【正文】 325＝1225. 由于 P ( B ) ≠ P ( C ) ，所以這種游戲規(guī)則不公平． 規(guī) 律 方 法 總 結(jié) 1 ． 互斥事件與對立事件的關系： ( 1) 對立一定互斥，互斥未必對立； ( 2) 可將所求事件化為互斥事件 A 、 B 的和，再利 用公式 P ( A ＋ B ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) 來求，也可通過對 立事件公式 P ( A ) ＝ 1 － P ( A ) 來求 P ( A ) ． 規(guī)律方法總結(jié) 1 ． 古典概型與幾何概型 古典概型 特點 ① 有限性 ② 等可能性 計算 公式 P ( A ) ＝A 包含的基本事件個數(shù) m總的基本事件個數(shù) n 幾何概型 特點 ① 無限性 ② 等可能性 計算 公式 P ( A ) ＝構(gòu)成事件 A 的區(qū)域長度 ( 面積或體積 )試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度 ( 面積或體積 ) 知能提升演練 一、選擇題 1 ．從甲、乙、丙等 5 名候選學生中選 2 名作為青年志愿 者，則甲、乙、丙中有 2 個被選中的概率為 ( ) A.310 B.110 C.320 D.120 解析 因為從 5 名候選學生中任選 2 名學生的方法共有10 種，而甲、乙、丙中有 2 個被選中的方法有 3 種，所以甲、乙、丙中有 2 個被選中的概率為310. 故選 A. A 2 ．根據(jù)統(tǒng)計顯示，某人射擊 1 次，命中 8 環(huán)、 9 環(huán)、 10 環(huán)的概率分別為 、 、 ，則此人射 擊 1 次，命中不足 8 環(huán)的概率為 ( ) A ． B ． C ． D ． 解析 由互斥事件、對立事件的概率得，此人射擊 1次，命中不足 8 環(huán)的概率為 1 － ( ＋ ＋ ) ＝. 故選 B. B 3 ． ( 2022 安徽 ) 甲從正方形四個頂點中任意選擇兩個 頂點連成直線，乙也從該正方形四個頂點中任意 選擇兩個頂點連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是 ( ) A.318 B .418 C.518 D.618 解析 甲共 得 6 條，乙共得 6 條，共有 6 6 ＝ 36( 對 ) ，其中垂直的有 10 對， ∴ P ＝1036＝518. C 5 ．已知袋中有紅、白、藍三種顏色大小相同的小球 各 5 、 10 、 15 個，若每次從袋中只能摸一個小球， 則某人第一次摸到紅球或白球的概率為 ( ) A.16 B.13 C.12 D.23 解析 方法一 由題意得，某人第一次摸到紅球的事件與第一次摸到白球的事件是互斥事件．又某人 第一次摸到紅球的概率為16，第一次摸到白球的概率為13，所以由互斥事件的概率公式知，某人第一次摸到紅球或白球的概率為16＋13＝12. 故選 C. 方法二 因為某人第一次摸到紅球或白球的事件與第一次摸到藍球的事件是對立事件，而第一次摸到藍球的概率為1530＝12，所以某人第一次摸到紅球或白球的概率為 1 －12＝12. 故選 C. 答案 C 二、填空題 6 ．將一枚骰子拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點數(shù)分別為 b ， c ，則方程 x2＋ bx ＋ c ＝ 0 有實根的概率為 ________ ． 解析 由題意得，先后出現(xiàn)的點數(shù)分別為 b ， c 的基本事件共有 36 種，而滿足方程 x2＋ bx ＋ c ＝ 0 有實根，即滿足 b2≥ 4 c 的 b ， c 有 ( 2,1) ， ( 3,1) ， ( 3,2 ) ， ( 4,1) ，( 4,2) ， ( 4,3) ， ( 4,4 ) ， ( 5, 1) ， ( 5,2) ， ( 5,3) ， ( 5,4) ， ( 5,5) ，( 5,6) ， ( 6,1) ， ( 6,2 ) ， ( 6, 3) ， ( 6,4) ， ( 6,5) ， ( 6,6) ，共 19種，所以所求的概率為1936. 1936 7 ． ( 2022 廣東 ) 某電視臺在一次對收看文藝節(jié) 目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中，隨機抽取了 100 名電視觀眾，相關的數(shù)據(jù)如下表所示： 文藝節(jié)目 新聞節(jié)目 總計 20至 40歲 40 18 58 大于 40歲 15 27 42 總計 55 45 100 ( 1 ) 由表中數(shù)據(jù)直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾是否與年齡有關？ ( 2 ) 用分層抽樣方法在收看新聞節(jié)目的觀眾中隨機抽取5 名，大于 40 歲的觀眾應該抽取幾名？ ( 3 ) 在上述抽取的 5 名觀眾中任取 2 名，求恰有 1 名觀眾的年齡為 20 至 40 歲的概率． 解 ( 1 ) 因為在 20 至 40 歲的 58 名觀眾中有 18 名觀眾收看新聞節(jié)目，而大于 40 歲的 42 名觀眾中有 27 名觀眾收看新聞節(jié)目，所以，經(jīng)直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾與年齡是有關的． ( 2 ) 從題中所給條件可以看出收看新聞節(jié)目的共 45 人，隨機抽取 5 人，則抽樣比為545＝19，故大于 40 歲的觀眾應抽取 27 19＝ 3( 人 ) ． ( 3 ) 抽取的 5 名觀眾中大于 40 歲的有 3 人，在 20 至 40歲的有 2 人，記大于 40 歲的人為 a1， a2， a3,20 至 40 歲的人為 b1， b2，則從 5 人中抽取 2 人的基本事件有 ( a1，a2) ， ( a1， a3) ， ( a2， a3) ， ( b1， b2) ， ( a1， b1) ， ( a1， b2) ，( a2， b1) ， ( a2， b2) ， ( a3， b1) ， ( a3， b2) 共 10 個，其中恰有 1 人為 20 至 40 歲的有 6 個， 故所求概率為610＝35. 考題分析 本題考查了獨立性檢驗的基本思想和方法，考查了分層抽樣和概率的計算．考查考生綜合應用知識解決問題的能力．題目難度不大，但考查知識點多，綜合性強． 易錯提醒 ( 1 ) 不知道從什么角度去說明收看新聞節(jié)目的觀眾與年齡有關． ( 2 ) 分層抽樣按比例抽取，有的考生比例關系不清． ( 3 ) 計算概率時，基本事件計算不準確． 主干知識梳理 1 ．統(tǒng)計 (1) 抽樣方法：簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣． (2) 利用樣本頻率分布估計總體分布 ① 頻率分布表和頻率分布直方圖． ② 總體密度曲線． ③ 莖葉圖． (3) 用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 ① 眾數(shù)、中位數(shù)． ② 平均數(shù) x ＝x1＋ x2＋ ? ＋ xnn. ③ 方差與標準差 方差 s2＝1n[( x1－ x )2＋ ( x2－ x )2＋ ? ＋ ( xn－ x )2] ． 標準差 s ＝ 1n[ ( x1－ x )2＋ ( x2－ x )2＋ ? ＋ ( xn－ x )2] . 2. 兩個變量間的相關關系 兩個變量間的相關關系中，主要是能作出散點圖，了解最小二乘法的思想；能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程 . 體會回歸分析及獨立性檢驗的基本思想 . 3 ．獨立性檢驗 (1)2 2 列聯(lián)表 一般地，假設有兩個分類變量 X 和 Y ，它們的值 域分別為 { x1， x2} 和 { y1， y2} ，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表為： y1 y2 總計 x1 a b a ＋ b x2 c d c ＋ d 總計 a ＋ c b ＋ d a ＋ b ＋ c ＋ d K2＝n ? ad － bc ?2? a ＋ b ?? c ＋ d ?? a ＋ c ?? b ＋ d ?( 其中 n ＝ a ＋ b ＋ c ＋ d 為樣本容量 ) ． ( 2) 獨立性檢驗的步驟 ① 提出假設； ② 計算 K2的值； ③ 查臨界值，作出判斷． 熱點分類突破 題型一 頻率分布直方圖或頻率分布表 例 1 某班 50 名學生在一次百米測試中， 成績?nèi)拷橛?13 秒與 19 秒之間，將測 試結(jié)果按如下方式分成六組：第一組， 成績大于等于 13 秒且小于 14 秒；第二 組，成績大于等于 14 秒且小于 15 秒； ?? 第六組，成績大于等于 18 秒且小于 等于 19 秒．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．設成績小于 17 秒的學生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為 x ，成績大于等于 15 秒且小于 17 秒的學生人數(shù)為 y ，則從頻率分布直方圖中可分析出 x 和 y 分別為 ( ) A ． ,35 B ． ,45 C ． ,35 D ． ,45 解析 P ( ξ 17) ＝ 1 － P ( 1 7 ≤ ξ ≤ 19) ＝ 1 － ( 1 ＋ 1) ＝ ， 即 x ＝ ， y ＝ ( ＋ 0. 36) 1 50 ＝ 35 人． 答案 A 探究提高 在統(tǒng)計中，為了考查一個總體的情況，通常是從總體中 抽取一個樣本，用樣本的有關情況去估計總體的相應情況．這種估計大體分為兩類：一類是用樣本頻率分布估計總體分布；另一類是用樣本的某種數(shù)字特征 (