【正文】 直線方程為 y ＝－ ( x － 3) ，即 x ＋ y － 3 ＝ 0. x ＋ y － 3 ＝ 0 考題分析 本小題考查了直線的方程，直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式及圓的弦長(zhǎng)、弦性質(zhì)等．試題以直線與圓為背景，引入圓心坐標(biāo)，以垂徑定理為依據(jù)，構(gòu)建方程，是解決該題的關(guān)鍵． 易錯(cuò)提醒 ( 1 ) 不能熟練應(yīng)用垂徑定理，構(gòu)建方程． ( 2 ) 易忽視題目限制條件．如圓心在 x 軸的正半軸上． ( 3 ) 所求直線斜率是直線 l 的斜率的負(fù)倒數(shù)．這也是許多考生易錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn)． 主干知識(shí)梳理 1 ．直線的方程 ( 1 ) 在確定直線的斜率、傾斜角時(shí)，首先要注意斜率存在的條件，其次要注意傾斜角的范圍． ( 2 ) 在利用直線的截距式解題時(shí)，要注意防止由于“ 零截距 ” 而造成丟解的情況． ( 3 ) 在利用直線的點(diǎn)斜式、斜截式解題時(shí)，要注意檢驗(yàn)斜率不存在的情況，防止丟解． ( 4 ) 求直線方程的主要方法是待定系數(shù)法．在使用待定系數(shù)法求直線方程時(shí)，要注意方程的選擇，注意分類(lèi)討論的思想． ( 5 ) 在兩條直線的位置關(guān)系中，討論最多的還是平行與垂直，它們是兩條直線的特殊位置關(guān)系．另外，解題時(shí)認(rèn)真畫(huà)出圖形，有助于快速準(zhǔn)確地解決問(wèn)題． ( 6 ) 判斷兩條直線平行或垂直時(shí)，不要忘記考慮兩條直線中有一條或兩條直線均無(wú)斜率的情形，在兩條直線l1， l2斜率都存在，且不重合的條件下，才有 l1∥ l2? k1＝ k2與 l1⊥ l2? k1k2＝－ 1. ( 7 ) 在運(yùn)用公式 d ＝| C1－ C2|A2＋ B2求平行直線間的距離時(shí)，一定要把 x ， y 項(xiàng)的系數(shù)化成相等的系數(shù)． 2 ．圓的方程 ( 1 ) 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ( x － a )2＋ ( y － b )2＝ r2，圓心為 ( a ， b ) ，半徑為 r . ( 2 ) 圓的一般方程： x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0( D2＋ E2－ 4 F 0 ) ，圓心為 ( －D2，－E2) ，半徑為 r ＝D2＋ E2－ 4 F2； 二元二次方程 Ax2＋ Bx y ＋ Cy2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 表示圓的 充要條件是????? B ＝ 0 ，A ＝ C ≠ 0 ，D2＋ E2－ 4 AF 0 . ( 3 ) 圓的方程中有三個(gè)獨(dú)立系數(shù)，因此必須具備三個(gè)獨(dú)立條件才能確定一個(gè)圓，確定系數(shù)的方法可用待定系數(shù)法．根據(jù)所給條件恰當(dāng)選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程． 熱點(diǎn)分類(lèi)突破 題型一 有關(guān)直線的問(wèn)題 例 1 設(shè)直線 l1的方程為 x ＋ 2 y － 2 ＝ 0 ，將直線 l1繞原 點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 9 0 176。安徽 ) 過(guò)點(diǎn) ( 1 , 0 ) 且與直線 x － 2 y － 2 ＝ 0 平行的直線方程是 ( ) A ． x － 2 y － 1 ＝ 0 B ． x － 2 y ＋ 1 ＝ 0 C ． 2 x ＋ y － 2 ＝ 0 D ． x ＋ 2 y － 1 ＝ 0 解析 ∵ 所求直線與直線 x － 2 y － 2 ＝ 0 平行， ∴ 所求直線斜率 k ＝12，排除 C 、 D. 又直線過(guò)點(diǎn) ( 1 , 0 ) ，排除 B ，故選 A. A 題型二 圓的方程 例 2 在平面直角坐標(biāo)系 x O y 中，設(shè)二次函數(shù) f ( x ) ＝ x2 ＋ 2 x ＋ b ( x ∈ R ) 的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為 C . ( 1 ) 求實(shí)數(shù) b 的取值范圍； ( 2 ) 求圓 C 的方程； ( 3 ) 問(wèn)圓 C 是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn) ( 其坐標(biāo)與 b 無(wú)關(guān) ) ？請(qǐng)證明 你的結(jié)論． 思維啟迪 本題可根據(jù)條件得 f ( x ) ＝ 0 一定有兩個(gè)不同根求得 b 的取值范圍，進(jìn)而再求出圓 C 的方程．然后通過(guò)觀察得到圓 C 是否過(guò)定點(diǎn)． 解 ( 1 ) 令 x ＝ 0 ，得拋物線與 y 軸的交點(diǎn)是 (0 ， b ) ． 令 f ( x ) ＝ 0 ，得 x2＋ 2 x ＋ b ＝ 0 ， 由題意 b ≠ 0 且 Δ 0 ，解得 b 1 且 b ≠ 0. ( 2 ) 設(shè)所求圓的一般方程為 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 ， 令 y ＝ 0 ，得 x2＋ Dx ＋ F ＝ 0 ，這與 x2＋ 2 x ＋ b ＝ 0 是同一個(gè)方程，故 D ＝ 2 ， F ＝ b . 令 x ＝ 0 ， y2＋ Ey ＋ b ＝ 0 ，此方程有一個(gè)根為 b ， 代入得出 E ＝－ b － 1. 所以圓 C 的方程為 x2＋ y2＋ 2 x － ( b ＋ 1) y ＋ b ＝ 0. ( 3 ) 圓 C 必過(guò)定點(diǎn) ( 0 , 1 ) 和 ( － 2 , 1 ) ， 證明如下： 將 ( 0 , 1 ) 代入圓 C 的方程， 得左邊＝ 02＋ 12＋ 2 0 － ( b ＋ 1) ＋ b ＝ 0 ，右邊＝ 0. 所以圓 C 必過(guò)定點(diǎn) ( 0 , 1 ) ． 同理可證圓 C 必過(guò)定點(diǎn) ( － 2 , 1 ) ． 探究提高 求圓的方程一般有兩類(lèi)方法： ( 1 ) 幾何法，通過(guò)研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程； ( 2 ) 代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)． 變式訓(xùn)練 2 在平面直角坐標(biāo)系 xO y 中，設(shè)二次函數(shù) f ( x ) ＝ x2＋ 2 x ＋ b ( x ∈ R ) 的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng) 過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為 D . 問(wèn)是否存在 b 使三個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形為圓 D 的內(nèi)接直角三角形？若存在，求出 b 的值；若不存在，說(shuō)明理由． 解 令 x ＝ 0 ，得拋物線過(guò)點(diǎn) (0 ， b ) ． 令 f ( x ) ＝ 0 ，得 x2＋ 2 x ＋ b ＝ 0. 由題意應(yīng)有 b ≠ 0 且 Δ ＝ 4 － 4 b 0 . ∴ b 1 且 b ≠ 0. 設(shè)二次函數(shù)圖象與 x 軸的交點(diǎn)分別為 A ( x 1, 0) ， B ( x 2, 0) ，與 y 軸交點(diǎn)為 C ，則 C (0 ， b ) ； 而 x1， x2是方程 f ( x ) ＝ 0 ，即 x2＋ 2 x ＋ b ＝ 0 的兩根， ∴ x1x2＝ b . 若存在 b 滿(mǎn)足條件，則 AC ⊥ BC . 又 kAC＝－bx1， kBC＝－bx2， ∴ －bx1江蘇 ) 在平面直角坐標(biāo)系 x O y 中，已知圓 C1： ( x ＋ 3)2＋ ( y － 1)2＝ 4 和圓 C2： ( x － 4)2＋ ( y － 5)2＝ 4. ( 1 ) 若直線 l 過(guò)點(diǎn) A ( 4 , 0 ) ，且被圓 C1截得的弦長(zhǎng)為 2 3 ， 求直線 l 的方程； ( 2 ) 設(shè) P 為平面上的點(diǎn)，滿(mǎn)足：存在過(guò)點(diǎn) P 的 無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線 l1和 l2，它們分 別與 圓 C1和圓 C2相交，且直線 l1被圓 C1截 得的弦 長(zhǎng)與直線 l2被圓 C2截得的弦長(zhǎng)相等， 試求所有 滿(mǎn)足條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)． 解 ( 1 ) 圓 C1的圓心 C1( － 3 , 1 ) ，半徑 r ＝ 2. 由題知 l 的斜率存在，可設(shè)直線 l 的方程為 y ＝ k ( x － 4) ， 即 kx － y － 4 k ＝ 0. C1到直線 l 的距離 d ＝|－ 3 k － 1 － 4 k |k2＋ 1＝|7 k ＋ 1|k2＋ 1， ∴ (2 32)2＋ (|7 k ＋ 1|k2＋ 1)2＝ 4 ， 解得 k ＝ 0 或 k ＝－724， ∴ 直線 l 的方程為 y ＝ 0 或 y ＝－724( x － 4) ． 思維啟迪 ( 2 ) 設(shè)點(diǎn) P ( a ， b ) 滿(mǎn)足條件，由題意不妨設(shè)直線 l1的方程為 y － b ＝ k ( x － a ) ， k ≠ 0 ， 則直線 l2的方程為 y － b ＝－1k( x － a ) ． 因圓 C1和圓 C2的半徑相等，且直線 l1被圓 C1截得的弦長(zhǎng)與直線 l2被圓 C2截得的弦長(zhǎng)相等，所以圓 C1的圓心到直線 l1的距離和圓 C2的圓心到直線 l2的距離相等， 即|1 － k ( － 3 － a ) － b |1 ＋ k2＝|5 ＋1k( 4 － a ) － b |1 ＋1k2， 整理得 |1 ＋ 3 k ＋ ak － b |＝ |5 k ＋ 4 － a － bk |， 從而 1 ＋ 3 k ＋ ak － b ＝ 5 k ＋ 4 － a － bk 或 1 ＋ 3 k ＋ ak － b ＝－ 5 k － 4 ＋ a ＋ bk ， 即 ( a ＋ b － 2) k ＝ b － a ＋ 3 或 ( a － b ＋ 8) k ＝ a ＋ b － 5 ， 因?yàn)?k 的取值范圍有無(wú)窮多個(gè)， 所以????? a ＋ b － 2 ＝ 0 ，b － a ＋ 3 ＝ 0 ，或????? a － b ＋ 8 ＝ 0 ，a ＋ b － 5 ＝ 0 ， 解得????? a ＝52，b ＝－12，或????? a ＝－32，b ＝132. 這樣的點(diǎn) P 只可能是點(diǎn) P1????????52，－12或點(diǎn) P2????????－32，132. 經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn) P1和 P2滿(mǎn)足題目條件． 所以，所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)分別為 (52，－12) ， ( －32，132) ． 探究提高 直線和圓的位置關(guān)系常用幾何法，即利用圓的半徑 r ，圓心到直線的距離 d 及半弦長(zhǎng)l2，構(gòu)成直角三角形關(guān)系來(lái)處理． 變式訓(xùn)練 3 在平面直角坐標(biāo)系 xO y 中， 已知圓 C1： ( x ＋ 3)2＋ ( y － 1)2＝ 4 和圓 C2： ( x － 4)2＋ ( y － 5)2＝ 4. ( 1 ) 判斷兩圓的位置關(guān)系，并求連心線 的方程； ( 2 ) 求直線 m 的方程，使直線 m 被圓 C1截得的弦長(zhǎng)為 4 ，被圓 C2截得的 弦 長(zhǎng) 為 2. 解 ( 1 ) 圓 C 1 的圓心 C 1 ( － 3 , 1 ) ， r 1 ＝ 2 ； 圓 C 2 的圓心 C 2 ( 4 , 5 ) ， r 2 ＝ 2. ∴ | C 1 C 2 |＝ 72＋ 42＝ 65 r 1 ＋ r 2 ， ∴ 兩圓相離，連心線所在直線方程為： 4 x － 7 y ＋ 19 ＝ 0. ( 2 ) 直線 m 的斜率顯然存在． ∵ 直線 m 被圓 C1截得弦長(zhǎng)為 4. ∴ 直線 m 過(guò)圓 C1的圓心 C1( － 3 , 1 ) ． ∴ 設(shè)直線 m 的方程為 y － 1 ＝ k ( x ＋ 3) ． ∴ C2( 4 , 5 ) 到直線 m 的距離： d ＝|7 k － 4|k2＋ 1＝ 3 ， ∴ k ＝2 8 177。 1 8 646( x ＋ 3) ． 規(guī) 律 方 法 總 結(jié) 1 ． 由于直線方程有多種形式，各種形式適用的條件、范圍不同，在具體求直線方程時(shí)，由所給的條件和采用的直線方程形式所限，可能會(huì)產(chǎn)生遺漏的情況，尤其在選擇點(diǎn)斜式、斜截式時(shí)要注意斜率不存在的情況． 2 ．處理有關(guān)圓的問(wèn)題，要特別注意圓心、半徑及平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，如弦心距、半徑、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形經(jīng)常用到，利用圓的一些特殊幾何性質(zhì)解題， 往往使問(wèn)題簡(jiǎn)化． 3 ．直線與圓相交于 A ， B 兩點(diǎn)，則有 | AB |＝ 2 r2－ d2，其中 r 為圓的半徑， d 為圓心到直線的距離． 4 ．直線與圓中常見(jiàn)的最值問(wèn)題 ( 1 ) 圓外一點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)的距離的最值． ( 2 ) 直線與圓相離，圓上任一點(diǎn)到直線的距離的最 值． (