽取 y；（可使用逆變換法） 3）當 y?(0,1]時，如果 ，則 x=y， 否則轉(zhuǎn)到 1）； 4）當 y1時，如果 ，則 x=y， 否則轉(zhuǎn)到 1）； yue??1uy? ?? 隨機向量的抽樣法 設 X1,…,X k的聯(lián)合概率密度為 ? ? ? ? ? ?1 1 1 2 2 1 1 1( , .. ., ) | .. . | , .. .,k k k kp x x p x p x x p x x x ??定理 設 U1,…,U k是獨立同分布的 U(0,1)變量， X1,…,X k是方程 ? ?1111()| , . . . , 2 , . . . ,i i i iF X UF X X X U i k???? ???的解，其中 是對應于 的分布函數(shù)，則 X1,…,X k的分布為 (). iF ip() () 隨機向量的逆變換抽樣法： 1)由 U(0,1)分布獨立地抽取 u1,…,u k。 解： ? ?111 1 1 2 1 1 10( ) 6 6 1 0 1xp x x d x x x x?? ? ? ? ??? ?? ?122 2 1 2 11 1 1, 1( | ) , 0 11p x xp x x x xp x x? ? ? ? ??相應的邊際分布函數(shù)和條件分布函數(shù)分別為 ? ?1 231 1 2 1 1 10( ) 6 1 3 2 , 0 1xF x t t d x x x x? ? ? ? ? ??? ?2 12 2 1 2 1 2 101( | ) 1 , 0 11xF x x d t x x x xt ?? ? ? ? ? ???方程 ()變?yōu)? ? ?231 1 112 1 2321X X UX X U?? ???? ????此方程不易解，不妨交換兩自變量的次序 ? ?2122 2 1 1 2 20( ) 6 3 1 0 1xp x x d x x x?? ? ? ? ??? ?? ? ? ?2121 1 2 1 2 1 222,( | ) 2 1 , 0 1p x xp x x x x x xpx?? ? ? ? ? ?相應的邊際分布函數(shù)和條件分布函數(shù)分別為 ? ? ? ?1 2 122222 2 2 1 0 1 1 1 2 1 2 0